Хинчин А.Я. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ основания КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ Изд. 4

Оглавление

Предисловие

В моей книге "Математические основания статистической механики", сданной в печать перед самым началом войны и посвященной обоснованию классической статистической механики, мною было указано (стр.11), что тот же метод в принципе может быть применен и к построению математических основ квантовой статистики. Учитывая, однако, что все же при этом метод должен претерпеть некоторые видоизменения, я тогда же поставил себе задачей составление специальной монографии, посвященной этому вопросу. Выполнение этого плана задержалось почти на десять лет – отчасти вследствие загруженности другой работой, отчасти же потому, что трудности, стоявшие на намеченном мною пути, оказались более значительными, чем это мне представлялось первоначально. Необходимость включения в круг исследований "новых" статистик (симметрической и антисимметрической) потребовала довольно серьезного изменения метода.

Однако, несмотря на более или менее значительные сдвиги технического характера, центральная идея метода остается неизменной. И в области квантовой статистики я ставлю себе целью показать, что строгое, логически планомерное математическое обоснование расчетных формул статистической физики не требует, как считалось обычно, создания специального громоздкого аналитического аппарата (метод Дарвина–Фаулера), но может быть достигнуто совершенно элементарной редукцией всех возникающих здесь задач к хорошо разработанным предельным теоремам теории вероятностей. Помимо своего чисто научного значения, которое очевидно и не требует комментариев, возможность такой редукции для нас, советских ученых, несет с собою и некоторое особое удовлетворение. Учение о предельных теоремах теории вероятностей, основоположником которого был П.Л.Чебышев, в основном создано и продолжает развиваться русскими и советскими математиками. То, что это учение может составить собою аналитическую базу всех расчетных формул физической статистики, лишний раз показывает нам его прикладную ценность и позволяет еще более гордиться этим фундаментальным созданием отечественной науки. Только недостаточным владением аналитическими методами теории вероятностей можно объяснить то, что зарубежная наука в течение тридцати лет не замечала этой связи.

Как и моя уже цитированная книга, эта монография целиком посвящена математическому методу излагаемой теории и ни в какой мере не может претендовать на полноту в физическом отношении; она вовсе не рассматривает никаких конкретных физических задач. В основном она обращена к читателю-математику. Я надеюсь, однако, что и физик, интересующийся математическим аппаратом своей науки, найдет для себя в этой книге кое-что, что сможет его заинтересовать.

29 августа 1950 г.

Введение

&setc; 1. Важнейшие особенности математического аппарата квантовой статистики

Переход от классической механики к квантовой связан с существенной сменой основных идей и понятий этой науки. Нет поэтому ничего удивительного в том, что и математический аппарат статистической механики при переходе к концепциям квантовой физики должен быть подвергнут значительному изменению, которое в большинстве случаев выражается в его обобщении или уточнении, а иногда требует и введения существенно новых математических идей. Мы начнем с перечисления тех новых моментов квантовой физики, которые оказывают наибольшее преобразующее воздействие на ее статистический аппарат.

Прежде всего упомянем два момента, которые, в значительной степени изменяя внешний облик математического аппарата физической статистики, в то же время не затрагивают сколько-нибудь глубоко его содержания: 1) наличие у некоторых механических величин дискретного спектра (множества возможных значений) лишь внешним образом отражается на математическом аппарате, заставляя в известных случаях вместо обычных для классической механики интегралов пользоваться конечными суммами или бесконечными рядами, что ни в какой мере не касается руководящих идей статистической теории; 2) появление в составе механических величин, кроме обычных для классической механики гамильтоновых переменных, еще новых, специфических для квантовой физики и не имеющих ничего аналогичного себе в классической теории, "спиновых" переменных – также ничего не меняет в руководящих идеях статистической физики, лишь немного усложняя расчеты в тех или других случаях; чтобы не затемнять основных идей теории введением не имеющих (для математического метода) принципиального значения деталей подобного рода, мы в этой книге всюду, где это возможно, будем избегать упоминания о спине.

