Alexándrov P.S. ¿Qué es la geometría no-euclídea?
№12

Índice

Prólogo

Este pequeño libro es la segunda edición, ligeramente modificada, de mi artículo publicado con el mismo título en el libro "Nikolay Ivánovich Lobachevski", publicado en conmemoración del 150 aniversario del nacimiento del célebre geómetra. Aparte del artículo que constituye la base del presente libro, la obra mencionada contenía otros dos artículos: uno de carácter biográfico escrito por mí y uno de A.N.Kolmogórov titulado "Lobachevski y el pensamiento matemático del siglo diecinueve".

El artículo ofrecido aquí al lector no es un manual de geometría no-euclídea y no pretende reemplazar en modo alguno los libros sobre esta disciplina ya existentes. Nuestro objetivo es absolutamente otro: dar al lector una introducción a las ideas fundamentales de la geometría no-euclídea y presentar las mismas en la forma más compacta posible y en estrecha conexión con otras ideas geométricas (principalmente con la geometría proyectiva y, desde luego, con los fundamentos de la geometría). El libro comienza con la exposición de la axiomática de la geometría euclídea aceptada generalmente en la actualidad. A continuación se introduce el concepto de movimiento, que está estrechamente relacionado con los axiomas de congruencia, y terminamos esta parte del libro con los axiomas de las paralelas de Euclides y de Lobachevski. A la vez, se presentan varios modelos de demostración de teoremas de la geometría elemental, pero dado el pequeño volumen del libro, naturalmente, no nos propusimos la tarea de efectuar una construcción completa del sistema de la geometría elemental, con todas las demostraciones necesarias, partiendo de los axiomas y definiciones. Para el cumplimiento de esta tarea sería necesario escribir un nuevo curso de fundamentos de la geometría, lo que no estaba entre nuestros planes.

La segunda parte del libro está dedicada principalmente a la construcción e investigación de dos modelos de la geometría de Lobachevski (modelo de Klein y modelo de Poincaré). Del estudio de estos modelos obtendremos la demostración de la consistencia de la geometría de Lobachevski. Aquí la exposición se llevará a cabo utilizando los conceptos principales de la geometría proyectiva en su forma analítica. Esto debe preparar al lector para el contenido de la tercera parte, la última de este libro. En ella estudiaremos otra geometría no-euclídea, la geometría del plano elíptico, la cual por medio de la geometría esférica nos conduce al problema de la realización de la geometría no-euclídea desde el punto de vista de la geometría diferencial. A nuestro parecer, la exposición, que hemos tratado de llevar a cabo con la mayor claridad posible, contiene una cantidad suficiente de demostraciones para satisfacer la curiosidad natural del lector y las exigencias lógicas de toda la construcción. Sin embargo, algunos resultados geométricos, aunque formulados con toda rigurosidad, se han dejado sin demostración.

Al escribir este libro tuvimos en cuenta, principalmente, dos tipos de lectores. En primer lugar, nuestro profesorado, y en segundo lugar, los estudiantes de centros de enseñanza preuniversitaria que se interesan especialmente en la matemática. La gran mayoría de los profesores culminaron sus estudios en el instituto pedagógico y, por tanto, en su tiempo estudiaron uno u otro curso de fundamentos de la geometría, que posiblemente ya ha sido olvidado. Esperamos que el libro que ofrecemos les permita recordar el tema principal de este curso sin sobrecargar el contenido con demasiados detalles y que, además, los introduzca directamente en el círculo de las ideas fundamentales de la geometría no-euclídea.

No obstante, estamos seguros de que estas ideas pueden ser comprendidas también por aquéllos que no tuvieron la oportunidad de estudiar los fundamentos de la geometría. Precisamente esta seguridad nos permite tener en cuenta a los estudiantes de institutos preuniversitarios. Pensamos que aquéllos para quienes la geometría es la asignatura predilecta serán cautivados por las grandiosas ideas geométricas de Lobachevski y obtendrán provecho de la lectura de este libro. A propósito, el primer encuentro del autor con las ideas de la geometría no-euclídea tuvo lugar cuando estudiaba en la escuela media, gracias a su profesor A.R.Eigues, a cuya memoria se dedica este libro. Las nociones fundamentales de la geometría de Lobachevski, impartidas talentosamente por el profesor Eigues, constituyeron la causa principal que en su tiempo condujo al autor a la elección de la matemática como su especialidad futura. Esperamos que, para los jóvenes que por primera vez estudian las nociones e ideas geométricas que no entran en el programa escolar de matemática, la lectura de este libro se transforme en un estímulo para estudiar más profundamente la geometría no-euclídea (véanse, por ejemplo, los correspondientes capítulos del excelente libro de Efímov N.V. "Geometría superior" (Moscú: Mir), así como Kostin V.I. Osnovaniya geometrii (Fundamentos de la geometría) (en ruso)).

Queremos, finalmente, recomendar al lector que intente demostrar los teoremas que han quedado sin demostración en el libro. En muchos casos, sobre todo en los teoremas de los primeros capítulos, el lector tendrá éxito.

Autor

Eminente matemático, fundador de la mundialmente reconocida escuela soviética de topología. Culminó sus estudios en la Universidad Estatal "M. V. Lomonósov" de Moscú en 1917, en la cual impartió clases desde 1921. En 1929, el autor fue elegido Miembro Correspondiente de la Academia de Ciencias de la URSS y designado Académico en el año 1953. De 1932 a 1964 ocupó el cargo de Presidente de la Sociedad Matemática de Moscú.

P. S. Alexándrov introdujo una serie de conceptos y construcciones de fundamental importancia en la topología, creó la teoría homológica de la dimensión, la teoría de los espacios compactos y localmente compactos. Asimismo, obtuvo resultados importantes en la teoría de conjuntos y en la teoría de funciones de variable real. Entre sus discípulos se encuentran grandes matemáticos como L.S.Pontriaguin, A.N.Tíjonov y G.S.Chogoshvili.