Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения.
Том 2. Пер. с англ. Т.2. Изд. 2

Оглавление

Из предисловия к русскому изданию 1967 г.

Второй том книги известного американского математика В.Феялера "Введение в теорию вероятностей и ее приложения" вышел в США в 1966 г. Несмотря на большой промежуток времени между выходом первого и второго томов, оба тома имеют общий замысел и составляют единое целое. Книга дает строгое изложение теории вероятностей как самостоятельного раздела математики и в то же время знакомит читателя с опытными основаниями теории и различными применениями. Последнее достигается включением большого числа примеров и задач.

Книга очень богата содержанием. Многочисленные отступления от основного текста содержат сведения, интересные и специалистам. Большая работа, проведенная автором при подготовке второго тома, позволила существенно упростить изложение целых разделов (например, вывод асимптотических формул в теории случайных блужданий и задачах о разорении и многое другое).

Изложение тщательно продумано. Оно часто дополняется замечаниями, отражающими отношение автора к приводимым фактам (см., например, замечание в гл.VI, 7, о том, что рассмотрение в теории очередей потоков вызовов с независимыми промежутками между вызовами и с законом распределения длины этих промежутков, отличным от вырожденного или показательного, создает лишь иллюзию общности; трудно, говорит автор, найти примеры таких процессов, кроме разве движения автобуса по кольцевому маршруту без расписания). Напомню, что в первом томе автор удачно продемонстрировал тот факт, что сравнительно простые модели позволяют, хотя бы в первом приближении, правильно описать широкий круг практических задач (такими моделями в первом томе являются, например, размещения частиц по ячейкам, урновые схемы и случайные блуждания). Во многих случаях, где интуиция не подсказывает правильного порядка соответствующих вероятностей, автор приводил численные результаты. Подчеркивался ряд свойств случайности, идущих вразрез с интуитивными представлениями (закон арксинуса, пропорциональность времени до n-го возвращения величине n² и т.п.). Эти тенденции сохраняются и во втором томе (см., в частности, неоднократное обсуждение парадокса инспекции и сходных тем).

После того как разобран дискретный случай, элементарная теория непрерывных распределений требует лишь нескольких слов дополнительного объяснения. Поэтому до всякой общей теории, в первых трех главах, автор излагает задачи, связанные с тремя важнейшими распределениями – равномерным, показательным и нормальным. При этом автор затрагивает и ряд глубоких вопросов (случайные разбиения и теоремы о покрытиях, отклонение эмпирического распределения от теоретического, характеризация нормального распределения независимостью статистик, структура некоторых стационарных нормальных последовательностей и т.п.).

Необходимые сведения из теории меры сообщаются в четвертой главе. Автор подчеркивает вспомогательный характер этих сведений (что отличает книгу Феллера от ряда других современных руководств, где до трети объема уходит на теорию меры и интеграла).

Важную роль играет гл.VI, являющаяся, как замечает автор, собранием введений во все последующие главы.

В настоящем томе, по-видимому, впервые излагается так обстоятельно теория преобразований Лапласа в применении к вероятностным проблемам (гл.VII, XIII, XIV). Много места отведено вопросам теории восстановления и случайным блужданиям (гл.VI, XI, XII, XIV и XVIII). Предельные теоремы для сумм независимых величин излагаются дважды: сначала как иллюстрация операторных методов (гл.IX), а затем в общей форме в гл.XVII.

Можно надеяться, что выход в свет русского издания второго тома книги Феллера окажет заметное воздействие на многие стороны развития теории вероятностей, в частности сильно повлияет на характер преподавания теории вероятностей, позволив, наконец, привести его в соответствие с современными требованиями.

Профессор Феллер, узнав о подготовке перевода второго тома, любезно прислал список ряда необходимых исправлений, которые были внесены в текст. Я весьма благодарен ему за эту любезность.

В работе над переводом существенную помощь мне оказали А.В.Прохоров и В.В.Сазонов. Они внимательно прочли рукопись перевода и сделали ряд ценных замечаний, которыми я воспользовался. Они также указали на ряд неточностей в оригинале. Пользуюсь случаем выразить им свою глубокую благодарность.

От переводчика

План второго английского издания данного тома (с которого выполнен перевод) в целом повторяет план его первого издания, и в то же время автором внесено в текст большое число изменений. Подробно о них сказано в предисловии автора.