Следующим новым, чуждым классической физике, моментом квантовой механики является статистический характер ее утверждений. В классической механике заданием состояния, в котором находится данная система, однозначно определяются значения всех связанных с нею механических величин, ибо всякая такая величина представляется как функция гамильтоновых переменных, задание значений которых и равносильно заданию состояния системы. В квантовой механике заданием состояния системы механические величины определяются лишь как случайные величины; задание состояния системы определяет собою не значения, а законы распределения связанных с нею механических величин. Эта принципиально статистическая черта квантовой механики отличает ее совершенно независимо от применения специальных методов статистической физики; методы статистической физики всегда понимают под средними значениями тех или иных величин результаты осреднения их по различным состояниям системы; здесь же речь идет о средних значениях величин в некотором определенном, фиксированном состоянии. Квантовая статистика является поэтому, в отличие от классической, статистической теорией в двояком значении этого слова. Очень важно тщательно различать между собою понятия и расчетные методы этих двух статистических концепций, вводя для каждой из них особую терминологию и особую систему обозначений; в настоящей книге мы будем твердо держаться этого правила, всемерно избегая смешения понятий, по сути дела не имеющих друг с другом ничего общего и сходных между собою лишь своей статистической природой.

Этот двояко-статистический характер квантовой статистики отражается на ее математическом аппарате уже несколько больше, чем те два новых момента, о которых мы упоминали выше. Однако и здесь необходимые изменения не касаются основ самого метода. Принципиально-статистическая природа квантовой механики, именно потому, что она совершенно независима от специальных методов физической статистики, ничего не меняет в существе этих методов (а значит, и связанного с ними математического аппарата), требуя лишь некоторой надстройки, хотя и заметно изменяющей облик построенного здания, но ни в какой мере не затрагивающей его фундамента.

Наконец, мы должны более подробно рассмотреть две новые черты квантовой механики, которые оказывают на ее статистический аппарат уже гораздо более глубокое преобразующее воздействие, требуя в некоторых случаях такого его расширения, которое знаменует собою уже качественное изменение.

Первая из этих черт вызывается необходимостью охвата так называемых "новых" статистических схем (Бозе–Эйнштейна и Ферми–Дирака), не имеющих и не могущих иметь себе ничего аналогичного в классической статистической механике. Создающееся здесь положение, правда, по своей логической сущности принципиально возможно и в классической теории: речь идет о необходимости формирования средних значений механических величин, производя осреднение не по всем состояниям, совместимым с данным значением полной энергии системы, а лишь по некоторой (небольшой) части этих состояний. В классической теории такая редукция осредняющего многообразия становится необходимой всякий раз, когда система уравнений движения имеет какой-либо однозначный интеграл, независимый от интеграла энергии; однако практически такая необходимость возникает редко, так как в обычных условиях, как правило, либо таких интегралов не бывает совсем, либо, если они имеются, средние по редуцированному многообразию оказываются практически неотличимыми от средних по первоначальному полному многообразию.

Переход к "новым" статистикам означает именно такую редукцию многообразия "достижимых" состояний системы, по которым должно производиться осреднение. Необходимость этой редукции и здесь вызывается наличием некоторого однозначного интеграла уравнения Шредингера, которое в квантовой механике заменяет собою систему "уравнений движения", описывая эволюцию состояния системы с течением времени. Наличие этого интеграла (мы называем его в дальнейшем "индексом симметрии") является при этом правилом, а не исключением; и средние значения по редуцированным многообразиям отличаются от средних значений по первоначальным полным многообразиям в такой мере, которая делает учет этих различий совершенно необходимым. В классической механике уравнения движения не могут иметь никаких интегралов, которые в какой-либо мере были бы аналогичны этому "индексу симметрии ", описывающему таким образом некоторую специфическую черту квантовой механики.

