Самарский А.А.Ак★★, Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики Изд. стереотип.

Оглавление

Предисловие к четвертому изданию

Предыдущее издание этой книги появилось более десяти лет назад. За это время вычислительный эксперимент, как метод теоретического исследования в науке, значительно укрепил и расширил свои позиции.

Сформировались и успешно развиваются такие дисциплины, как вычислительная газодинамика, вычислительная физика плазмы, вычислительная электродинамика и другие разделы естественных наук, активно использующие математические модели и вычислительные методы.

Математическое моделирование уверенно входит и в те области знаний, которые традиционно считались гуманитарными.

Всему этому в значительной мере способствует впечатляющий прогресс в технической базе вычислительного эксперимента – вычислительной технике, телекоммуникациях. Появились суперкомпьютеры, многопроцессорные комплексы с параллельной архитектурой, обладающие уникальными вычислительными возможностями. Это, в свою очередь, стимулирует постановку новых прикладных задач, отличающихся повышенной сложностью за счет учета новых физических эффектов, многомерности, нелинейности и т.д. Отсюда новый импульс для развития теории вычислительных методов. Известно, что для исследования исходной физико-математической модели может быть построено неограниченное множество вычислительных алгоритмов. Одна из задач теории, – сформулировать критерии отбора, с помощью которых из этого множества можно выделять алгоритмы, обладающие требуемыми качествами. Среди подобных критериев в последнее время все чаще используется требование того, чтобы вычислительный алгоритм наследовал основные свойства исходной физико-математической модели. В газовой динамике примером этого может служить требование консервативности и полной консервативности, которому в данной книге уделено значительное внимание.

Количество научных работников, использующих методы математического моделирования в своих исследованиях, постоянно растет. Увеличивается и студенческая аудитория, изучающая в курсах прикладной математики аналогичные вопросы. Поэтому растет потребность в соответствующей литературе. Данное издание в какой-то мере отвечает этой потребности.

Предисловие к третьему изданию

За время, прошедшее с момента опубликования предыдущего издания книги, теория численных методов решения уравнений газовой динамики и практика их применения для расчета прикладных задач получила дальнейшее развитие.

Характерным стало рассмотрение пространственно многомерных (главным образом двумерных) течений газа, осложненное учетом дополнительных физических явлений, таких как химические реакции, фазовые переходы, перенос излучения и т.д.

Повышение сложности задач требует применения более совершенных и, прежде всего, более экономичных вычислительных алгоритмов с тем, чтобы обеспечить получение решения на ЭВМ за приемлемое машинное время. В свою очередь построение эффективных численных методов невозможно без развития теории. Поэтому оправдано то внимание, которое уделяется во всем мире специалистами в области вычислительной газодинамики различным теоретическим и методическим аспектам этой проблемы.

К сожалению, в силу нелинейности уравнений строгие математические исследования разностных схем и методов их реализации в газовой динамике затруднены. Здесь широко используются различные эмпирические соображения и аналогии, "технологические" приемы и пр., целесообразность которых оправдывается вычислительной практикой и, прежде всего, анализом тестовых расчетов модельных задач, имеющих точные решения.

Один из серьезных вопросов, возникающих при расчете задач газовой динамики, состоит в правильном воспроизведении решения в областях, где оно претерпевает сильные изменения во времени и пространстве. Заметим, что такого сорта решения типичны для современных прикладных задач науки, техники, технологии. Этот вопрос связан не только с соблюдением основных законов сохранения и других соотношений физического характера, что обсуждается в главах, посвященных построению полностью консервативных схем. Практика расчетов показывает, например, что в окрестности таких газодинамических особенностей, как фронт ударной волны, наблюдаются резкие осцилляции сеточного решения, или, напротив, его аномальное размазывание, не отражающие физической реальности. Для борьбы с отмеченными явлениями различными авторами предлагаются и используются различные приемы, и количество работ на эту тему постоянно увеличивается.

В настоящее издание включена глава, в которой указанный круг проблем рассматривается с "разностно-физической" точки зрения. Уравнения разностной схемы трактуются как законы эволюции некоторой дискретной среды, элементарными "квантами" которой являются пространственные ячейки сетки. Эта дискретная среда не адекватна исходной непрерывной среде, описываемой системой дифференциальными уравнениями. Оказывается, в частности, что дискретная среда обладает внутренней или так называемой схемной диссипацией и дисперсией, которые обусловливают различия между сеточным решением и решением дифференциальной задачи.

