Petrov V., Mordecki E. Teoría de probabilidades Edición 2, corregida

URSS. 304 с. (Spanish). ISBN 978-5-396-01096-3.

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• Con mas de 200 ejercicios.
• Conceptos basicos.
• Esquema de Bernoulli.
• Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad.
• Esperanza matematica, varianza y otros momentos de variables aleatorias.
• Tipos de convergencia en teoria de probabilidades. Ley de los grandes numeros.
• Funciones caracteristicas.
• Teorema central del limite.
• Cadenas de Markov.
• Martingalas.
• Procesos de Poisson y procesos de Wiener.

Аннотация

Este libro constituye un curso completo de teoría de probabilidades. La obra se caracteriza por un alto rigor matemático en su exposición, sin dejar de ser ágil y accesible para el estudiante. En este libro, a diferencia de muchos otros textos de teoría de probabilidades, hay temas que generalmente constituyen cursos especiales de la materia, como son las cadenas de Márkov discretas y continuas, la teoría de las martingalas y los procesos de Poisson.... (Подробнее)

Índice

Prólogo
Introducción para quienes comienzan a estudiar teoría de probabilidades
1	Conceptos básicos
	1.1.	Sucesos
	1.2.	Axiomas de la teoría de probabilidades
	1.3.	Primeras consecuencias de los axiomas
	1.4.	Regla clásica para el cálculo de probabilidades
	1.5.	Probabilidad condicionada. Fórmula de la probabilidad total. Fórmula de Bayes.
	1.6.	Sucesos independientes
	1.7.	Ejercicios
2	Esquema de Bernoulli
	2.1.	Esquema de Bernoulli y fórmula de la distribución binomial
	2.2.	Teorema límite local de De Moivre--Laplace
	2.3.	Teorema límite integral de De Moivre--Laplace
	2.4.	Teorema de Bernoulli
	2.5.	Aproximación de Poisson de la distribución binomial
	2.6.	Ejercicios
3	Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad
	3.1.	Variables aleatorias y funciones de distribución
	3.2.	Variables aleatorias con distribuciones discretas y absolutamente continuas
	3.3.	Vectores aleatorios. Variables aleatorias independientes
	3.4.	Distribución de la suma de variables aleatorias independientes
	3.5.	Ejercicios
4	Esperanza matemática, variancia y otros momentos de variables aleatorias
	4.1.	Esperanza matemática
	4.2.	Variancia
	4.3.	Desigualdad de Chébishev
	4.4.	Momentos de órdenes superiores. Mediana y cuantiles
	4.5.	Covariancia y coeficiente de correlación. Matriz de covariancia
	4.6.	Ejercicios
5	Tipos de convergencia en teoría de probabilidades. Ley de los grandes números
	5.1.	Tipos de convergencia en teoría de probabilidades
	5.2.	Ley de los grandes números
	5.3.	Ejercicios
6	Funciones características
	6.1.	Definiciones y primeras propiedades
	6.2.	Fórmula de inversión y teorema de unicidad
	6.3.	Teoremas de Helly
	6.4.	Relación entre las convergencias de distribuciones y de funciones características
	6.5.	Ejercicios
7	Teorema central del límite
	7.1.	Teorema de Lindeberg--Lévy
	7.2.	Teorema de Lindeberg
	7.3.	Teorema de Liapunov
	7.4.	Ejercicios
8	Cadenas de Márkov
	8.1.	Definiciones
	8.2.	Clasificación de los estados. Estados esenciales y periódicos
	8.3.	Recurrencia
	8.4.	Probabilidades límites y distribuciones estacionarias
	8.5.	Ejercicios
9	Martingalas
	9.1.	Esperanza condicionada
	9.2.	Propiedades de la esperanza condicional
	9.3.	Martingalas
	9.4.	Teorema del muestreo opcional
	9.5.	Convergencia de martingalas
	9.6.	Ley fuerte de los grandes números
	9.7.	Ejercicios
10	Procesos de Poisson y procesos de Wiener
	10.1.	Proceso de Poisson. Definición y caracterizaciones
	10.2.	Procesos de Poisson compuestos y aplicaciones
	10.3.	Proceso de Wiener. Definición y primeras propiedades
	10.4.	Problemas de barrera para el proceso de Wiener
	10.5.	Ejercicios
Bibliografía
Índice de materias

Prólogo

La literatura dedicada a la enseñanza de la teoría de probabilidades es muy extensa; existen numerosos libros de texto, excelentemente escritos, para lectores con diferentes niveles de formación matemática. Entre estos textos podemos destacar los escritos por Borovkov, Feller, Gnedenko, Gut, Ross y Shiryaev, incluidos en la bibliografía al final de este libro. Sin embargo, la literatura en español dedicada a esta temática es escasa, y tenemos la esperanza de que la presente publicación llenará este vacío en alguna medida.

Este libro contiene un primer curso de teoría de probabilidades, basado en cursos dictados por ambos autores en la Universidad de San Petersburgo (Rusia) y en la Universidad de la República (Montevideo, Uruguay) a lo largo de muchos años.