При построении общей статистической теории эта необходимость редукции осредняющих многообразий весьма существенным образом отражается на свойствах математического аппарата, заметно его усложняя. Основной базой по-прежнему остаются локальные предельные теоремы теории вероятностей. Однако даже в простейшем случае системы, состоящей из однотипных частиц, в условиях симметрической или антисимметрической статистики приходится пользоваться двумерными предельными теоремами вместо одномерных, которыми можно ограничиться в условиях полной статистики (т.е. в условиях классической "схемы Максвелла–Больцмана"), Редукция расчетных задач физической статистики к предельным теоремам теории вероятностей также претерпевает значительные изменения. Кроме того, самая необходимость вести все расчеты на весьма общей основе, охватывающей одновременно все три основные статистические схемы, естественным образом делает изложение более сложным.

Наконец, последняя специфическая черта квантовой механики, также оказывающая на ее статистические методы весьма существенное влияние, связана с проблемой "представительности " даваемых этими методами средних значений, т.е. с проблемой обоснования реальной значимости, экспериментальной подтверждаемости этих средних. В классической статистической механике с этой целью обычно строятся так называемые эргодические гипотезы или теоремы, имеющие целью установить, что в своей эволюции, описываемой уравнениями движения, система в среднем пребывает в различных частях данного многообразия постоянной энергии такие доли общего промежутка времени, которые пропорциональны объемам этих частей; поэтому, если мы станем через определенные промежутки времени измерять какую-либо связанную с данной системой механическую величину, то среднее арифметическое полученных в достаточно большом числе результатов измерения будет, как правило, близко к статистическому среднему ее значению, даваемому теорией. Известно, что все попытки такого "эргодического" пути обоснования представительности теоретических средних не привели до сих пор в классической статистической механике к сколько-нибудь законченным результатам (несмотря на ряд отдельных замечательных успехов). Однако независимо от этого, такой "эргодический" путь в квантовой механике с самого начала оказывается принципиально невозможным. Если классическая механическая система изменяет свое состояние согласно уравнениям движения, то с течением времени состояние ее – по крайней мере в принципе – может как угодно близко подходить к любому наперед заданному состоянию, соответствующему данному значению ее полной энергии; на этом и основана возможность ставить вопрос о сравнении теоретических осреднений по всем таким состояниям с данными, полученными путем измерения той или иной величины на одной и той же системе в различные моменты ее эволюции. В квантовой механике дело обстоит совершенно иначе. Если система имеет определенное (достоверное) значение полной энергии (находится, как говорят, в "стационарном" состоянии) и эволюционирует согласно уравнению Шредингера, то закон распределения любой связанной с ней механической величины остается неизменным с течением времени (мы докажем это в гл.II, § 5). Но в квантовой статистике задание состояния системы не дает для связанных с нею механических величин ничего иного, кроме их законов распределения; мы должны поэтому считать, что состояние системы, имеющей некоторое определенное (достоверное) значение полной энергии, вообще с течением времени не меняется; поэтому серия измерений, произведенных над одной и той же системой (даже если бы такая серия была возможна без радикального нарушения состояния системы при каждом отдельном измерении) должна была бы давать результат, ничего общего не имеющий с теоретическим средним, представляющим собою результат осреднения величины по всем состояниям, совместимым с данным значением полной энергии.

Таким образом, как бы мы ни расценивали эффективность эргодических методов в классической статистической механике, в квантовой статистике они принципиально ничего не могут дать для обоснования представительности теоретических средних значений механических величин, так как здесь "временные средние" таких величин в силу приведенных нами соображений будут, как правило, во всех наблюдаемых случаях существенно отличны от теоретических средних. Квантовая статистика должна поэтому при выборе своего математического аппарата полностью учитывать необходимость создания других приемов установления представительности средних значений. Как мы увидим, конкретно это означает, что точность оценки остаточных членов в используемых предельных теоремах теории вероятностей должна быть существенно повышена сравнительно с тою, какая требуется для простой оценки средних значений.

