| 1 | Ejemplos de variedades |
| | 1. | Noción de variedad |
| | | 1. | Definición de variedad |
| | | 2. | Aplicaciones de las variedades; tensores en las variedades |
| | | 3. | Inmersiones e inmersiones inyectivas de las variedades. Variedades con borde |
| | 2. | Ejemplos elementales de variedades |
| | | 1. | Superficies en el espacio euclídeo. Grupos de transformaciones como variedades |
| | | 2. | Espacios proyectivos |
| | 3. | Elementos necesarios de la teoría de grupos de Lie |
| | | 1. | Estructura de un entorno de la unidad de un grupo de Lie. Álgebra de Lie de un grupo de Lie. Semisimplicidad |
| | | 2. | Concepto de representación lineal. Ejemplo de un grupo de Lie no matricial |
| | 4. | Variedades complejas |
| | | 1. | Definiciones y ejemplos |
| | | 2. | Superficies riemannianas como variedades |
| | 5. | Espacios homogéneos elementales |
| | | 1. | Acción de un grupo sobre una variedad |
| | | 2. | Ejemplos de espacios homogéneos |
| | 6. | Espacios de curvatura constante (espacios simétricos) |
| | | 1. | Noción de espacio simétrico |
| | | 2. | Grupo de isometrías. Propiedades de su álgebra de Lie |
| | | 3. | Espacios simétricos de primer y segundo tipo |
| | | 4. | Grupos de Lie como espacios simétricos |
| | | 5. | Construcción de espacios simétricos. Ejemplos |
| | 7. | Fibrados tangentes y variedades relacionadas con ellos |
| | | 1. | Construcciones que involucran a los vectores tangentes |
| | | 2. | Fibrado normal de una subvariedad |
| 2 | Fundamentos. Elementos necesarios de la teoría de funciones. Aplicaciones suaves típicas |
| | 8. | Partición de la unidad y sus aplicaciones |
| | | 1. | Partición de la unidad |
| | | 2. | Aplicaciones elementales de la partición de la unidad. Integral extendida a una variedad y fórmula de Stokes |
| | | 3. | Métricas invariantes |
| | 9. | Representación de las variedades compactas como superficies en RN |
| | 10. | Algunas propiedades de las aplicaciones suaves entre variedades |
| | | 1. | Aproximación de aplicaciones continuas mediante aplicaciones suaves |
| | | 2. | Teorema de Sard |
| | | 3. | Regularidad transversal |
| | | 4. | Funciones de Morse |
| | 11. | Aplicaciones del teorema de Sard |
| | | 1. | Existencia de inmersiones e inmersiones inyectivas |
| | | 2. | Construcción de las funciones de Morse como funciones altura |
| | | 3. | Puntos focales |
| 3 | Grado de una aplicación. Índice de intersección de dos variedades. Sus usos prácticos |
| | 12. | Noción de homotopía |
| | | 1. | Definición de homotopía. Aproximación de aplicaciones y homotopías mediante aplicaciones y homotopías suaves |
| | | 2. | Homotopías relativas |
| | 13. | Grado de una aplicación |
| | | 1. | Definición del grado de una aplicación |
| | | 2. | Generalización de la definición principal |
| | | 3. | Clasificación homotópica de las aplicaciones de variedades en una esfera |
| | | 4. | Ejemplos elementales |
| | 14. | Algunas aplicaciones del grado |
| | | 1. | Grado e integral |
| | | 2. | Grado de un campo vectorial definido sobre una hipersuperficie |
| | | 3. | Número de Whitney. Fórmula de Gauss–Bonnet |
| | | 4. | Índice de un punto singular de un campo vectorial |
| | | 5. | Superficies transversales de un campo vectorial. Teorema de Poincaré–Bendixson |
| | 15. | Índice de intersección y sus aplicaciones |
| | | 1. | Definición del índice de intersección de dos variedades |
| | | 2. | Índice total de un campo vectorial |
| | | 3. | Número algebraico de los puntos fijos. Teorema de Brouwer |
| | | 4. | Coeficiente de entrelazamiento |
| 4 | Orientabilidad de las variedades. Grupo fundamental. Recubrimientos (fibrados con fibra discreta) |
| | 16. | Orientabilidad y homotopía de los caminos cerrados |
| | | 1. | Transporte de una orientación a lo largo de un camino |
| | | 2. | Ejemplos de variedades no orientables |
| | 17. | Grupo fundamental |
| | | 1. | Definición de grupo fundamental |
| | | 2. | Dependencia del punto inicial |
| | | 3. | Clases homotópicas libres de aplicaciones de una circunferencia |
| | | 4. | Equivalencia homotópica |
| | | 5. | Ejemplos |
| | | 6. | Grupo fundamental y orientabilidad |
