Желиговский В.А. Математическая теория устойчивости магнитогидродинамических режимов к длинномасштабным возмущениям

Оглавление

Предисловие

С моей точки зрения, в современных исследованиях природы геомагнитного поля нет более актуальной задачи, чем построение качественной теории, объясняющей накопленный опыт численных работ по геодинамо. Другими словами, современная наука в состоянии воспроизвести в ходе компьютерных симуляций намного больше фактов из имеющейся феноменологии геомагнетизма и палеомагнетизма, чем мы можем понять. Эта ситуация совершенно нова для науки – она просто не могла бы возникнуть четверть века назад, когда мощности численных методов еще были не сравнимы с современными. Конечно, это – болезнь роста. Будучи в основном оптимистом, я полагаю, что наука преодолеет этот кризис, однако глубина его впечатляет. Приведу один пример, показывающий степень остроты проблемы. Просматривая работу, я включил телевизор и посмотрел выступление нашего коллеги и поэта А.М.Городницкого, который кратко, правильно и ясно рассказал телезрителям о степени нашего непонимания природы инверсий геомагнитного поля. Много лет не приходилось слышать по телевизору такой умной пропаганды конкретной научной проблемы. Если известный поэт тратит свое эфирное время подобным образом – проблема действительно назрела.

Автор этой книги предлагает концепцию, которая не только предполагает проведение расчетов на компьютере задач по природе геомагнитного поля, но и позволяет понять получаемые таким образом результаты. В свете вышеизложенного актуальность заявленной темы сомнений не вызывает.

Рассмотрим конкретные подходы, предлагаемые автором.

В самом общем виде предлагаемая концепция состоит в последовательном выделении в общем описании эволюции геомагнитного поля того уровня иерархии масштабов, который действительно отвечает за изучаемое явление. Для людей моего поколения не может быть ничего естественнее, чем подобный поступок – вопрос только в том, как реализовать это намерение. Однако эта стратегическая установка идет вразрез со сложившейся стратегией численного подхода к естественно-научным задачам – в рамках этого подхода, грубо говоря, речь идет о том, как засунуть в компьютер по возможности все. Именно это столкновение парадигм и определяет остроту рассматриваемой проблемы. Я целиком поддерживаю принятую автором тактику решения противоречия. Он не противопоставляет аналитические методы численным, а старается построить разумную иерархию задач, в которой аналитические результаты и численные решения возникающих при этом задач взаимно поддерживают друг друга.

В результате автор выделяет разнообразные длинноволновые компоненты общих уравнений, описывающих эволюцию геомагнитного поля и, по мере возможности, решает эти уравнения численно. Исторически эта тактика была предложена в шестидесятых годах XX века в геофизике в работах С.И.Брагинского, а в общефизическом контексте – М.Штеенбеком, Ф.Краузе и К.-Х.Рэдлером. Дальнейшая научная эволюция девяностых годов в значительной мере отошла от этих, как мне представляется правильных, установок и взяла курс на силовое решение проблемы. Вероятно, сейчас неплодотворно говорить, каков мог бы быть альтернативный путь развития, а нужно искать позитивные выходы из создавшегосяположения.

  До этого момента я могу констатировать, что ход моих мыслей относительно рассматриваемой проблемы совершенно совпадает с ходом мысли автора. В дальнейшем наши точки зрения заметно расходятся – мы являемся представителями различных научных школ.

Я был бы склонен поступить прямолинейно и прагматически – рассматривать конвективные потоки во внешнем ядре Земли (или в любом другом месте) как своеобразную среду, обладающую определенными интегральными характеристиками, сходными с электрической и магнитной проницаемостью – турбулентной диффузией и (спасибо немецким авторам, внедрившим тяжеловесную терминологию!) alpha-эффектом, а для этих величин принять самые простые выражения, совместимые с соображениями симметрии и здравым смыслом. Конечно, на этом пути приходится разнообразным образом менять принимаемые гипотезы, рассматривать нелинейные среды, вписывать руками разнообразные дополнительные эффекты, в общем, делать все то, из чего состоит традиционная теоретическая физика. Эта тактика успешно работает в электротехнике (нормальные люди не вычисляют сопротивление из первых физических принципов, а измеряют авометром), при изучении магнитных полей галактик, она достаточно плодотворна при изучениимагнитного цикла активности Солнца и звезд, однако до сих пор еене удается успешно внедрить в задачи геодинамо. Связано ли это с недостатком наших усилий, либо этому есть существенная физическая причина, ускользающая от нашего понимания, сейчас сказать трудно.

В.А.Желиговский является представителем альтернативного подхода, в котором предлагается по возможности научно и математически обоснованно вывести уравнения для введенных длинномасштабных переменных и определить структуру входящих в них коэффициентов. На этом пути ему удалось достичь совершенно впечатляющих результатов, оценка которых затруднена только одним обстоятельством – полным отсутствием сопоставимых по уровню результатов у конкурентов. Попытаюсь, однако, описать возможное поле сравнения и здесь. Для этого придется обратиться к фундаментальной идее А.Н.Колмогорова, определившей, как известно, направление исследований в теории турбулентности на десятилетия. Она состоит, как известно, в том, что не стоит начинать с выяснения того, как и почему возникают турбулентные потоки, обладающие чертами случайности, а надо предположить, что они на самом деле являются случайными потоками, и вычислить их обобщенные характеристики исходя из соображений симметрии и здравого смысла (см. выше). Этот подход развивается и в интересующую нас область, причем выясняется, что простейшие и общепринятые уравнения динамо среднего поля обобщить можно (например, получить интегральные уравнения вместо дифференциальных), но входящие в них конструкции столь удалены от астрономических (или геофизических) методов наблюдений, что при конкретном использовании полученных результатов все равно приходится вернуться к их простейшим формам. Жизнь покажет, в какой мере развитый автором подход позволяет продвинуться на этом трудном для теории этапе.