Несмотря на все указанные нами, порою весьма значительные, расширения, дополнения и просто изменения, какие претерпевает математический аппарат физической статистики при переходе от классической к квантовой физике, мы хотим еще раз подчеркнуть, что центральная идея развиваемых нами методов при этом переходе остается незыблемой. Эта идея состоит в систематическом применении ко всем расчетам статистической физики асимптотических формул теории вероятностей, представляющей собою общее учение о массовых явлениях, и в построении таким образом для статистической физики строго обоснованного математического фундамента, без необходимости создания какого-либо специального аналитического аппарата.

&setc; 2. Содержание книги

Как было указано в предисловии, эта книга рассчитана на две категории читателей: физиков, интересующихся математическими основаниями своей науки, и математиков, которые хотят ознакомиться с физическими приложениями математики. Эти две группы приступят к чтению книги, как правило, с различным характером предварительной подготовки. Учитывая это различие и желая дать каждой из двух категорий читателей хотя бы самое необходимое для беспрепятственного овладения основными разделами книги, мы несколько расширили вводную часть ее по сравнению с обычными в таких случаях размерами. Две большие главы (первая и вторая) целиком посвящены предварительным сведениям, и лишь с третьей главы начинается трактовка вопросов квантовой статистики.

Первая глава имеет целью изложение и полное доказательство тех предельных теорем теории вероятностей, которые затем будут использованы в основных разделах книги. Речь идет здесь о предельных теоремах локального типа для сумм одинаково распределенных случайных величин, могущих принимать лишь целые неотрицательные значения. Как известно, общие условия применимости теорем такого рода были найдены лишь совсем недавно Б.В.Гнеденко и его учениками. В гл.I дано полное доказательство локальных теорем для одномерного и двумерного случаев, проведенное в основном методом Б.В.Гнеденко; однако в целях нужных нам приложений мы проводим расчеты несколько более детально, чтобы получить не только асимптотические формулы, но и достаточно точную оценку остаточных членов. Таким образом, эта глава содержит известный элемент новизны даже для математика, специальностью которого является теория вероятностей. Для математиков других специальностей, а также для физиков, она будет несомненно целиком новой. Тем из читателей, которые не интересуются деталями доказательств нужных в дальнейшем предельных теорем, мы можем рекомендовать не читать первой главы целиком, а ознакомиться лишь с формулировками доказываемых в ней предложений. Эти формулировки со всей отчетливостью выделены нами в конце §§ 4 и 5.

Вторая глава содержит необходимые предварительные сведения из квантовой механики; для образованного физика она, как правило, будет излишней, и мы можем рекомендовать ему лишь бегло проглядеть ее, чтобы освоиться с принятой во всем дальнейшем терминологией и системой обозначений. Для математика она, напротив, как правило, окажется необходимой. Мы должны предупредить эту категорию читателей, что ознакомление с этой главой не может заменить собою предварительного усвоения основных идей квантовой физики, хотя бы по литературе более или менее популярного характера. Наша гл.II не может рассматриваться ни как краткий курс, ни даже как конспект курса квантовой механики; выбор излагаемого в ней материала не претендует ни в какой мере на какую бы то ни было полноту, и целиком обусловлен интересами тех специальных приложений, которым посвящены последующие главы. В частности, эта глава говорит почти исключительно о математическом аппарате квантовой механики, оставляя, как правило, в стороне содержательно-физическую сторону вопроса. Таким образом, хотя с формальной стороны эта глава содержит все необходимое для понимания последующих разделов книги, однако для читателя, совсем не знакомого с идеями квантовой физики, чтение ее окажется почти бесполезным: знания его будут чисто формальными, висящими в воздухе (достаточно указать, что вся глава не содержит упоминания ни об одном эксперименте). Мы повторяем поэтому, что приступающий к изучению нашей книги математик обязательно должен иметь хотя бы весьма скромное знакомство с основным идейным багажом, с общим стилем квантовой физики; как мы уже говорили, знакомство это может быть достигнуто с помощью источников совсем элементарного характера; если ведущие физические идеи этого учения читателю хоть в скромной мере знакомы, то наша вторая глава уже без затруднений сможет поднять эти знания на нужный для целей прочного понимания последующих глав математический уровень.