В главе V, включенной в настоящее издание, для анализа диссипативных и дисперсионных свойств разностных схем применяется известный метод дифференциального приближения. Выясняется механизм появления этих факторов и их зависимость от шагов сетки, способа аппроксимации отдельных членов уравнений и т.д. В результате удается построить разностные схемы нового типа – схемы с искусственной дисперсией, – в которых действие указанных факторов ослаблено, что повышает качество разностного решения.

Понятия схемной диссипации и дисперсии позволяют также с помощью метода дифференциального приближения анализировать с единой позиции и другие схемы, применяемые для расчета быстропеременных газодинамических течений.

В данном издании в первую главу включен дополнительно параграф, посвященный решению классической задачи о распаде произвольного разрыва. Это решение использовано в дальнейшем в качестве теста.

Внесены также исправления замеченных опечаток и неточностей.

Авторы выражают искреннюю благодарность С.И.Мухину, оказавшему большую помощь при работе над настоящим изданием, особенно при подготовке материалов пятой главы.

Предисловие

Во многих областях современной науки возникают задачи, включающие в качестве существенного элемента уравнения газовой динамики. Уравнения газовой динамики нелинейны, поэтому единственным эффективным и универсальным способом их решения в настоящее время являются численные методы, основанные на использовании быстродействующих электронных вычислительных машин (ЭВМ).

Количество научных работников, в той или иной мере связанных с решением задач газодинамики, постоянно увеличивается, чем объясняется растущий интерес к соответствующим разделам вычислительной математики. Отсюда также вытекает необходимость в пособиях с систематическим изложением основ данного вопроса. К этой категории и относится настоящая книга.

При численном решении задач газовой динамики методом конечных разностей непрерывная среда заменяется некоторой дискретной моделью, а дифференциальные уравнения, описывающие исходную задачу, – конечной системой алгебраических соотношений (разностной схемой). Разностная схема, аппроксимирующая дифференциальную задачу, может быть построена неединственным образом. Поэтому возникает проблема конструирования оптимальных в определенном смысле разностных схем.

В книге изложены некоторые общие принципы (консервативность, однородность и т.д.), позволяющие получать разностные схемы газовой динамики, которые обладают хорошими количественными характеристиками. В частности, сформулирован принцип полной консервативности, который дает возможность строить схемы, правильно передающие быстро изменяющиеся решения даже на грубых сетках, когда фактически теряется аппроксимация. Эти качественные принципы имеют теоретическое обоснование для линейного случая и подтверждены практическими расчетами для нелинейных задач. При изложении основные вопросы теории иллюстрируются простыми наглядными примерами.

Следует отметить, что большинство описанных принципов носит эвристический характер и отражает общие физические закономерности изучаемого явления. По-видимому, это обстоятельство носит общий характер: на современном этапе решать численно сложную нелинейную задачу математической физики как абстрактно математическую нецелесообразно. Эффективные разностные схемы и алгоритмы могут быть построены лишь при соответствующем учете физического содержания исследуемого объекта.

При написании книги авторы стремились познакомить читателя с приемами построения и анализа разностных схем газовой динамики, указать схемы и алгоритмы, надежность и эффективность которых проверена на практике при решении больших сложных задач, описать ряд "технологических" вопросов, неизбежно возникающих при реализации численных алгоритмов на ЭВМ и составляющих "кухню" исследователя – вычислителя, – одним словом, передать в какой-то степени многолетний опыт решения задач газовой динамики и магнитной гидродинамики, накопленный большим коллективом, в который входят и авторы.

Авторы полагают, что подробно познакомившись с материалом книги, читатель сможет самостоятельно проводить численное решение одномерных нестационарных задач радиационной газовой динамики и магнитной гидродинамики.

Математическое моделирование явлений, процессов и конструкций является эффективным средством теоретического анализа задач, выдвигаемых наукой и техникой. Прямой расчет на ЭВМ – практически единственный способ решения сложных систем нелинейных уравнений, описывающих многие актуальные проблемы физики, химии, биологии и т.д. В то же время только прямой расчет может обеспечить те высокие требования, которые предъявляет практика к точности результатов теоретических исследований, ведь полученная в них информация является основной при проектировании сложных устройств современной техники.

