|
Оглавление
Введение
Вторая часть книги посвящена геометрии второго порядка. В ней излагается схема Мирона-Атанасиу метрических (римановых, финслеровых, лагранжевых) структур – схема, соединяющая концепции многих авторов: Леви-Чивиты, Минковского, Бервальда, Кавагучи, Кобаяси, Матсумото, Моримото, Сасаки, Яно и др. Поскольку в геометрических моделях лагранжевой механики, теоретической физики и вариационного исчисления лагранжианы зависят от многих переменных и ускорений высших порядков, то естественной структурой в этой геометрии являются соприкасающиеся расслоения (OsckM, pik, М) и связности в таких расслоениях. Связность определяется в общем случае как структура вида T(OsckM) = N0 oplus N1 oplus... oplus Nk-1 oplus Vk. Построения в случае k = 2 дают ясное представление о том, как это происходит в высших этажах. В ситуациях, возникающих в OscM (вместо Osc2M употребляем обозначение OscM), приходим к геометрическим моделям римановых, финслеровых и др. пространств, представляющим интерес для калибровочной теории и единой теории поля в физике. Общая связность D в OscM согласуется со структурой N0 oplus N1 oplus V2 и на этой основе вырабатывается соответствующий аппарат для однородного продолжения римановой и финслеровой метрик. Разрабатывается теория геодезических для продолженных метрик. Геодезические линии понимаются как экстремали лагранжиана энергии или лагранжиана длины. Уравнения выводятся с применением вариационной техники на OscM. Показано, как некоторые важные результаты римановой геометрии, относящиеся к геодезическим линиям и полям Якоби, включая теорему Морса об индексе, могут быть перенесены в геометрию второго порядка. Отдельная глава посвящена обобщённым калибровочным преобразованиям и производным – с тем, чтобы прийти к обобщению уравнений Эйнштейна-Янга-Миллса в расслоении OscM. В ходе изложения даётся обзор исследований по обобщённой калибровочной теории. Наконец, изучается геометрия систем ОДУ второго порядка с помощью пяти инвариантов и для этих систем обсуждается проблема структурной устойчивости по Якоби (наряду с устойчивостью по Ляпунову). Такой цели преследует т.н. КСС-теория (по имени трёх авторов Kosambi, Cartan, Chern), ставшая популярной в связи с приложениями в физике плазмы, химии, биологии, генетике и экологии. Об авторе
Профессор университета "Трансильвания" в Брашове, Румыния. В 1961 г. окончил университет "Al. I. Cuza" в городе Яшь, в 1973 г. получил степень доктора математики. В 1981 г. награжден премией "Gh. Tzitzeica" Академии наук Румынии. Член общества "Тензор" (Япония), вице-президент Балканского общества геометров. Автор исследований в области геометрии высшего порядка. Владимир БАЛАН (род. в 1958 г.) Профессор факультета прикладных наук Политехнического университета в Бухаресте. В 1982 г. окончил Бухарестский университет, c 1992 г. – доктор математики. Член Американского математического общества, общества "Тензор" (Япония) и других; вице-президент Балканского общества геометров. Автор исследований по гармоническим отображениям, калибровочной теории, геометрии пространств Финслера, Лагранжа и Гамильтона, а также по вопросам вариационных проблем с применением к теории относительности и гравитации. Николета БРЫНЗЕЙ (род. в 1974 г.) Доцент университета "Трансильвания" в Брашове, Румыния. В 1997 г. окончила университет "Трансильвания", в 2004 г. получила степень доктора математики. Автор исследований по вариационным проблемам с применением к геометрии высшего порядка. Майдо РАХУЛА (род. в 1936 г.) Профессор-эмеритус Тартуского университета, Эстония. В 1959 г. окончил Томский университет, в 1989 г. получил степень доктора физико-математических наук. В 1993 г. награжден Государственной премией Эстонии. Член Американского математического общества, Балканского общества геометров и Эстонского математического общества. Автор исследований по касательным структурам и связностям в расслоениях с применением к теории дифференциальных уравнений. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||