| | 18. | Aplicación recubridora y homotopía de recubrimiento |
| | | 1. | Definición y propiedades fundamentales de una aplicación recubridora |
| | | 2. | Ejemplos elementales. Recubrimientos universales |
| | | 3. | Recubrimientos ramificados. Superficies riemannianas |
| | | 4. | Recubrimientos y grupos de transformaciones discretos |
| | 19. | Recubrimientos y grupo fundamental. Cálculo del grupo fundamental de ciertas variedades |
| | | 1. | Monodromía |
| | | 2. | Cálculo del grupo fundamental mediante recubrimientos |
| | | 3. | Grupo homológico elemental |
| | 20. | Grupos discretos de movimientos del plano de Lobachevski |
| 5 | Grupos homotópicos |
| | 21. | Definición de grupos homotópicos absolutos y relativos. Ejemplos |
| | | 1. | Definiciones fundamentales |
| | | 2. | Grupos homotópicos relativos. Sucesión exacta de un par |
| | 22. | Homotopía de recubrimiento. Grupos homotópicos de recubrimientos y de espacios de lazos |
| | | 1. | Concepto de fibrado |
| | | 2. | Sucesión exacta de un fibrado |
| | | 3. | Dependencia de los grupos homotópicos respecto al punto inicial |
| | | 4. | Caso de los grupos de Lie |
| | | 5. | Multiplicación de Whitehead |
| | 23. | Resultados de la teoría de los grupos homotópicos de las esferas. Variedades equipadas de campos de referencias normales. Invariante de Hopf |
| | | 1. | Variedades equipadas y grupos homotópicos de las esferas |
| | | 2. | Suspensión |
| | | 3. | Cálculo de los grupos pin+1(Sn) |
| | | 4. | Grupos pin+2(Sn) |
| 6 | Fibrados suaves |
| | 24. | Teoría homotópica de los fibrados suaves |
| | | 1. | Concepto de fibrado suave |
| | | 2. | Conexión |
| | | 3. | Cálculo de grupos homotópicos con la ayuda de fibrados |
| | | 4. | Clasificación de fibrados |
| | | 5. | Fibrados vectoriales y operaciones definidas sobre ellos |
| | | 6. | Funciones meromorfas |
| | | 7. | Fórmula de Picard–Lefschetz |
| | 25. | Geometría diferencial de los fibrados |
| | | 1. | G-conexiones en los fibrados principales |
| | | 2. | G-conexiones en los fibrados asociados. Ejemplos |
| | | 3. | Curvatura |
| | | 4. | Clases características. Construcción |
| | | 5. | Clases características. Enumeración |
| | 26. | Nudos y lazos. Trenzas |
| | | 1. | Grupo de un nudo |
| | | 2. | Polinomio de Alexander |
| | | 3. | Fibrado asociado a un nudo |
| | | 4. | Lazos |
| | | 5. | Trenzas |
| 7 | Algunos ejemplos de sistemas dinámicos y foliaciones en variedades |
| | 27. | Conceptos elementales de la teoría cualitativa de los sistemas dinámicos. Variedades bidimensionales |
| | | 1. | Definiciones fundamentales |
| | | 2. | Sistemas dinámicos en el toro |
| | 28. | Sistemas hamiltonianos en variedades. Teorema de Liouville. Ejemplos |
| | | 1. | Sistemas hamiltonianos en fibrados cotangentes |
| | | 2. | Sistemas hamiltonianos en variedades. Ejemplos |
| | | 3. | Flujos geodésicos |
| | | 4. | Teorema de Liouville |
| | | 5. | Ejemplos |
| | 29. | Foliaciones |
| | | 1. | Definiciones principales |
| | | 2. | Ejemplos de fibrados de codimensión 1 |
| | 30. | Problemas variacionales con derivadas de orden superior. Sistemas de campo hamiltonianos |
| | | 1. | Formalismo de Hamilton para problemas con derivadas de orden superior |
| | | 2. | Ejemplos |
| | | 3. | Formalismo de Hamilton de los sistemas de campo |
| 8 | Estructura global de las soluciones de los problemas variacionales multidimensionales |
| | 31. | Algunas variedades de la teoría general de la relatividad (TGR) |
| | | 1. | Planteamiento del problema |
| | | 2. | Soluciones con simetría esférica |
| | | 3. | Soluciones con simetría axial |
| | | 4. | Modelos cosmológicos |
| | | 5. | Modelos de Fridman |
| | | 6. | Modelos de vacío anisótropo |
| | | 7. | Modelos más generales |
| | 32. | Algunos ejemplos de soluciones globales de las ecuaciones de Yang–Mills. Campos quirales |
| | | 1. | Observaciones generales. Soluciones de tipo monopolo |
| | | 2. | La ecuación de dualidad |
| | | 3. | Campos quirales. Integral de Dirichlet |
| | 33. | Condición de mínimo de las subvariedades complejas |
| Bibliografía |
| Índice de materias |