В настоящее время все более употребительным, в особенности применительно к математическому анализу задач физики, становится термин "вычислительный эксперимент" [79]. Суть этого метода организации теоретического исследования сложных прикладных проблем состоит в том, что на основе математической модели путем непосредственного численного решения соответствующих уравнений количественно определяется поведение изучаемого объекта в тех или иных условиях. Сопоставление результатов расчетов с имеющимися данными наблюдений, натурных экспериментов позволяет оценить эффективность исходной математической модели и в случае необходимости модифицировать ее с тем, чтобы добиться большей ее адекватности рассматриваемому явлению. На основе прошедшей такую проверку модели появляется возможность прогнозировать поведение исследуемого объекта в условиях, пока недостижимых в натурном эксперименте, выяснить оптимальные параметры и режимы работы действующих или проектируемых конструкций. В этом смысле создание численных методов и программных комплексов, реализующих их на ЭВМ, в определенном смысле эквивалентно созданию крупных экспериментальных установок, а деятельность но проведению расчетов, обработке и интерпретации их результатов и т.д. можно рассматривать как аналог реального физического эксперимента в лаборатории.

Очевидно, что при решении сложных научно-технических проблем вычислительный эксперимент по сравнению с экспериментом натурным значительно дешевле и доступнее, его подготовка и проведение требует меньшего времени, он дает более подробную информацию и т.д. Однако альтернативное противопоставление эксперимента вычислительного и натурного было бы неверным. В современных исследованиях, обеспечивающих научно-технический прогресс, оба эти метода должны использоваться в разумном сочетании.

Вычислительный эксперимент носит итерационный многовариантный характер, так как в процессе его проведения уточняется математическая модель, модифицируется вычислительный алгоритм, совершенствуется организация вычислительного процесса и обработка результатов расчета. Это вынуждает предъявлять достаточно жесткие требования к эффективности и экономичности численных алгоритмов, к возможности их реализации за минимальное машинное время при сохранении достаточной точности.

С точки зрения программирования вычислительный эксперимент характерен тем, что для каждой модели необходимо решать большое число вариантов (варьируя определяющие параметры задачи и, кроме того, как говорилось выше, саму математическую модель). Эта особенность ("многовариантность" и "многомодельность") вычислительного эксперимента проявляется в многократных изменениях программы, реализующей алгоритм, причем эти изменения касаются как структуры программы в целом, так и отдельных ее частей. Новая технология программирования строится на основе модульной (блочной) структуры математической модели и алгоритма. Построенные по этому принципу проблемно-ориентированные программные комплексы и системы принято называть пакетами прикладных программ. Их характерная черта заключается в возможности постоянного развития, расширения за счет включения новых модулей, реализующих новые возможности.

В приложении в качестве примеров вычислительного эксперимента приведены постановки и решения трех задач: "взаимодействие плазмы с магнитным полем в канале рельсотрона", "сильноточный разряд с учетом эффекта вторичного пробоя" и "магнитогидродинамическая модель вспышки сверхновой". Эти задачи, относящиеся к актуальным направлениям физики плазмы и астрофизики, позволяют наглядно продемонстрировать эффективность численных алгоритмов, описанных в книге.

Исследования, выполненные различными авторами в последние годы, показали, что направление, связанное с конструированием и применением полностью консервативных разностных схем для решения различных задач математической физики, является весьма плодотворным. Сформулированный первоначально для одномерных задач газовой динамики и магнитной гидродинамики в лагранжевых массовых переменных принцип полной консервативности был затем распространен на другие классы задач. Так в работах [22, 23, 97] предложен вариационно-разностный подход к построению двумерных полностью консервативных схем для уравнений газодинамики и магнитной гидродинамики. Эти схемы были использованы для расчета ряда практически важных задач и продемонстрировали свою высокую эффективность [6, 18, 19, 25].

Полностью консервативные схемы были построены также для задач, описываемых кинетическими уравнениями, и также хорошо себя зарекомендовали в практических расчетах [12, 74].

При чтении книги желательно знакомство с элементарными сведениями из теории газодинамических течений (по любому систематическому курсу газовой динамики), с особенностями постановки задач математической физики (например, по книге А.Н.Тихонова, А.А.Самарского [93]), а также с основными вопросами теории разностных схем (см., например, книгу А.А.Самарского [78]). Однако для цельности изложения в книге предусмотрены специальные разделы, содержащие все необходимые справочные сведения.

Следует отметить методическое и идейное единство этого пособия с книгами: "Введение в теорию разностных схем" [77] и "Теория разностных схем" [78] А.А.Самарского, "Устойчивость разностных схем" А.А.Самарского и А.В.Гулина [80], "Разностные методы для эллиптических уравнений" А.А.Самарского и В.Б.Андреева (М.: Наука, 1976), "Методы решения сеточных уравнений" А.А.Самарского и Е.С.Николаева (М.: Наука, 1978).

