|
Оглавление
Предисловие переводчика
Уже почти двадцать лет в алгебраической топологии известен удивительный факт, оказавший большое влияние на ее развитие, но до конца, по-видимому, еще не понятый. Мы имеем в виду существование почти полного параллелизма (выражающегося в эквивалентности соответствующих категорий) между гомотопической теорией топологических пространств и аналогичной теорией симплициальных множеств -- объектов, по существу, чисто алгебраических. Вероятно, само существование алгебраической топологии, т.е. возможности в основном полностью сводить задачи геометрии к задачам алгебры, именно этим и объясняется. Теория симплициальных множеств, с одной стороны, имеет большое методологическое значение, существенно проясняя логическую и концептуальную природу основ алгебраической топологии, а с другой -- играет роль одного из мощнейших инструментов топологического исследования: многие важные понятия топологии впервые появились в рамках этой теории и лишь затем были переведены на "геометрический " язык, причем зачастую этот перевод лишь затуманил суть дела. Однако, несмотря на относительное обилие появившихся за последнее время монографий и учебных пособий по алгебраической топологии, симплициальные множества не нашли в них по существу никакого отражения. Читатель, желающий познакомиться с их теорией, был до сих пор вынужден рыться в горах журнальной литературы или пользоваться малодоступными мимеографированными записями лекций. Предлагаемая вниманию советского читателя книга Габриеля и Цисмана представляет собой первую попытку изложения в монографической форме основных результатов теории симплициальных множеств и их применения к алгебраической топологии. Она содержит довольно полное изложение этой теории (в части, не касающейся групп гомологии) и в определенной мере заполняет имеющийся пробел в топологической литературе. В современной математике наряду с обостренным вниманием к решению конкретных трудных задач все возрастающую роль играют Унифицирующие и объединяющие концепции, позволяющие охватить в рамках нескольких общих понятий обширные части все более разветвляющегося древа этой науки. Большинство этих концепций связано с понятиями категории и функтора, появившимися вначале в топологии, но быстро получившими всеобщее признание. К сожалению, весьма часто это признание остается в области чистых деклараций, не подкрепленных конкретными математическими результатами. Отличительной чертой книги Габриеля и Цисмана является, напротив, последовательное использование общекатегорных понятий, что позволило им существенно упростить изложение, вместить довольно большое содержание в сравнительно небольшой объем и вместе с тем отчетливо прояснить внутреннюю логическую структуру теории. Таким образом, эта книга может служить и неплохим введением в изучение общекатегорных идей и методов, развитых на топологическом материале. С другой стороны, алгебраисты, знакомые с теорией категорий, могут по этой книге сравнительно быстро и без особого (для них) труда освоить ряд основных идей и методов современной топологии и одновременно на конкретном геометрическом материале увидеть, как работают известные им общие алгебраические понятия. В введении к книге авторы высказывают мнение, что их монография может служить также и начальным учебником алгебраической топологии для лиц, только приступивших к изучению этого отдела математики. Формально они правы: для понимания книги никаких особых предварительных знаний не требуется. Однако на самом деле для первоначального изучения топологии книга по существу не пригодна. Причиной тому является как нестандартность и вызванная ею конденсированность изложения, так и отсутствие конкретных примеров и приложений; кроме того, стиль (и план) изложения, принятый авторами, подходит скорее для журнальных публикаций результатов оригинальных исследований (публикаций, рассчитанных на многоопытного специалиста, умеющего читать "между строк"), чем для книг учебного характера. Даже при беглом просмотре бросается в глаза разнобой в терминологии, введение не используемых определений и, наоборот, игнорирование уже введенных определений, по существу ненужные ссылки на литературу, отказ от разъяснения специфики частных случаев общих конструкций и вместе с тем безоговорочное использование этих частных случаев и т.п. При чтении книги на первой же странице выясняется, что авторы не привели определения одного из важнейших для всей книги понятий -- понятия сопряженного функтора (ограничившись ссылкой на журнальную литературу), хотя они и подробно описывают многие понятия, играющие совершенно незначительную роль. Насколько было возможно, эти недостатки изложения при переводе устранены. В частности, значительно пополнен предпосланный книге Глоссарий по общей теории категорий и в ряде наиболее сжато написанных мест текст несколько расширен. Общий план изложения в книге также может создать трудности для читателя. В связи с этим можно рекомендовать начинать чтение книги сразу с §2 гл.II, возвращаясь к пропущенному материалу по мере необходимости. При таком чтении можно надеяться, что предлагаемый перевод может быть полезен и начинающему как дополнительное учебное пособие. Новый текст Глоссария был просмотрен М.С.Цаленко и Е.Г.Шульгейфером, сделавшими ряд ценных замечаний. Москва, 1 июня 1968 г. М.М.Постников |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||