Итак, в этой книге читателю предлагается определенная целостная концепция, объясняющая мир теории динамо. Хорошо, если, знакомясь с этой концепцией, читатель будет иметь в виду важное обстоятельство, на которое обратил внимание еще Гераклит: об одной и той же вещи можно высказать много убедительных суждений. В частности, существует несколько разных взглядов на теорию динамо. В книге отражен один из них. В этом ее сила и слабость. Для того чтобы увидеть мир теории динамо во всех красках, нужно прочесть и сопоставить несколько книг – Паркера, Моффата, Местеля и др. Пусть эта книга будет для читателя важной ступенькой на этой лестнице познания – для кого-то первой, а для кого-то очередной.

Из введения

Многие космические объекты – планеты, звезды, галактики – обладают магнитным полем. Каково его происхождение – один из фундаментальных вопросов современной астрофизики.

Температура в недрах Земли существенно выше точки Кюри, при которой ферромагнитные материалы теряют намагниченность; она достигается уже на глубине 30 км. Следовательно, объяснение главного магнитного поля Земли постоянной намагниченностью пород (такое предположение высказал У.Гильберт еще в 1600 г.) требует ее слишком большого значения (см., однако,). По палеомагнитным данным главное дипольное магнитное поле Земли существует не менее 3 * 10⁹ лет  (что составляет около 2/3 всей ее истории), поэтому его также нельзя считать реликтовым магнитным полем, захваченным при аккреции Земли из межпланетного вещества, так как характерное время затухания магнитного поля в ядре порядка 25000 лет. Высказывались и другие гипотезы об источнике магнитного поля Земли, такие как индукция во время магнитной бури, токи, образованные движением находящихся на вращающейся Земле электростатических зарядов, атомарные процессы. Однако детальное рассмотрение этих гипотез показало их несостоятельность.

Магнитное поле Земли подвержено изменениям, происходящим с разными временн\'ыми масштабами: вековые вариации (с периодами приблизительно 10¹ – 10³ лет), западный дрейф (порядка приблизительно 0,18^o в год), инверсии (характерные периоды приблизительно 10⁵ – 10⁶ лет). Инверсии магнитного поля являются причиной магнитных аномалий океанического дна, возникающих вследствие термоостаточной намагниченности отвердевающих на поверхности при спрединге дна жидких расплавов базальтов,/ поднимающихся у океанических хребтов. Открытие магнитных аномалий океанического дна и определение кажущихся траекторий миграции магнитного полюса для разных континентов по палеомагнитным данным стимулировали развитие теории тектоники плит. Вариации также характерны для магнитного поля Солнца. Диаграммы, известные под названием бабочки Маундера, отражают 11-летнее периодическое изменение числа и распределения по широте солнечных пятен, связанных со всплыванием вследствие магнитной плавучести трубок магнитного тороидального поля. Это соответствует 22-летней периодичности подфотосферного тороидального магнитного поля Солнца (период оказывается удвоен изНза смены полярности поля при каждом "взмахе крыльев бабочки").

Перечисленные особенности вариации главного магнитного поля Земли и магнитного поля Солнца указывают на динамический характер их происхождения. Возможная магнитогидродинамическая (МГД) природа этих полей дискутировалась уже в начале XX века. С развитием теории гидромагнитного динамо ответ на вопрос об источнике магнитного поля различных астрофизических объектов – планет, звезд  и галактик  – стало принято давать в рамках этой теории  (этот список литературы не претендует на полноту), хотя предлагались и альтернативные гипотезы (например,). Современные научные представления о механизмах генерации космических полей изложены в фундаментальных собраниях  обзорных лекций ведущих специалистов в этой области.

Эволюция магнитного поля внутри объема проводящей жидкости описывается уравнением магнитной индукции – линейным (относительно магнитного поля) параболическим уравнением в частных производных второго порядка. Магнитное поле оказывает обратное воздействие на поток проводящей жидкости посредством силы Лоренца, квадратичной относительно магнитного поля. Следовательно, пока магнитное поле мал\'о, его обратным влиянием на поток можно пренебречь. Таким образом, для некоторого заданного поля скорости жидкости можно получить информацию о начальной стадии эволюции изначально слабого магнитного поля, изучая решения уравнения /магнитной индукции (что с математической точки зрения тождественно исследованию линейной устойчивости немагнитного состояния рассматриваемой магнитогидродинамической (МГД) системы по отношению к чисто магнитным возмущениям). Эту задачу называют задачей о магнитном кинематическом динамо. Если в пределе больших времен магнитное поле не затухает, то говорят, что при данной величине коэффициента молекулярной магнитной диффузии eta рассматриваемый поток является магнитным динамо. Когда поле скорости жидкости стационарно, определение динамо можно естественным образом переформулировать в терминах спектра оператора магнитной индукции. Пусть lambda обозначает для некоторого потока v(x) и коэффициента магнитной диффузии eta доминирующее, т.е. имеющее максимальную действительную часть, собственное значение оператора магнитной индукции; v(x) является динамо при данном eta тогда и только тогда, когда Relambda >= 0.

На первых этапах построения теории кинематического динамо были найдены так называемые теоремы антидинамо, т.е. условия, при выполнении которых заданный поток жидкости не является динамо. В частности, по теореме Каулинга  осесимметричный поток не может генерировать магнитное поле, имеющее ту же ось симметрии; никакое течение с тороидальным полем скорости, и никакой плоскопараллельный (т.е. такой, что вектор скорости в любой точке пространства, заполненного жидкостью, в любой момент времени ортогонален некоторому фиксированному вектору) поток  не могут быть динамо.