Книга возникла на основе лекций, которые авторы в течение нескольких лет читали в Московском государственном университете для студентов и аспирантов физического факультета и факультета вычислительной математики и кибернетики. Она предназначена для широкого круга читателей, связанных с применением разностных методов к решению задач газодинамики и магнитной гидродинамики.

Авторы считают своим приятным долгом выразить большую благодарность П.П.Волосевичу, В.Я.Гольдину, А.В.Гулину, Н.Н.Калиткину, С.П.Курдюмову, А.П.Фаворскому и другим сотрудникам Института прикладной математики АН СССР, совместная работа с которыми над решением различных задач газодинамики и магнитной гидродинамики нашла отражение в этой книге.

Введение

Многие вопросы современной науки и техники в той или иной мере связаны с решением уравнений газовой динамики. В качестве примера можно назвать аэродинамику летательных аппаратов и задачи астрофизики, прогноз погоды и проектирование магнитогидродинамических генераторов электрической энергии, теорию реактивных двигателей, управляемый термоядерный синтез и многие другие актуальные проблемы.

Отдельные разделы газовой динамики развиваются достаточно давно и весьма интенсивно. Получено много важных, интересных и "изящных" результатов, и тем не менее общих методов решения газодинамических задач до сих пор не существует. Более того, следует отметить, что здесь в общем случае пока нет даже доказательств существования и единственности решения. Это объясняется сложностью уравнений газовой динамики и прежде всего их нелинейностью. В то же время именно нелинейность порождает такие эффекты, как, например, ударные волны, не имеющие аналога в линейном случае и представляющие большой теоретический и практический интерес.

Уравнения газовой динамики описывают движение сплошной сжимаемой среды. В последнее время практика все чаще выдвигает задачи, где на газодинамические течения воздействуют различные дополнительные факторы такие, как электромагнитные и гравитационные поля, процессы тепло- и электропроводности, химические реакции и т.д. Учет подобных явлений усложняет математическую постановку задач и порождает самостоятельные проблемы при их решении. Однако и здесь основу задачи по-прежнему составляют классические уравнения газодинамики. Поэтому разработка эффективных методов решения этих уравнений представляет один из важных вопросов для многих разделов современной науки.

Отметим, что в газовой динамике хорошо развит и широко применяется аппарат автомодельных решений. С помощью такого подхода осуществлена постановка и проведен анализ многих важных задач. Автомодельные методы позволяют детально исследовать отдельные качественные стороны явления, получать количественные оценки, выяснять влияние различных параметров. Однако построение автомодельных решений, как правило, возможно лишь для некоторых частных, упрощенных вариантов исходной задачи.

В общем случае фактически единственным эффективным способом решения задач газовой динамики являются численные методы, основанные на использовании быстродействующих электронных вычислительных машин. Эти методы получили свое развитие сравнительно недавно, примерно в течение последних трех десятилетий. В отличие от аналитических методов, где зачастую для каждой задачи разрабатываются свои самостоятельные приемы решения, численные методы отличаются большой универсальностью и применимы для исследования широкого класса явлений.

Конструирование вычислительного алгоритма подразумевает два этапа: первый – построение разностной схемы для математической модели, т.е. аппроксимация исходной системы дифференциальных и интегральных уравнений системой разностных (алгебраических) уравнений, и второй – построение эффективного метода для решения этих разностных уравнений.

Построение разностной схемы в задачах гидродинамики можно рассматривать как замену непрерывной среды, описываемой дифференциальными уравнениями, некоторым дискретным ее аналогом, эволюция которого происходит по законам, выражаемым разностными уравнениями. При такой замене возникают новые параметры – шаги (по времени и пространству) разностной сетки, которая вводится вместо области непрерывного изменения аргумента. Представляется естественным с точки зрения создания экономичного алгоритма использовать так называемые грубые сетки с большими шагами (с малым числом узлов), в силу того что машинное время, необходимое для решения разностных уравнений, возрастает с уменьшением шагов (ростом числа узлов). Однако разностная схема "близка" к исходной системе дифференциальных уравнений лишь асимптотически при неограниченном измельчении шагов сетки. При конечных шагах сетки, используемых на практике, дискретная модель среды, описываемая разностными уравнениями, может заметно отличаться от непрерывной среды. Это различие зачастую порождает в расчетах паразитические эффекты разностного происхождения, снижающие ценность разностного решения. Поэтому важно строить такие схемы, которые сохраняли бы свои "хорошие" качества на сетках, применяемых в реальных расчетах (как говорят, на "грубых" сетках).

