Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения.
Том 1. Пер. с англ. Т.1. Изд. 2

Оглавление

Предисловие переводчика

Вниманию читателей предлагается новый перевод двухтомного курса В.Феллера "Введение в теорию вероятностей и ее приложения". В.Феллер (1906–1970) – один из выдающихся представителей современной теории вероятностей – родился в Загребе (Югославия). Математику изучал в Геттингенском университете в Германии, где получил в 1926 г. степень доктора. В 1933 г. покинул Германию. Работал в Копенгагене и Стокгольме и в 1939 г. переехал в США. Профессор Брауновского (1939–1945), Корнеллского (1945–1950) и Принстонского (1950–1970) университетов. Член ряда академий и научных обществ.

Перевод выполнен с последних английских изданий (с пересмотренного третьего издания первого тома, 1970, и со второго издания второго тома, 1967). Феллер посвятил созданию, переработке и улучшению курса почти четверть века и делал это с неослабевающим энтузиазмом, никогда не уставая от этого занятия. Ни одна другая книга по теории вероятностей не может сравниться с этой – так удачно в ней соединены математическая строгость, совершенство доказательств и многочисленность рассматриваемых приложений. Излагая самые сложные математические вопросы, автор не упускает из виду тех явлений действительности, к которым может быть применена развиваемая теория. Характер курса таков, что он еще долго не устареет.

Воспроизведенные ниже предисловия к прежним изданиям первого тома (как к русским, так и к английским) позволяют мне быть более кратким. В этом томе в целом удачно демонстрируется тот факт, что сравнительно простые модели позволяют хотя бы в первом приближении правильно описать широкий круг практических задач (такими являются, например, модели размещений r шаров по n ящикам и урновые модели). Во многих случаях, особенно там, где интуиция не подсказывает правильного порядка соответствующих вероятностей, автор приводит численные результаты. Большое внимание уделено различным приближенным формулам. Их точности иллюстрируется примерами. Используемые при этом рассуждения "типичны для многих предельных теорем теории вероятностей" (с.122).

Весьма полезны (и не только для начинающих читателей) приведенные в томе результаты "случайных экспериментов", которые создают представление о том, как выглядит "случайность" и сколь неожиданными могут оказаться отклонения от интуитивных представлений о ней.

В связи с результатами случайных экспериментов довольно рано ставится вопрос о способах проверки согласия модели с экспериментом и о способах оценки неизвестных вероятностей по данным опыта. Используется критерий X², упоминается (по конкретному поводу) понятие оценки максимального правдоподобия (с.66), указываются некоторые критерии случайности. Эта тенденция возможно более раннего показа типичных "статистических выводов", несомненно, целесообразна.

Следует отметить, что автор постоянно заботится о придании терминологии надлежащей точности (см., например, замечание на с.322 о термине "рекуррентное событие"). Это очень важная сторона дела. Часто начинающие изучать теорию вероятностей запутываются, так как, скажем, слово "событие" на одних и тех же страницах учебников используют и в описательном "донаучном" смысле, и в смысле, предписываемом аксиоматической теорией. Точно так же выражение "произведем п независимых наблюдений случайной величины X" употребляют обычно без упоминания о том, что оно не имеет смысла в аксиоматической теории и служит лишь "разговорным вариантом" выражения "рассмотрим п независимых случайных величин, имеющих одно и то же распределение вероятностей".

Ограничение дискретными пространствами элементарных событий позволяет свести весь используемый аппарат к комбинаторике и к производящим функциям, а в случае, когда последние рациональны, к разложению их на простейшие дроби как методу исследования соответствующих распределений вероятностей. Убедительно показана мощь этих методов (гл.III, XII–XIV, XVI).

В качестве "дефекта" ограничения дискретным случаем автор отмечает, что оно "уменьшает изящество математических рассуждений" (с.211). Можно добавить к этому, что в рамках теории, использующей дискретные пространства элементарных событий, оказывается невозможным отразить тесные и важные связи теории вероятностей с другими разделами современной математики. "Дискретный подход" позволяет прекрасно объяснить идею независимости" в меньшей степени идею марковской зависимости и совсем оставляет в стороне идею "спектрального анализа".

