Boss V. Lecciones de Matemática:
Contraejemplos y paradojas: Números y conjuntos. Medida y categoría. Análisis matemático clásico. Espacios métricos. Teoría de probabilidades. Indecidibilidad algorítmica. Problemática discreta. Sistemas dinámicos. Juegos y teoría de las elecciones. Topología. Optimización. Тomo 12

226 с. (Spanish).

Серия: Boss V. Lecciones de Matemática

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Аннотация

La mayoría de las obras dedicadas a contraejemplos y paradojas se centran sólo en alguna rama particular de la matemática. A diferencia de ellas, el presente tomo de la serie «Lecciones de Matemática» analiza numerosos contraejemplos y paradojas de todas las ramas de la matemática que se enseñan a nivel universitario.

La elección de los ejemplos se ha realizado de acuerdo con la importancia general de las ideas contenidas en ellos. Lo más importante... (Подробнее)

Índice

A nuestros lectores				7
Prólogo a la serie «Lecciones de Matemática»				9
Prólogo al décimo segundo tomo				11
Capítulo 1. La intuición como fuente de paradojas				12
1.1. Contradicciones «dentro» y «fuera»				12
1.2. ¿Existe el daltonismo lógico?				14
1.3. Inercia y falta de ingeniosidad				16
1.4. Imposibilidad ficticia de resolver un problema				19
1.5. Una vez más por la misma senda				20
1.6. Retrato de la intuición				21
Capítulo 2. Números y conjuntos				24
2.1. Infinito actual				24
2.2. Axioma de elección				27
2.3. Paradoja de Banach—Tarski				29
2.4. Quimeras en la circunferencia				30
2.5. Descomposición del grupo de rotaciones				32
2.6. Descomposición de órbitas (final)				33
2.7. Función lineal discontinua				35
2.8. Números constructivos				37
2.9. Sucesión de Specker				39
2.10. Observaciones y complementos				41
Capítulo 3. Medida y categoría				46
3.1. Medidas de Jordan, Borel y Lebesgue				46
3.2. Fallos del enfoque ingenuo				48
3.3. Sobre la definición de línea. Curvas de Peano				53
3.4. Conjuntos no medibles de Vitali y Bernstein				55
3.5. Categorías de Baire				56
3.6. Funciones medibles				59
3.7. Exótica facultativa				60
Capítulo 4. Análisis matemático clásico				62
4.1. Extrañezas de la continuidad				62
4.2. Sobre la imposibilidad de las intenciones				68
4.3. «Defectos» ocultos de los homeomorfismos				69
4.4. Propiedades diferenciales				70
4.5. Integración				72
4.6. Límites iterados				75
4.7. Observaciones y complementos				79
Capítulo 5. Espacios métricos				80
5.1. Precedentes de dimensión finita				80
5.2. Politopos cíclicos				82
5.3. Métrica y topología				85
5.4. Sobre la dimensión infinita				88
5.5. Operadores lineales				92
5.6. Convergencia débil				94
5.7. Operadores compactos				96
5.8. Propiedades espectrales				96
5.9. Número de condición y espectro				97
Capítulo 6. Teoría de probabilidades				100
6.1. Equivocaciones elementales				100
6.2. Cómo la teoría causa equívocos				106
6.3. ¿Qué es lo se oculta tras la independencia de sucesos?				107
6.4. Errores de correlación				110
6.5. Problemas en los fundamentos				110
6.6. Convergencia de variables aleatorias				112
Capítulo 7. Indecidibilidad algorítmica				117
7.1. Algoritmos y computabilidad				117
7.2. Enumeración y decidibilidad				119
7.3. Conjuntos diofánticos				121
7.4. Teoremas de Gödel				125
7.5. Imposibilidad de formalización de la verdad				128
7.6. Imposibilidad de axiomatizar la aritmética				129
7.7. Funciones universales y enumeraciones				131
7.8. Teorema de Rice				132
Capítulo 8. Problemática discreta				135
8.1. Sobre los instrumentos permitidos				135
8.2. Paradoja de Skolem				137
8.3. Naturaleza finita de la numerabilidad				139
8.4. Aritmética de Peano				139
8.5. Axiomática de Zermelo—Fraenkel				141
8.6. La hipótesis del continuo				143
8.7. P contra NP				145
8.8. Logros surrealistas				147
Capítulo 9. Sistemas dinámicos				151
9.1. Dualidad de la descripción				151
9.2. Estabilidad del equilibrio				153
9.3. Estabilidad global				156
9.4. Bifurcaciones				158
9.5. Fenómeno de vibración				161
9.6. Resonancia interna				162
9.7. Procesos adiabáticos				164
9.8. Controlabilidad				165
9.9. Atractores y fractales				166
9.10. Ondas y solitones				169
Capítulo 10. Juegos y teoría de las elecciones				173
10.1. Las sorpresas de las estrategias mixtas				173
10.2. Juegos antagónicos				176
10.3. Soluciones de Nash				177
10.4. Teorema de imposibilidad de Arrow				179
Capítulo 11. Topología				181
11.1. Trucos de deformación				181
11.2. La esfera cornuda de Alexander				183
11.3. Superficies unilaterales				185
11.4. Sobre el problema de Poincaré				187
11.5. Fibraciones de Hopf				189
Capítulo 12. Optimización				190
12.1. Sillas de Morse				190
12.2. Interacción de los extremos				192
12.3. Cálculo variacional				194
Capítulo 13. Resumen de los resultados y definiciones fundamentales				197
13.1. La intuición como fuente de paradojas				197
13.2. Números y conjuntos				197
13.3. Medida y categoría				200
13.4. Análisis matemático clásico				202
13.5. Espacios métricos				205
13.6. Teoría de probabilidades				208
13.7. Indecidibilidad algorítmica				212
13.8. Problemática discreta				213
13.9. Sistemas dinámicos				213
13.10. Juegos y teoría de las elecciones				216
13.11. Topología				216
13.12. Optimización				216
Abreviaturas y notaciones				218
Bibliografía				220
Índice de materias				222