Цахариас М. Введение в проективную геометрию.
Пер. с нем. Изд. 2

Оглавление

От переводчика

При переводе книжки Цахариаса мы внесли в нее некоторые изменения, которые необходимо оговорить. Совершенно заново написаны стр.11–14, посвященные центральной перспективе и введению понятия о бесконечно-удаленных точках. Мы развили взятый автором пример вычерчивания перспективного изображения проволочного куба и на этом примере ввели понятие о бесконечно -удаленной точке данной прямой,-понятие весьма важное в проективной геометрии и весьма трудное для начинающего, которому, однако, в подлиннике было уделено слишком мало места. При этом мы старались спасти читателя от тех опасностей, которые связаны для начинающего со всеми понятиями о бесконечно-удаленных элементах в виду довольно обычного бесцеремонного обращения с бесконечностью. Другие изменения, сделанные в тексте, ничего существенного не представляют - Всё, не принадлежащее подлиннику, внесено в текст в прямых скобках ([ ]).

Основное предложение проективного учения о конических сечениях оставлено автором без доказательства. Чтобы подвести прочный фундамент под это учение и избавить читателя от тягостного чувства неудовлетворенности, мы дали это доказательство в первом прибавлении. Кроме того, нами составлено прибавление II, содержащее в себе небольшое собрание задач, подобранных в таком порядке, в котором развивается теория в книжке и приуроченных к соответствующим частям отдельных глав. Читатель должен параллельно изучению, текста решать соответствующие задачи,-только тогда он действительно освоится с теми идеями, которые иной раз слишком бегло намечены в этом сжатом введении в проективную геометрию.

Нами сделано также довольно много примечаний троякого рода. Одни имеют целью дать более ясное изложение того, что иногда недостаточно ясно изложено в тексте; другие исправляют мелкие погрешности текста или представляют собой оговорки в тех случаях, когда автор высказывает мысли с нашей точки зрения неправильные. Третьи, наконец, дают намеки на новые точки зрения, которые не могут быть развиты в этой начальной книжке, но, как нам казалось, должны будить мысль и звать читателя "вперед и выше".

Примечания, принадлежащие нам, отмечены цифрами [ 1) 2)...], в отличие от примечаний автора, отмеченных звездочкой [ *) **) ]. Кроме того, нами значительно увеличено число чертежей-с 18 до 33, при чем некоторые чертежи заменены новыми.

В заключение напомним читателю, что читать – значит творить, особенно в математике. Недостаточно только следить за мыслью автора: нужно мыслить вместе с ним. Более того: нужно отрываться от мыслей автора, применять прочитанное к новым проблемам, искать новых путей, ловить и развивать брошенные намеки, сопоставлять отдельные части-словом-творить. Поэтому карандаш и бумага не менее необходимы читателю, чем автору и даже-чем творцам тех идей, которые здесь излагаются. Если читатель будет так читать, он скоро войдет во вкус еще, быть-может, нового для него, высшего из доступных человеку наслаждений-наслаждения творчеством!

Предисловие

Предлагаемый томик "Математической Библиотеки" имеет целью ввести читателя, не требуя от него больших математических познаний, в такую область математики, которая, обыкновенно, не затрагивается в школе. Предполагаемые математические знания ограничиваются пониманием простейших преобразований алгебраических уравнений, знанием пропорций, важнейших теорем об окружности, о подобии и равновеликости фигур, а также некоторыми стереометрическими представлениями о положении прямых и плоскостей в пространстве. Для читателя с такой подготовкой автор имеет в виду возможно коротко изложить понятия и теоремы проективной геометрии, наиболее важные как по содержанию, так и в смысле исторического развития. Поэтому он приурочивает свое изложение к именам пяти выдающихся геометров: Дезарга, Паскаля, Пинселе, Штейнера и ф. Штаудта. Каждая из пяти глав рисует в общих чертах, что именно данный ученый сделал для развития новейшей геометрии. Читатель таким образом узнает, как возникла проективная геометрия, как она постепенно развилась в "геометрию положения", знакомится при этом с рядом новых предложений и видит те задачи, к решению которых эти предложения могут применяться. (Для действительного проникновения в новую область рекомендуется начинающему повторить все чертежи и попытаться самостоятельно решить все задачи).

Компетентный специалист, заглянув в эту книжку, не найдет в ней необходимой для учебника "систематичности" и строгих последовательных доказательств, а также многих важных имен и дат, которые не должны отсутствовать в полном историческом обзоре проективной геометрии. (Так, пропущено -если взять первый попавшийся пример – правило знаков для отрезков). Этот кажущийся недочет объясняется тем, что в намерение автора не входило дать систематический учебник или полный исторический обзор: его цель будет достигнута, если начинающий,-для которого книжка и предназначена, -перерабатывая ее, почувствует своеобразное наслаждение, которое доставляет занятие новой синтетической геометрией, и если это ощущение побудит его к более основательному проникновению в эту область (хотя бы путем изучения сочинений Штейнера или "Geometrie der Lage" Rеуе).

Введение

Проективная Геометрия, называемая также Геометрией положения, возникла недавно. Хотя еще в древности были известны отдельные ее понятия и предложения, но лишь геометры последних трех столетий поняли важность этих понятий, взаимную связь дотоле разрозненных предложений и развили из них, путем систематизирования и дальнейших построений, совершенно новую отрасль геометрии. Это развитие приняло у геометров нового времени такое направление, что проективная геометрия – дочь греческой или Евклидовой геометрии-становилась все более независимой от своей матери и, наконец, даже стала к ней в известную противоположность. В то время, как у Евклида, напр., все фигуры тверды и неподвижны, новая геометрия охотно приводит в движение элементы своих образов: точки пробегают линии, прямые линии вращаются вокруг неподвижных точек или, в качестве подвижных касательных, катятся вокруг кривых, плоскости вращаются вокруг неподвижных осей и т.д.. В связи с этим находится и второе различие, а именно-в Евклидовой геометрии число составных частей (точек и линий) фигуры-конечное, между тем как проективная геометрия предпочитает иметь дело с бесконечным числом точек прямой или кривой линии, с бесконечным числом точек и прямых плоскости или с бесконечным числом лучей в пучке или связке.

Затем греческий геометр интересуется преимущественно частностями, специальными случаями; современный же геометр стремится к установлению общих всеоб'емлющих предложений и соотношений, стараясь устранить мешающие исключения, путем смелого расширения понятий. Наконец, теоремы Евклида почти все относятся к "метрическим" свойствам фигур, т.е. к сравнению и к измерению отрезков и углов; новой же геометрии удалось, наоборот, делаться все более и более независимой от измерения и превратиться, в конце концов, в чистую "геометрию положения", которая интересуется не соотношениями величины, а только соотношениями положения. При последующем изложении истории проективной геометрии представятся еще случаи пояснить примерами эти общие замечания.

В противоположность своей почти ровеснице аналитической геометрии, оперирующей вычислениями,-проективная геометрия называется также новой синтетической или просто синтетической геометрией.