При подготовке к изданию перевода первого тома мне оказали большую помощь К.А.Боровков, А.М.Зубков, В.Г.Миранцев, В.В.Ульянов, А.П.Ушакова, В.Г.Ушаков, Н.Г.Ушаков и редактор издательства Г.М.Ильичева. Как и в работе над вторым томом, я пользовался советами А.В.Прохорова и В.В.Сазонова. Им всем я выражаю глубокую благодарность.

Из предисловия ко второму русскому изданию

Первое издание книги Феллера получило в СССР широкое признание. Сейчас вниманию читателей предлагается перевод второго английского издания, во многих деталях усовершенствованного автором. Во втором английском издании книга по-прежнему называется "Введение в теорию вероятностей и ее приложения", первый том двухтомного курса. Так как публикация второго тома вновь откладывается, то в русском издании сохранен подзаголовок ["дискретные распределения" – подзаголовок русского перевода первого издания. – Ю.П.], указывающий на принцип отбора материала, принятый автором для первого тома своего курса.

Именно этот принцип отбора материала позволяет книге Феллера занять самостоятельное место в литературе по теории вероятностей. Ограничиваясь дискретными распределениями, автор имеет возможность достигнуть вполне современной строгости и отчетливости изложения, не выходя за пределы элементарных чисто арифметических средств, и на твердой теоретической основе довести читателя до ряда важных принципиальных вопросов и большого числа практически интересных задач.

Несомненно, что при серьезном систематическом изучении теории вероятностей нельзя оставить в стороне непрерывные распределения. Но хорошо известно, что точное определение таких понятий, как условная функция распределения

F(x|y)=P(xi < x|nu = y)

случайной величины xi при заданном значении nu = у случайной величины nu, в случае непрерывных распределений требует трудно воспринимаемых формальных конструкций, что строгое и в то же время общее изложение вопроса о суммировании произвольных независимых случайных величин требует хорошего владения теорией интеграла Стилтьеса и т.д. Ввиду практической важности непрерывных распределений часто обходятся более элементарными и не всегда строгими средствами. Но именно тем, кто для случая непрерывных распределений ограничится несколько кустарным или не вполне строгим изложением, будет особенно полезно проследить уже с полной отчетливостью параллельное развитие основных вероятностных идей для дискретного случая. Подробное изучение теории и применений производящих функций целочисленных случайных величин (см. гл.XI книги) является хорошим введением в более трудную и общую теорию характеристических функций произвольных случайных величин. Монографическое изучение марковских процессов с конечным или счетным числом состояний, данное в гл.XV–XVII, будет полезно многим читателям, предполагающим впоследствии изучать общую теорию случайных процессов.

Более квалифицированный читатель, для которого указанные преимущества первоочередного изучения дискретных распределений не существенны, заинтересуется книгой Феллера по преимуществу просто в качестве собрания большого числа частных задач и просчитанных до получения вполне конкретных результатов примеров. При разборе задач Феллер выдвигает на первый план решение их "прямыми", специфически вероятностными средствами. Эта тенденция видеть за аналитическими преобразованиями их "вероятностный" смысл принадлежит к числу наиболее ценных сторон книги Феллера. Заслуживает внимания также стремление автора книги на тщательно подобранных примерах наглядно показать характер действия вероятностных закономерностей. Во многих случаях автору удается ввести читателя в действительно интересные вопросы сопоставления статистических данных с вероятностной теорией явления.

Предисловие к третьему изданию

Когда эта книга впервые была задумана (более 25 лет тому Назад) немногие математики за пределами Советского Союза видели в теории вероятностей полноправную ветвь математики. Приложения имели ограниченные цели, а исследования конкретных проблем часто приводили к непостижимым усложнениям. Если учесть эти обстоятельства, то задуманная книга была бы написана не для существовавшей тогда аудитории и не удовлетворяла бы осознанным в то время потребностям. Однако автор надеялся привлечь внимание к мало известным сторонам теории вероятностей, установить связи между отдельными ее частями, развить единые методы и указать на возможные или вероятные приложения. Благодаря возрастанию интереса к теории вероятностей книгу неожиданно часто использовали те, кто работал за пределами математических дисциплин. Ее широкое применение в те годы объяснимо, ибо принятая в ней точка зрения была новой, а изложенный материал был недоступен иным путем. Но книга остается популярной даже и теперь, когда содержание большей части ее глав можно найти в работах, посвященных отдельным областям и хорошо приспособленных для удовлетворения более специальных нужд. По этой причине и в новом издании характер книги остался тем же самым. Я надеюсь, что она будет продолжать обслуживать самые разнообразные требования и что по-прежнему найдутся читатели, которые прочтут ее Просто для удовольствия и из любознательности.

