|
Оглавление
Из введения
Настоящая монография состоит из четырех глав и дополнения. В первой главе приводятся понятия и факты из теории многообразий, знание которых необходимо для понимания основного текста книги. При этом особое внимание уделено введению понятия дифференциального уравнения на многообразии. Во второй главе рассматриваются автономные многомерные дифференциальные уравнения в случае, когда пространство времени и фазовое пространство являются вещественными конечномерными линейными пространствами. Изучаются вопросы качественной теории таких уравнений; топологические свойства орбит и расположение последних в фазовом пространстве; вопросы существования периодических решений, связанные с многомерным аналогом теоремы Пуанкаре–Бендиксона, которая играет важную роль в теории периодических движений. В третьей главе изучаются линейные дифференциальные уравнения, где аргумент искомой функции изменяется на некотором конечномерном гладком многообразии, а значения этой функции принадлежат комплексному конечномерному линейному пространству. Рассматриваются вопросы аналитической теории таких уравнений, связанные с изучением функций степенного роста на многообразиях с ветвлением; вводится понятие стабильности линейного многомерного дифференциального уравнения, которое в случае неодносвязного пространства времени является аналогом понятия асимптотической устойчивости для обыкновенных дифференциальных уравнений; приводятся критерии стабильности. Изложению некоторых результатов по топологической эквивалентности линейных дифференциальных уравнений с "многомерным временем" посвящен один из параграфов. Четвертая глава знакомит читателя с нормальными формами, которые позволяют в исходной многомерной системе дифференциальных уравнений выделить независимые подсистемы или даже "расщепить" исходную систему на независимые подсистемы. В этом смысле нормальные формы дают возможность исследовать, например, локальные и асимптотические свойства движений, а в ряде случаев – проинтегрировать исходную систему. Наконец, в дополнении, не останавливаясь на вопросах приложений (о чем см., например, книгу [7]), дается краткий обзор работ, относящихся к тем основным направлениям исследований, по которым в настоящее время развивается теория дифференциальных уравнений с "многомерным временем". Для более детального изучения конкретных вопросов приводится обширный список цитируемой литературы. В этом смысле заключительная часть монографии носит справочный характер. Автор признателен профессору А.И.Перову и старшему научному сотруднику И.В.Гайшуну за ряд критических замечаний и советов по улучшению книги, а также А.Э.Малевичу за полезные обсуждения. Автор
Об авторе
Доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета Белорусского государственного университета. Специалист в области теории дифференциальных уравнений, научные интересы которого связаны с такими интенсивно развивающимися в настоящее время направлениями, как качественная теория дифференциальных уравнений, теория колебаний, теория устойчивости движения. Автор и соавтор более 120 печатных работ, среди которых, в частности, монографии по теории дифференциальных уравнений "Нелинейные колебания в системах второго порядка", "Автономные и линейные многомерные дифференциальные уравнения"; научно-популярные издания "Математические модели и дифференциальные уравнения", "Дифференциальные уравнения в приложениях" (изд.2-е, М.: УРСС, 2003, переведено на английский, испанский и японский языки); учебные и справочные пособия для учащихся и преподавателей средних школ и гимназий, лицеев и колледжей "Задачи с параметрами", "Экзамен по математике? Нет проблем", "Готовимся к экзамену по математике", "Задачи вступительных экзаменов по математике", "Геометрия на плоскости. Теория, задачи, решения". |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||