Третья глава содержит изложение общих идей и основы расчетных методов квантовой статистики. В классической механике статистическая теория имеет основной целью исследование статистики различных механических величин при заданной полной энергии системы; подобным же образом квантовая статистика исследует законы распределения различных механических величин при условии, что полная энергия системы имеет некоторое достоверное значение; таким образом, в рассмотрение входят (по крайней мере, в первую очередь) только такие состояния системы, в которых полная энергия имеет достоверные значения (и которые описываются, следовательно, собственными функциями оператора Н полной энергии), В классической механике совокупность состояний, в которых полная энергия системы имеет заданное постоянное значение, образует некоторую "поверхность постоянной энергии" в фазовом пространстве. В квантовой механике аналогичная совокупность состояний представляет собою линейное многообразие M, элементами которого являются собственные функции оператора Н, принадлежащие к некоторому определенному собственному значению этого оператора. Это многообразие всегда имеет конечное, но для систем статистической физики очень большое число измерений (высокая степень вырождения собственных значений). В классической механике средние значения величин получаются путем осреднения по данной поверхности постоянной энергии (или ее части, если кроме интеграла энергии имеются другие однозначные интегралы); подобным же образом, в квантовой статистике осреднение должно производиться по многообразию M или его части. Как мы отметили в § 1, фактически для большинства систем статистической физики это многообразие приходится существенным образом редуцировать, вводя в рассмотрение только симметрические или только антисимметрические собственные функции. Таким образом, в статистических задачах квантовой физики необходимо развивать расчетные приемы для трех основных статистических схем – полной, симметрической и антисимметрической. С этой целью мы прежде всего для каждой из этих трех схем устанавливаем определенную полную ортогональную систему собственных функций; эти функции, имеющие существенное значение для всего дальнейшего, мы называем основными собственными функциями, а описываемые ими состояния – основными состояниями системы.

Далее вводится основное для квантовой статистики понятие "чисел заполнения", показывающих, сколько из составляющих данную систему частиц находится в том или другом определенном состоянии. Выбранные нами основные состояния оказываются особенно удобными для статистических расчетов, потому, что в каждом из этих состояний числа заполнения получают определенные (достоверные) значения. Таким образом, каждому основному состоянию, в любой из трех статистических схем, соответствует некоторый определенный набор чисел заполнения. Обратно, каждому заданному набору чисел заполнения соответствует одно или несколько основных состояний; это число основных состояний, отвечающих данному набору чисел заполнения, различно для трех основных статистических схем, и именно в этом различии находит свое важнейшее выражение статистическая разнородность этих схем.

Значительная часть важнейших механических величин, изучаемых статистической физикой, имеет "сумматорный" характер, т.е. является суммою величин, каждая из которых зависит от состояния только одной из составляющих данную систему частиц. Для такой "сумматорной величины" знание средних значений чисел заполнения позволяет непосредственно написать выражение для ее среднего значения. Если в дополнение к средним значениям чисел заполнения мы умеем найти и средние значения их попарных произведений, то это дает нам возможность непосредственно написать и дисперсию любой сумматорной величины. Всеми этими соображениями объясняется, почему в любом систематическом изложении квантовой статистики авторы считают своей важнейшей первоначальной целью отыскание именно средних значений чисел заполнения. Надо, однако, все же отметить, что средними значениями чисел заполнения определяются средние значения только сумматорных величин; будучи важнейшими, сумматорные величины не исчерпывают собою, однако, всех величин, которыми может интересоваться статистическая физика; естественным объектом ее исследований может стать любая величина, симметричным образом зависящая от состояний частиц, составляющих собою данную систему; сумматорные величины, будучи среди таких симметрических функций простейшими и наиболее часто встречающимися, вместе с тем не исчерпывают собою, очевидно, их совокупности (так, дисперсия сумматорной величины уже не есть сумматорная величина). Для математической теории охват более широкого круга задач был бы, несомненно, интересной и благодарной задачей; надо, однако, отметить, что и в самой теории вероятностей предельные закономерности для симметрических функций большого числа случайных величин представляют собою еще совершенно неразработанную область исследований.