На протяжении многих лет я с благодарностью получал многочисленные сообщения от тех, кто пользовался книгой, и эти сообщения были причиною различных усовершенствований. Многие параграфы были переписаны, чтобы облегчить изучение. Процесс чтения облегчен также за счет лучшего шрифта и благодаря превосходной редакторской работе, которую проделала г-жа Мак-Дугал, сохранившая сочувствие к требованиям читателей и доводам здравого смысла, несмотря на свою принадлежность к профессиональным редакторам.

Наибольшие изменения произведены в гл.III. Вопросы, входящие в эту главу, были включены лишь во второе издание. Практической причиной этого явилось прежде всего неожиданное открытие, что ее увлекательные выводы можно получить элементарными методами. Старое изложение опиралось на остроумные комбинаторные соображения, которые теперь заменены более простыми и более естественными вероятностными соображениями. По существу эта глава написана заново.

Среди прочих добавлений наиболее заметными являются новые параграфы, посвященные ветвящимся процессам, цепям Маркова и теореме Муавра – Лапласа. Глава XIII перестроена; небольшие изменения сделаны во многих местах книги; появились новые примеры и задачи.

Я сожалею о том, что именной указатель может ввести в заблуждение, но я чувствовал себя обязанным давать точную ссылку каждый раз, когда идея или пример восходили к определенному источнику. Это означало, увы, что цитаты часто берутся из попутных замечаний и поэтому редко отражают истинный характер цитируемой статьи. Кроме того, многие примеры и задачи были навеяны чтением нематематических статей, в которых другими методами изучались сходные положения. (В написанных позже учебниках при цитировании этих нематематических статей считают, что они содержат мои примеры. Это показывает, как быстро развивается теория вероятностей, но одновременно показывает и ограниченную полезность цитат.) Недостаток места и умения помешали мне дать более подробные исторические указания и описать, каким образом теория вероятностей от полумистических рассуждений двадцатых годов перешла в современное состояние процветания.

На протяжении многих лет я имел благоприятную возможность работать со студентами и своими более молодыми коллегами. Я многим обязан их помощи и их воодушевлению. Возможность работать с ними явилась во многих отношениях следствием той поддержки, которую оказывало исследованиям по теории вероятностей, проводящимся в Принстонском университете, Научно-исследовательское управление Армии США.

Я выражаю особую благодарность Дж.Голдману за серьезный меморандум, описывающий его педагогический опыт, и Л.Питту за преданную помощь при чтении корректур.

Предисловие к пересмотренному третьему изданию

В отличие от первого издания книги третье ее издание содержало тревожащее число неточностей. В настоящем пересмотренном издании все обнаруженные неточности устранены. Многие формулировки улучшены, а также добавлены указания к задачам в тех случаях, когда это не требовало переверстки. Я благодарен издательству, разрешившему сделать эти дорогостоящие изменения, которые направлены к тому, чтобы книга читалась более легко.

Почти все изменения были предложены или профессором Р.Махолом и доктором Дж.Крофтом, работающими вместе в Чикаго, или подполковником (теперь в отставке) Королевской армии Дании Пребеном Кюлем. Они прочли книгу необычайно внимательно и с глубоким пониманием. Мне была весьма полезна последовавшая в результате этого приятная переписка.

Предисловие к первому изданию

Первоначально у автора было намерение написать книгу об аналитических методах теории вероятностей, которая трактовала бы эту теорию с точки зрения чистой математики. Изложение при этом было бы более единообразным и поэтому более удовлетворительным в эстетическом отношении; кроме того, оно было бы привлекательнее для чистых математиков. Однако щедрая поддержка, оказываемая Научно-исследовательским управлением Военно-морских сил США работам по теории вероятностей, ведущимся в Корнеллском университете, склонила автора к скорее ведущей к успеху, но менее благодарной попытке удовлетворить разнородные запросы более широкого круга читателей.