Для линейных уравнений математической физики существует хорошо развитая теория разностных схем, опирающаяся на три фундаментальных понятия: аппроксимацию, устойчивость и следующую из них сходимость.

Изучение аппроксимации разностной схемы для гладких функций не представляет труда как в линейном, так и в нелинейном случаях. Доказательство устойчивости схемы фактически сводится к получению некоторых априорных оценок, выражающих непрерывную зависимость разностного решения от входных данных задачи. В отличие от линейного случая построение подобных оценок для нелинейных уравнений сопряжено с большими трудностями, а для уравнений газодинамики такие оценки вообще отсутствуют. Поэтому проверку устойчивости схем обычно проводят на некоторых линейных аналогах исходной задачи, например, в акустическом приближении.

Поскольку получить достаточно общие количественные априорные характеристики разностных схем газовой динамики не удается, приходится использовать различного рода качественные соображения. Естественно, например, требовать, чтобы дискретная модель была адекватна непрерывной модели, т.е. правильно передавала физические особенности изучаемых процессов.

Уравнения газодинамики – это математическое выражение основных законов сохранения (массы, импульса и энергии). Поэтому разумно строить разностную схему так, чтобы в ней также выполнялись аналоги этих законов. Схемы такого типа называются консервативными. В важности этого требования можно убедиться уже на примере линейных задач, где консервативность является необходимым условием сходимости схемы.

Дальнейшее развитие принципа консервативности привело к понятию полной консервативности. Полностью консервативные схемы для уравнений газовой динамики характеризуются тем, что в них выполняются не только разностные аналоги основных законов сохранения, но также и дополнительные соотношения, выражающие баланс отдельных видов энергии. Примеры показывают, что применение таких схем особенно эффективно при использовании "грубых" сеток для задач, которые описываются функциями, резко изменяющимися во времени и пространстве.

Помимо физических требований к схемам предъявляются также требования алгоритмического характера. Например, весьма важным является свойство однородности схемы. Оно заключается в том, что формулы, по которым ведется расчет, должны записываться единообразно во всех узлах сетки, без явного выделения возможных "нерегулярностей" решения, например, точек разрыва. Свойство однородности существенно упрощает организацию программы для реализации алгоритма на ЭВМ.

Свойства того или иного алгоритма для расчета задач газодинамики, как правило, трудно оценить теоретически. Поэтому при анализе качества схемы, помимо различных априорных суждений, большую роль играют апостериорные исследования. Сюда в первую очередь следует отнести опробование схем и алгоритмов на специальных "точных" решениях – тестах. Для этого проводится расчет некоторых упрощенных вариантов исходной задачи, которые быть может не дают полную физическую картину процесса, но допускают простое (например, аналитическое) решение.

Сопоставление результатов расчетов с известными решениями позволяет судить о точности схемы, скорости сходимости и т.д. Поэтому построение точных тестовых решений, в частности автомодельных, представляет собой необходимый элемент в общей программе конструирования численных алгоритмов.

На практике, в зависимости от типа рассматриваемой задачи, от особенностей изучаемого процесса, используются различные формы записи системы уравнений газовой динамики (стационарные или нестационарные уравнения, одномерное и многомерное приближение, эйлеровы координаты или переменные Лагранжа и т.д.).

В этой книге подробно описаны алгоритмы численного решения одномерных нестационарных уравнений газовой динамики и магнитной гидродинамики в лагранжевых массовых координатах. Однако многие принципы построения и решения разностных схем естественным образом обобщаются и для других задач математической физики. В главе VI такое обобщение проведено для двумерных задач газовой динамики в лагранжевых переменных.

Следует отметить, что для рассматриваемого класса одномерных нестационарных задач газодинамики существуют и другие методы численного решения такие, как, например, метод характеристик, метод "распада разрывов", метод "крупных частиц" и т.д. Их подробное описание можно найти в соответствующих публикациях. Не ставя перед собой цель дать обзор всевозможных методов (подобный обзор можно найти в главе III книги Б.Л.Рождественского и Н.Н.Яненко [73]), мы ограничили изложение достаточно подробным и систематическим описанием одного класса разностных схем, которые в течение длительного времени применялись для решения разнообразных задач газовой динамики и магнитной гидродинамики. Описываемые схемы прошли многолетнюю проверку на практике и показали высокую надежность.