В конце третьей главы мы показываем, что задача обоснования представительности микроканонических средних может быть сведена к оценке микроканонических дисперсий соответствующих механических величин, и даем выражение дисперсии сумматорной величины, имеющее силу для всех трех статистических схем.

После того как таким образом фундамент статистических методов в квантовой физике заложен, мы в четвертой и пятой главах даем конкретное построение квантовой статистики. Четвертая глава посвящена статистике фотонов, пятая – статистике материальных частиц (т.е. частиц с отличной от нуля "массой покоя"). Мы начинаем с фотонов исключительно из педагогических соображений. Как известно, то обстоятельство, что число составляющих данную систему фотонов не является постоянным, а может меняться с течением времени, делает статистику "фотонного газа" значительно более простой, чем статистика систем, состоящих из материальных частиц. Мы сочли поэтому целесообразным развить все расчетные методы сначала на этом наиболее простом примере, где на первых порах приходится иметь дело только с одномерными задачами; мы надеемся, что читатель, усвоивший эту главу, при переходе к более сложному случаю материальных частиц будет уже настолько знаком с основными идеями метода, что те чисто технические усложнения, с которыми он здесь встретится, не создадут для него сколько-нибудь значительных затруднений.

Построение основных расчетных формул протекает в этих двух главах в полном параллелизме. Число измерений линейного многообразия собственных функций оператора Н, принадлежащих к данному собственному значению E, есть функция от Е (в случае материальных частиц зависящая еще и от числа частиц, составляющих данную систему), которую мы называем структурной функцией данной системы. Первый этап состоит в точном выражении средних значений чисел заполнения и их попарных произведений через различные значения структурной функции; эти выражения очень просты, но различны для различных статистических схем. Найденные таким образом формулы полностью редуцируют асимптотическую оценку средних значений чисел заполнения и их попарных произведений к отысканию приближенных выражений для структурной функции. Следующий этап состоит в выражении структурной функции через закон распределения случайной величины, определяемой как сумма очень большого числа взаимно независимых и одинаково распределенных случайных величин. Эти законы распределения в общем случае многомерны; лишь в простейшей задаче для фотонов они являются одномерными. Наконец, на последнем, третьем этапе к асимптотической оценке этих законов распределения применяются установленные в гл.I предельные теоремы теории вероятностей. Это дает для структурной функции, а следовательно, и для средних значений чисел заполнения и их попарных произведений, удобные и вместе с тем очень точные приближенные выражения, с помощью которых мы, пользуясь методами гл.III, легко находим столь же точные приближенные выражения для средних значений и дисперсий сумматорных величин. Получаемая точность оказывается при этом вполне достаточной для обоснования представительности микроканонических средних сумматорных механических величин.

Последняя, шестая глава имеет целью наметить путь, позволяющий построить с помощью достигнутых результатов понятие энтропии и обоснование второго закона термодинамики, а тем самым и закончить обоснование термодинамики статистическими методами.

В "дополнениях", завершающих книгу, мы собрали ряд вопросов, представляющих значительный интерес, но лежащих несколько в стороне от основной линии развития теории; именно поэтому мы и предпочли предоставить им особое место в конце книги.

Об авторе

Хинчин Александр Яковлевич

Выдающийся математик, блестящий представитель Московской математической школы. Доктор физико-математических наук, профессор МГУ имени М. В. Ломоносова (с 1922 г.), профессор Саратовского государственного университета (1935–1937). Член-корреспондент АН СССР с 1939 г. В 1941 г. стал лауреатом Государственной премии СССР. C 1943 по 1957 г. заведовал кафедрой математического анализа механико-математического факультета МГУ. Ученик Н. Н. Лузина. Действительный член Академии педагогических наук, один из ее основателей (1943). Награжден четырьмя орденами, в том числе орденом Ленина. Им получены основополагающие результаты в теории функций действительного переменного, теории чисел, теории вероятностей, статистической физике.