Целью этой книги является строгое изложение теории вероятностей как самостоятельной математической дисциплины, избегающее нематематических понятий. В то же время автор старался описать эмпирические основания теории вероятностей и развить у читателя ощущение всего многообразия ее приложений. Чтобы достигнуть второй цели, приведены многочисленные задачи, расчеты и примеры, которые прерывают основной ход изложения. Они четко выделены в тексте и отличаются более образным и менее формальным языком. В книгу включено некоторое количество специальных тем, чтобы показать силу общих методов и сделать книгу более полезной специалистам различных направлений. Чтобы облегчить чтение, отступления (detours) от основного пути отмечены звездочкой. Отмеченные разделы для понимания остальной части текста не обязательны.

Автором была предпринята серьезная попытка достичь единства методов. Специалисты найдут в книге много упрощений в существующих доказательствах, а также и новые результаты. В частности, для нужд этой книги была развита теория рекуррентных событий. Она позволяет по-новому изложить теорию цепей Маркова, что приводит к упрощениям даже в случае конечного числа состояний.

Примеры сопровождаются задачами (числом около 340), причем для большей части задач даны полные решения. Некоторые из этих задач – простые упражнения, но в основном они содержат добавочный иллюстративный материал или же так или иначе дополняют текст. Одно из назначений этих примеров и задач – развить вероятностную интуицию читателя и его умение формулировать вероятностные утверждения. Решение задач, кажущихся трудными, может потребовать совсем незначительных усилий, если их сформулировать естественным образом и включить в надлежащий контекст, а также предпослать им несколько разобранных примеров.

В преподавании теории вероятностей часто стремятся возможно быстрее сводить вероятностные задачи к задачам математического анализа, забывая при этом особенности самой этой теории. Такой подход основан на негодном определении случайной величины, которое обычно вводится в самом начале. В полную противоположность этому настоящая книга построена на понятии пространства элементарных событий. Вводить случайные величины без этого понятия – значит демонстрировать искусство вводить в заблуждение.

Чтобы отразить истинное положение вещей и избежать при этом теоретико-множественных и других чисто математических трудностей, в этом томе рассматриваются только дискретные пространства элементарных событий. Это жесткое ограничение, но его будут приветствовать читатели, не являющиеся математиками. Оно позволяет включить в книгу специальные вопросы, которые нелегко найти в литературе, и в то же время дает возможность, начав изложение элементарно, почти исчерпывающим образом рассмотреть такие глубокие темы, как теория случайных блужданий и теория цепей Маркова. Общая теория случайных величин и их распределений вероятностей, предельные теоремы, теория диффузионных процессов и некоторые другие темы отложены до следующего тома.

Эта книга не могла бы быть написана без поддержки Научно-исследовательского управления Военно-морских сил США. Как одно из следствий этой поддержки возникли постоянные личные контакты с Дж. Л, Дубом; его критические замечания и неизменно одобрительное отношение были неоценимы. Ему я выражаю свою особую благодарность. Затем я благодарю Дж.Риордана, который внимательно прочитал два варианта рукописи. Многие поправки и усовершенствования были предложены моей женой, которая прочитала и рукопись, и корректуру книги.

Автор обязан также Чжун Кайлаю, М.Донскеру и С.Голдбергу, которые прочитали рукопись и исправили некоторые неточности; решения большинства задач были подготовлены С.Голдбергом. В заключение я благодарю К.Холленбах, которая терпеливо и искусно перепечатала рукопись, а также Е.Ельяша, В.Хоффмана и Дж. Р, Кинни за помощь при чтении корректур.

Об авторе

Выдающийся американский математик, член Национальной академии наук США. Окончил Загребский университет (1925); доктор философии Геттингенского университета (1926). С 1950 г. – профессор Принстонского университета (США). Основные труды В. Феллера относятся к теории вероятностей и ее приложениям (в генетике, физике, экономике). Получил ряд первостепенных результатов в области предельных теорем теории вероятностей и теории диффузных случайных процессов. Автор заслужившего мировое признание учебника по теории вероятностей.