En el proceso de su preparación se han tenido en cuenta, especialmente, los intereses de lectores con diferentes niveles de preparación matemática: el material contenido en el libro es perfectamente accesible para quienes hayan estudiado los temas de un curso habitual de cálculo diferencial e integral. Los lectores en esta situación podrán restringirse a la consideración de variables aleatorias con distribuciones discretas, o distribuciones que posean densidad, que son las encontradas en las aplicaciones. A estas dos clases de distribuciones se les presta especial atención. En particular, para estas dos clases se presenta una exposición detallada de las nociones de esperanza matemática de una variable aleatoria, varianza de una variable aleatoria, esperanza condicionada de una variable aleatoria respecto a otra, y cuestiones relacionadas.

Al mismo tiempo, y en forma independiente, se definen estas nociones en los términos habituales de teoría de la medida e integración respecto a medidas abstractas. Esta segunda exposición está dirigida a estudiantes de matemática o estadística, quienes encontrarán una presentación rigurosa, de interés y actualizada de la disciplina.

Cada capítulo se acompaña de un conjunto de ejercicios, ordenados según su grado de dificultad, y el lector no debe desanimarse si no resuelve todos los ejercicios. Se prestó especial cuidado en las demostraciones de los teoremas, proposiciones y lemas incluidos, por lo que este libro puede utilizarse en forma autodidacta.

La iniciativa de realizar el presente libro correspondió a V. Petrov, quien escribió los 7 primeros capítulos. E. Mordecki escribió los últimos tres y preparó el texto en español. Todo el material fue discutido y revisado en forma conjunta.

Varias personas estuvieron involucradas, de diferentes formas, en la preparación de este libro. Walter Moreira preparó los gráficos y las tablas, y prestó invalorable ayuda en la preparación de la versión electrónica; Ricardo Fraiman e Isabel Cañete leyeron partes del manuscrito, sugiriendo mejoras y correcciones. A ellos nuestro agradecimiento. Un especial reconocimiento merecen Rosana y Valentina, por su aliento, paciencia y comprensión.

Este libro fue posible gracias al apoyo del Centro de Matemática, la Comisión Sectorial de Investigación Científica, y el Laboratorio de Probabilidad y Estadística, en la Universidad de la República, junto con el PEDECIBA--Matemática; y es el resultado de la colaboración científica entre nuestros países; tenemos la esperanza, de que ayude a su fortalecimiento.

Los autores esperan que su trabajo resulte de utilidad a aquellas personas que estudian o enseñan teoría de probabilidades.

Montevideo, abril de 2002, V. Petrov, E. Mordecki

Autores

Valentín Vladímirovich Petrov

Nació en Rusia el año 1931. V. V. Petrov es un reconocido especialista en el campo de la teoría de probabilidades. Profesor de la Universidad de Leningrado, Doctor en Ciencias (Instituto Steklov, 1962), ha trabajado además en Estados Unidos, Europa, Australia y América Latina. Dedicado al estudio de los teoremas límites en probabilidades, es autor de numerosos artículos científicos y libros, entre los que se destacan "Sums of independent random variables" (Naúka, 1972; Springer, 1975), "Limit Theorems for Sums of independent random variables" (Rusia, 1987; China, 1991) y "Limit Theorems of Probability Theory" (Oxford, 1995).

dop Ernesto Mordecki

Nació en Uruguay en el año 1962. Es profesor de la Universidad de la República (Montevideo). Obtuvo su doctorado en ciencias físico-matemáticas en el Instituto Steklov (1994). Trabaja en problemas de parada óptima y probabilidades de ruina en procesos estocásticos.

Об авторах

Valentín Vladímirovich Petrov

Doctor en Ciencias Físico-Matemáticas, Profesor, especialista en teoremas límite de la teoría de probabilidades y en desigualdades probabilísticas. Científico honorario de la Federación de Rusia (1999). Miembro del Instituto Internacional de Estadística, Profesor honorario de la Universidad Estatal de San Petersburgo. Se graduó en la Facultad de Matemáticas y Mecánica de la Universidad de Leningrado, donde concluyó estudios de posgrado en 1955. Trabaja en el Departamento de Teoría de Probabilidades y Estadística Matemática. En 1960–1995 ocupó el cargo de jefe de dicho departamento y el de Profesor desde 1995. En 1962 defendió su tesis doctoral en el Instituto de Matemáticas de la Academia de Ciencias de la URSS en Moscú. En 1963–2006 fue invitado por varias universidades de Europa, América y Australia, en las cuales presentó sus propios resultados e impartió cursos de lecciones para estudiantes de pregrado y posgrado. Todos sus 20 estudiantes de posgrado recibieron el título de Doctores en Ciencias Físico-Matemáticas.

V. V. Petrov es autor de los libros «Sumas de variables aleatorias independientes» (en ruso, 1972; traducido al inglés en 1975), «Teoremas límite para sumas de variables aleatorias independientes» (en ruso, 1987; traducido al chino en 1988) y «Limit Theorems of Probability Theory» (1995).

Ernesto Mordecki

Nació en Uruguay en 1962. Profesor de la Universidad de la República. Obtuvo su doctorado en Ciencias Físico-Matemáticas (1994) en el Instituto Steklov de Moscú.

Es miembro de la Academia de Ciencias de Uruguay (2015). Trabaja en problemas de parada óptima y aplicaciones de los procesos estocásticos.