При подготовке перевода второго тома неоценимую помощь оказал мне А.Прохоров, а в работе над отдельными частями текста мне помогали А.Архангельский, А.Бряндинская, В.Матвеев, А.Ушакова, В.Ушаков, Н.Ушаков. Всем им я выражаю свою глубокую благодарность.

Предисловие к первому изданию

В то время когда писался первый том этой книги (между 1941 и 1948 гг.), интерес к теории вероятностей еще не был столь широким. Преподавание велось очень ограниченно, и такие вопросы, как цепи Маркова, которые теперь интенсивно используются в самых различных дисциплинах, рассматривались лишь как весьма специальные главы чистой математики. Поэтому первый том можно уподобить годному на все случаи жизни путеводителю для человека, отправляющегося в чужую страну. Чтобы отразить сущность теории вероятностей, в первом томе нужно было подчеркнуть как математическое содержание этой науки, так и удивительное разнообразие потенциальных применений. Некоторые предсказывали, что неизбежно возникающие из этой задачи колебания степени трудности изложения ограничат полезность книги. На самом деле первым томом книги широко пользуются и сейчас, когда новизна этой книги пропала, а ее материал (включая способ изложения) можно почерпнуть из более новых книг, написанных для специальных целей. Книга, как нам кажется, все еще завоевывает новых друзей. Тот факт, что неспециалисты не застряли в местах, оказавшихся трудными для студентов-математиков, показывает невозможность объективного измерения уровня трудности; этот уровень зависит от типа информации, которую ищет читатель, и от тех деталей, которые он готов пропустить. Так, путешественник часто стоит перед выбором: взбираться ли ему на гору самому или использовать подъемник.

Ввиду сказанного второй том написан в том же самом стиле, что и первый. Он включает более трудные разделы математики, но значительная часть текста может восприниматься с различной степенью трудности. Поясним это на примере способа изложения теории меры. Гл.IV содержит неформальное введение в основные идеи теории меры, а также дает основные понятия теории вероятностей. В этой же главе перечисляются некоторые факты теории меры, применяемые в последующих главах для того, чтобы сформулировать аналитические теоремы в их простейшей форме и избежать праздной дискуссии об условиях регулярности. Основное назначение теории меры в этой связи состоит в том, чтобы оправдать формальные операции и переходы к пределу, чего никогда не потребовал бы нематематик. Поэтому читатели, заинтересованные в первую очередь в практических результатах, никогда не почувствуют какой-либо необходимости в теории меры.

Чтобы облегчить доступ к отдельным темам, изложение во всех главах сделано столь замкнутым, сколь это было возможно. Иногда частные случаи разбираются отдельно от общей теории. Некоторые темы (такие, как устойчивые законы или теория восстановления) обсуждаются в нескольких местах с различных позиций. Во избежание повторений определения и иллюстративные примеры собраны в гл.VI, которую можно описать как собрание введений к последующим главам. Остов книги образуют гл.V, VIII и XV. Читатель сам решит, сколько подготовительных глав нужно ему прочитать и какие экскурсы произвести.

Специалисты найдут в этом томе новые результаты и доказательства, но более важной представляется попытка сделать единой общую методологию. В самом деле, некоторые части теории вероятностей страдают от того, что они недостаточно внутренне согласованы, а также от того, что группировка материала и способ изложения в большой степени определяются случайностями исторического развития. В образующейся путанице тесно связанные между собой проблемы выступают разобщенными, а простые вещи затемняются усложненными методами. Значительные упрощения были достигнуты за счет систематического применения и развития наилучших доступных сейчас методов. Это относится, в частности, к такой беспорядочной области, как предельные теоремы (гл.XVI, XVII). В других местах упрощения были достигнуты за счет трактовки задач в их естественном контексте. Например, элементарное исследование специального случайного блуждания привело к обобщению асимптотической оценки, которая ранее была выведена тяжелыми, трудоемкими методами в математической теории страхования (и независимо, при более ограничительных условиях, в теории очередей).

Я пытался достичь математической строгости, не впадая в педантизм. Например, утверждение, Что 1/(1 +xi²) является характеристической функцией для 1/2e^-|x| представляется мне желательным и законным сокращением для логически корректного варианта: функция, которая в точке xi принимает значение 1/(1 + xi²), является характеристической функцией для функции, которая в точке х принимает значение 1/2e^-|x|.