В первой главе книги изложены некоторые физические и математические основы газовой динамики в форме, удобной для использования в дальнейших главах. Однако эта глава не претендует на полноту и, конечно, не может заменить систематический курс газодинамики. Поэтому у читателя предполагается определенная степень знакомства с теорией газодинамических течений.

Точно так же § 1 главы II, который посвящен описанию основных понятий теории численных методов, носит справочный характер. Детальное изложение затронутых здесь вопросов можно найти, например, в [78]. Остальные параграфы второй главы посвящены принципам построения разностных схем радиационной газовой динамики, таким как консервативность, полная консервативность, однородность. Приведены примеры, подтверждающие эффективность этих принципов.

Основным требованием, которому должна удовлетворять любая разностная схема, является свойство сходимости, обеспечивающее близость разностного решения к решению дифференциальной задачи. Сходимость схемы вытекает из ее аппроксимации и устойчивости. Анализ устойчивости разностных схем газодинамики содержится в главе III. При этом используются линейные модели уравнений газовой динамики – уравнения акустики и уравнение переноса. В последнем параграфе главы III рассмотрены вопросы, связанные с устойчивостью разностных схем для уравнения теплопроводности.

Содержание главы IV составляют методы решения разностных схем, представляющих собой системы алгебраических уравнений. Неявные схемы решаются с помощью итерационных методов. Подробно рассмотрено применение метода Ньютона, который позволяет свести разностную схему к системе линейных "трехточечных" уравнений, решаемых с помощью прогонки. Описан также метод раздельных прогонок. Его применение целесообразно в тех случаях, когда исходная система уравнений газодинамики усложнена учетом дополнительных факторов, таких как теплопроводность, электромагнитные поля и т.д. Следует отметить, что в главе IV получены оценки сходимости итерационных процессов решения уравнений газовой динамики, что является новым результатом.

Описанные в главах II–IV методы построения и решения разностных схем газодинамики обобщаются в главе VI на случай системы одномерных нестационарных уравнений магнитной гидродинамики. Изложены вопросы, связанные с решением уравнений электромагнитного поля для случая сильноменяющегося коэффициента электропроводности. Рассмотрен метод расчета электротехнических цепей, которые являются важным элементом многих задач магнитной гидродинамики. В первом параграфе главы VI рассмотрены некоторые общие вопросы теории магнитогидродинамических течений и, в частности, отмечен ряд специфических эффектов, которые порождает учет в уравнениях газовой динамики электромагнитного поля.

В VII главе рассмотрены двумерные уравнения газовой динамики в переменных Лагранжа. Построена разностная схема, обладающая свойством полной консервативности. Заключительный параграф главы посвящен краткому описанию вариационно-разностного подхода к построению полностью консервативных схем.

Об авторах

Самарский Александр Андреевич

Академик РАН, лауреат Ленинской и Государственной премий СССР, лауреат Государственной премии Российской Федерации. Заслуженный профессор МГУ имени М. В. Ломоносова. Научный руководитель Института математического моделирования РАН, заведующий кафедрой вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ. Выдающийся ученый, крупнейший специалист в области вычислительной математики и математической физики, один из основоположников современной методологии математического моделирования и вычислительного эксперимента. Опубликовал около 500 научных работ, из них более 20 монографий и учебных пособий, в том числе: «Уравнения математической физики» (М.,1999, 6-е изд., соавт. А. Н. Тихонов), «Теория разностных схем» (М., 1989, 3-е изд.).

Попов Юрий Петрович

Член-корреспондент РАН (1997). Профессор факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М. В. Ломоносова, а также профессор Московского физико-технического института. Окончил с отличием аэромеханический факультет МФТИ в 1964 г. После окончания аспирантуры пришел на работу в Институт прикладной математики АН СССР (ныне ИПМ им. М. В. Келдыша Российской академии наук). В 1971 г. защитил кандидатскую диссертацию, в 1979 г. — докторскую; с 1981 г. — профессор. В 1975 г. Ю. П. Попов становится ученым секретарем Института, в 1980 г. — заместителем директора, в 1999 г. — директором ИПМ им. М. В. Келдыша РАН; с 2008 г. — советник РАН. Лауреат Государственной премии СССР, премии Совета Министров СССР. Автор свыше 250 научных работ, в основном в области разработки математических моделей и эффективных вычислительных алгоритмов, а также их применения в магнитной и газовой динамике, гравитационной газодинамике и астрофизике, управляемом термоядерном синтезе и др.