Смольяков Э.Р. Теория антагонизмов и дифференциальные игры

Введение

В монографии предлагается новый подход к поиску решения задач принятия или отказа от предложений в случае двух участников с противоположными интересами и задач, определяемых как антагонистические игры, в основу которого положена иерархическая система разработанных автором игровых равновесий. В жизни классические игровые ситуации встречаются, вообще говоря, реже, чем ситуации, в которых приходится соглашаться со сделанным нам предложением или отказываться от него. Действительно, вся наша жизнь состоит из цепи ситуаций, в которых нам приходится делать выбор – оставаться пассивными в реализовавшейся ситуации или же предпринимать какие-либо действия, чтобы изменить эту ситуацию, но если мы предпринимаем действия по выходу из сложившейся ситуации, то неизбежно Природа или люди реагируют на наши действия, и эти их реакции в общем случае отслеживают цели, вовсе не совпадающие с нашей целью. Так что жизнь постоянно ставит нас перед выбором: принять или отказаться от сделанного нам случаем (или кем-то) предложения.

Основы теории принятия или отказа от предложения, как показали исследования, оказавшиеся пригодными также и в качестве базы для разработки игровых равновесий, изложены в монографии [40]. В предлагаемой читателю работе теория отказа или принятия предложений разрабатывается в направлении использования ее для разрешения антагонистических ситуаций как собственно в задачах принятия или отказа от предложения, так и в антагонистических играх.

Известно, что наиболее обоюдовыгодное разрешение антагонистических отношений, моделируемых антагонистической игрой, оказывается возможным в тех случаях, когда платежная функция игры имеет седловую точку. Для игр как в статической, так и в динамической постановке, допускающих решение в форме седловой точки в том или ином классе стратегий, к настоящему времени создан относительно хорошо разработанный, хотя еще и относительно далекий от завершения, математический аппарат. Однако в реалистичных игровых моделях седловые точки (в наиболее естественном классе – чистых стратегий) в большинстве случаев отсутствуют, и тогда в качестве решения зачастую приходилось довольствоваться не очень-то удовлетворительным понятием гарантированной оценки.

В первой главе монографии излагаются основы предложенной автором теории антагонистических равновесий, базой для создания которых послужили понятия активных равновесий в бескоалиционных играх [40]. Не будет преувеличением сказать, что если в антагонистической игре существует ситуация, называемая седловой точкой в естественном классе стратегий – чистых стратегий, то любое другое понятие решения игры не удовлетворит его участников. Но, к сожалению, седловая точка (в известной ее классической форме) существует лишь в очень узких классах игр. Ее отсутствие в математической модели игры, однако, вовсе не устраняет антагонизма между участниками, а приводит к необходимости поиска иной ситуации, которая разрешила бы игровую задачу или задачу принятия или отказа от предложения при обоюдном согласии с нею ее участников.

Исторически проблему отсутствия (классической) седловой точки пытались разрешить посредством введения понятия смешанной стратегии. И было доказано, что в реальных играх смешанные стратегии позволяют реализовать решение типа седловой точки, если игра состоит из очень большого числа партий. Но когда она разыгрывается однократно или состоит из небольшого числа партий, смешанные стратегии не оказываются разумными стратегиями для участников.

В первом параграфе главы 1 излагаются концептуальные основы теории активных антагонистических равновесий в рамках задачи принятия или отказа от предложения, аксиоматически вводимых в виде двух групп равновесий – симметричных и несимметричных – и позволяющих даже в классе чистых стратегий указать в любой задаче наиболее устойчивые игровые равновесия. Обе группы равновесий содержат в своем составе равновесия, существующие в любых задачах, и имеют иерархическую структуру, причем в группе симметричных равновесий наиболее сильными и наиболее предпочтительными являются решения типа (классической) седловой точки, отсутствие которых в игре позволяет, однако, удовлетвориться ближайшим к нему в иерархической цепи равновесием из существующих в игре более слабых активных равновесий (в числе которых – и новые типы седловых точек).

Во втором параграфе главы 1 установлена иерархия между четырьмя типами седловых точек – независимой (классической), слабозависимой, самой общей из известных до настоящего времени – зависимой и предлагаемой новой, еще более общей – сильнозависимой, и доказаны наиболее общие теоремы существования зависимой седловой точки. В третьем параграфе рассматриваются по существу совершенно не изученные игры с многозначными функционалами, для которых доказаны теоремы существования симметричных активных равновесий. В четвертом параграфе изучаются игры с дискриминацией участников в чистых и смешанных стратегиях в случае наличия зависимости между стратегиями участников. Получены конструктивные необходимые условия существования максиминов и минимаксов и доказана теорема существования седловой точки для совершенно неизученного в теории игр случая смешанных стратегий на зависимых множествах. В пятом параграфе предложены методики поиска активных равновесий и седловых точек в прикладных задачах.

В главе 2 для программных дифференциальных игр со свободным правым концом траектории доказана теорема существования классической седловой точки и получены конструктивные необходимые условия оптимальности поведения игроков. На большом числе примеров продемонстрированы методики поиска седловых точек.

В главе 3 рассматриваются программные дифференциальные игры с двухточечными краевыми условиями, вносящими в игру неявную зависимость между стратегиями участников. В первых двух параграфах этой главы доказаны теоремы существования и необходимые условия существования зависимой седловой точки. В третьем параграфе предложено новое понятие симметричного согласованно активного равновесия, несколько более слабого, чем зависимая седловая точка, для которого оказалось возможным доказать столь же конструктивные необходимые условия существования в смешанных стратегиях, как и для зависимой седловой точки.

В главе 4 рассматриваются наиболее сложные – программные дифференциальные игры в смешанных стратегиях с подвижными концами траектории, для которых доказаны конструктивные необходимые условия существования зависимой седловой точки.

В главе 5 для совершенно неизученных классов программных дифференциальных игр, в которых, с одной стороны, имеются двухточечные краевые условия, вносящие неявную зависимость между стратегиями участников, а с другой, введена явная зависимость между множествами чистых стратегий, а следовательно, и особенно трудно поддающаяся математическому исследованию зависимость между смешанными стратегиями, получены конструктивные необходимые и достаточные условия существования максиминных и минимаксных задач и зависимой седловой точки в смешанных стратегиях и аналогичные условия для некоторого подмножества множества симметричных активных равновесий. На примерах продемонстрированы методики поиска вышеуказанных решений.

В главе 6 изучаются антагонистические программные дифференциальные игры с векторными платежными функционалами. Получены необходимые условия существования введенных понятий решения в дифференциальных играх с векторными критериями в классе смешанных стратегий. На примере сложной задачи динамического взаимодействия двух государств в сфере внешней торговли с учетом математических моделей развития их экономик демонстрируется целесообразность использования предложенных новых понятий игрового равновесия.

Оглавление

Об авторе