Боюсь, что краткие исторические замечания и ссылки не отдают должного многим авторам, внесшим свой вклад в теорию вероятностей. Однако всюду, где было возможно, я старался сделать это. Первоначальные работы во многих случаях перекрыты более новыми исследованиями, и, как правило, полные ссылки даются только на статьи, к которым читатель может обратиться для получения дальнейшей информации. Например, нет ссылок на мои собственные работы по предельным теоремам, в то же время какая-либо статья, описывающая результаты наблюдений или идеи, лежащие в основе примера, цитируется, даже если она совсем не содержит математики. В этих обстоятельствах, авторский указатель не дает никаких сведений о важности тех или иных исследований для теории вероятностей. Другая трудность состояла в справедливой оценке работ, которым мы обязаны новыми направлениями исследований, новыми подходами, новыми методами. Некоторые теоремы, рассматривавшиеся в свое время как поразительно оригинальные и глубокие, теперь получили простые доказательства и выступают в окружении более тонких результатов. Трудно воспринимать такие теоремы в их исторической перспективе и нелегко понять, что здесь, как и в других случаях, первый шаг значит очень многое.

Я благодарен Исследовательскому бюро армии США за поддержку моей работы по теории вероятностей в Принстонском университете, где мне помогали Дж.Голдмэн, Л.Питт, М.Силверстейн. Они устранили значительное число неточностей и неясных мест. Все главы переписывались много раз, и первоначальные варианты предшествующих глав распространялись среди моих друзей. Таким образом, благодаря замечаниям Дж.Эллиота, Р.С.Пинхема и Л.Дж. Сэвиджа возник ряд улучшений. Я особенно благодарен Дж. Л.Дубу и Дж.Волфовицу за советы и критику. График случайного блуждания Коши подготовлен Г.Тротером. За печатанием наблюдала г-жа X. Мак-Дугл, и внешний вид книги многим обязан ей.

Предисловие ко второму изданию

Характер и структура книги остались без изменений, но весь текст подвергся основательному пересмотру. Многие разделы были переписаны полностью (в частности, гл.XVII) и были добавлены некоторые новые параграфы. В ряде мест изложение упрощено благодаря усовершенствованным (а иногда и новым) рассуждениям. В текст был также включен новый материал.

При подготовке первого издания меня преследовал страх, что объем получится чрезмерно большим. ИзНза этого, к сожалению, я провел несколько бесплодных месяцев, сокращая первоначальный текст и выделяя отдельные места в мелкий шрифт. Этот ущерб теперь возмещен, и много усилий было потрачено на то, чтобы облегчить чтение книги. Встречающиеся время от времени повторения упрощают независимое чтение отдельных глав и позволяют связать некоторые части этой книги с материалом первого тома.

Расположение материала описано в предисловии к первому изданию, воспроизведенному здесь (см. второй абзац и далее).

Я благодарен многим читателям за указание ошибок и упущений. Особо я благодарю Хаджала (D.A.Hejhal) из Чикаго за весьма полный и впечатляющий список опечаток и за замечания, касающиеся многих мест книги.

К моменту кончины автора работа над рукописью уже была завершена, но корректуры получены не были. Я благодарю издателей, выделивших сотрудника для тщательного сличения корректуры с рукописью и за составление указателя. Проверку математического содержания книги произвели сообща Голдмэн (J.Goldman), Грюнбаум (A.Grunbaum), Маккин (Н.МсКеаn), Питт (L.Pitt) и Питтенджер (A.Pittenger). Каждый математик понимает, какой невероятный объем работы стоит за этим. Я выражаю свою глубокую признательность этим ученым и обращаю к ним слова искренней благодарности за их бескорыстный труд.

Об авторе

Выдающийся американский математик, член Национальной академии наук США. Окончил Загребский университет (1925); доктор философии Геттингенского университета (1926). С 1950 г. – профессор Принстонского университета (США). Основные труды В. Феллера относятся к теории вероятностей и ее приложениям (в генетике, физике, экономике). Получил ряд первостепенных результатов в области предельных теорем теории вероятностей и теории диффузных случайных процессов. Автор заслужившего мировое признание учебника по теории вероятностей.