Уокер Р. Алгебраические кривые.
Пер. с англ. Изд. 3

Оглавление

Предисловие переводчика

Книга Уокера является введением в алгебраическую геометрию в той ее части, которая связана с кривыми линиями. Две первые главы содержат все сведения из алгебры и проективной геометрии, необходимые для дальнейшего чтения книги, и делают ее доступной студенту второго курса университета. В третьей главе рассматриваются вопросы, связанные с особыми точками и точками пересечения алгебраических кривых. В последнем параграфе этой главы доказывается, что любая алгебраическая кривая квадратическими преобразованиями может быть обращена в кривую, имеющую лишь кратные точки с различными касательными. Четвертая глава посвящена степенным рядам и их приложениям. Здесь полностью решается вопрос об определении кратности точки пересечения алгебраических кривых, доказывается в полном объеме теорема Безу об общем числе точек пересечения двух кривых. Заканчивается эта глава теоремой Нётера о кривой, проходящей через все точки пересечения двух данных кривых. Пятая глава содержит изложение вопросов, связанных с рациональными и бирациональными преобразованиями. В этой же главе рассматриваются пространственные кривые, определяемые первоначально как образы плоских кривых при бирациональных преобразованиях. Заключительная глава вводит читателя в круг идей, связанных с бирациональными инвариантами кривой.

Как правило, автор лишь постепенно подводит читателя к более абстрактным понятиям. Он начинает с самых простых представлений об излагаемом предмете, постепенно знакомя читателя с возникающими при его изучении трудностями и делая, таким образом, естественным введение в дальнейшем аппарата, необходимого для преодоления этих трудностей. Так, при подсчете числа точек пересечения двух кривых сначала считаются лишь геометрически различные точки (гл.III), для их числа доказывается ослабленная теорема Безу в виде неравенства, и лишь затем, когда читатель сам начинает испытывать неудовлетворенность от неумения считать каждую точку с необходимой кратностью, вводится аппарат (гл.IV), позволяющий легко дать надлежащее определение кратности точки пересечения, а также связать "кратную " точку кривой с несколькими "ветвями", имеющими центры в этой точке.

Автор разбирает большое количество конкретных примеров и, кроме того, приводит много задач для самостоятельных упражнений. Эти задачи не трудны, но требуют от читателя полного понимания изложенного в тексте материала, причем их решение должно привести к надежному овладению сообщенными методами. Некоторые параграфы сопровождаются, помимо вычислительных задач, еще несколькими теоремами, которые предлагается доказать читателю с помощью приемов, применявшихся автором.

Из предисловия автора

Эта книга написана в качестве первоначального введения в алгебраическую геометрию. Материал и метод изложения выбраны в соответствии со следующими требованиями: 1) возможная элементарность изложения, 2) введение в изложение некоторых современных алгебраических методов подхода к проблемам алгебраической геометрии и раскрытие связей этих методов с более старыми аналитическими и геометрическими методами, 3) демонстрация применения общих методов к частным геометрическим вопросам. Эти требования привели к выбору материала, концентрирующегося вокруг бирациональных преобразований и линейных рядов на алгебраических кривых.

Опыт преподавания показал необходимость предварительного изложения некоторых сведений из алгебры и проективной геометрии. Это сделано в первых двух главах. Включение указанного материала делает изложение почти полностью независимым от других источников.