Фок В.А.Ак★★ Теория пространства, времени и тяготения Изд. 5

Оглавление

Предисловие к первому изданию

Целью этой книги является, прежде всего, изложение наших исследований по теории тяготения Эйнштейна. Сюда относятся: вывод уравнений движения системы тел с учетом их внутренней структуры и вращения, приближенное решение уравнений тяготения и исследование асимптотического вида решений, исследования по вопросу о существовании системы координат, определяемой с точностью до преобразования Лоренца, и другие.

Результаты этих исследований привели нас к убеждению о возможности, по крайней мере для наиболее важного класса физических задач, достигнуть однозначности решения уравнений тяготения путем наложения совместных с ними дополнительных условий. Это убеждение послужило основанием для новой точки зрения на всю теорию тяготения. Поэтому возникла потребность в изложении всей теории пространства, времени и тяготения с этой, вновь выработанной, точки зрения, что и сделано в этой книге.

Для стройности логического построения мы включили в книгу и обычную теорию относительности (теорию галилеева пространства). Такое расширение материала имеет и то преимущество, что делает книгу более доступной, так как предполагает у читателя меньше предварительных знаний.

В процессе работы по изложению обычной теории относительности возник ряд вопросов, выяснение которых также привело к некоторым новым результатам, отчасти, впрочем, методического характера. К ним относятся: новая форма доказательства линейности преобразования, связывающего две инерциальные системы, исследование функции Лагранжа для системы зарядов, вывод интегралов движения, исследование вопроса об астрономической аберрации на основе понятия о пространстве скоростей Лобачевского–Эйнштейна и другие.

Главное внимание мы уделяли вопросам и задачам принципиального значения. Мы стремились при этом к возможно большей логической строгости рассуждений, что для нас было особенно важно ввиду новизны нашей точки зрения на теорию и вытекающей отсюда необходимости достаточно убедительно ее обосновать.

С этим профилем книги связаны и ее недостатки, прежде всего, лишь беглые указания на экспериментальное обоснование теории, небольшое количество рассмотренных приложений, отсутствие подробного исторического обзора и подробного списка литературы, а быть может и другие.

Так как в книге дано построение теории, начиная с самых основ, то в ней содержится и материал, вполне доступный студентам физических факультетов университетов, а также всем лицам с соответствующим общим образованием. Для студентов-физиков теоретической специальности, а тем более для аспирантов-теоретиков, доступна и вся книга. Ученые-специалисты найдут в ней по ряду вопросов новые, впервые публикуемые результаты.

Май 1955 г. Ленинград

Предисловие ко второму изданию

За шесть лет, протекших со времени первого русского издания, эта книга была издана на английском языке в издательстве "Пергамон" в Лондоне и на немецком языке в "Академическом" издательстве в Берлине. В связи с этим текст книги продумывался автором неоднократно. Второе русское издание отличается от первого уточнением ряда формулировок в вопросах имеющих принципиальный характер, включением результатов некоторых новых работ автора и усовершенствованием математических доказательств. Наиболее существенными из этих дополнений представляются автору результаты, относящиеся к вопросу об единственности тензора массы (а тем самым и уравнений тяготения), а также введение понятия конформного пространства (§ 31* и § 56). Для более подробного разъяснения нашего понимания принципа относительности как физического принципа мы ввели отдельный новый параграф (§ 49 *).

За последние годы наша точка зрения на теорию относительности и теорию тяготения начала встречать признание со стороны ученых всего мира. Мы надеемся, что уточнения, внесенные в настоящее издание, устранят последние недоразумения, препятствовавшие ее принятию.

Май 1961 г. Ленинград

Из введения

С точки зрения геометрической, теория пространства и времени естественно разделяется на теорию однородного (галилеева) пространства и теорию неоднородного (риманова и эйнштейнова) пространства.

Галилеево пространство максимально однородно. Это выражается в том, что в нем: (а) все точки и моменты времени равноправны, (б) все направления равноправны и (в) все инерциальные системы, движущиеся друг относительно друга прямолинейно и равномерно, равноправны (принцип относительности Галилея).

Однородность пространства и времени проявляется в наличии группы преобразований, оставляющих без изменения выражение для четырехмерного расстояния (интервала) между двумя точками. Выражение для интервала играет в теории пространства и времени большую роль, так как форма его непосредственно связана с формой основных законов физики, а именно закона движения свободной материальной точки и закона распространения фронта световой волны в свободном пространстве.

Перечисленные выше признаки (а), (б) и (в) однородности галилеева пространства связаны со следующими преобразованиями.

(а) Равноправию всех точек и моментов времени соответствует преобразование, состоящее в смещении начала координат и начала счета времени и содержащее четыре параметра (три начальные координаты и начальный момент времени).

(б) Равноправию всех направлений соответствует преобразование, состоящее в повороте координатных осей и содержащее три параметра (три угла).

(в) Равноправию инерциальных систем соответствует преобразование, состоящее в переходе от данной системы отсчета к другой, движущейся прямолинейно и равномерно относительно данной; это преобразование содержит три параметра (три составляющие относительной скорости).

Самое общее преобразование содержит десять параметров. Это есть преобразование Лоренца.

Известно, что в пространстве п измерений группа преобразований, оставляющая без изменения выражение для квадрата расстояния между бесконечно близкими точками, может содержать не более 1/2 n(n+1) параметров. Если существует группа, содержащая все 1/2 n(n+1) параметров; то пространство является максимально однородным; это будет либо пространство постоянной кривизны, либо, если кривизна равна нулю, евклидово (или псевдоевклидово) пространство.

В рассматриваемом нами случае пространства-времени число измерений равно четырем и, следовательно, наибольшее возможное число параметров равно десяти. Так как последнее число совпадает с числом параметров в преобразовании Лоренца, то галилеево пространство (к которому это преобразование относится) и является, как мы уже говорили, максимально однородным.

Основанную на преобразованиях Лоренца теорию галилеева пространства принято называть частной теорией относительности. Точнее можно сказать, что предметом этой теории является формулировка физических законов в соответствии со свойствами галилеева пространства. Основоположником теории относительности является Альберт Эйнштейн (1879–1955). Предшественниками Эйнштейна следует считать Пуанкаре и Лоренца. В этой книге теории галилеева пространства будут посвящены гл.I–IV.

Всемирное тяготение не может быть уложено в рамки однородного галилеева пространства. Более глубокая причина этого была выяснена Эйнштейном: она состоит в том, что не только инертная, но и тяжелая масса тела зависит от его энергии.

Теорию всемирного тяготения оказалось возможным создать на основе отказа от однородности пространства в целом и признания за ним известного рода однородности только в бесконечно малом. Математически этому соответствует отказ от евклидовой (точнее, псевдоевклидовой) геометрии и введение геометрии Римана. Современная теория тяготения также была создана Эйнштейном.

То, что, согласно теории тяготения, в бесконечно малом все же имеет место однородность, подобная той, какая выражается преобразованиями Лоренца, связано с возможностью имитировать, вблизи данной точки, поле тяготения полем ускорения (так называемый принцип эквивалентности). Физической основой этого является известный еще Галилею закон, согласно которому все тела падают, при отсутствии сопротивления среды, с одинаковой скоростью (точнее, с одинаковым ускорением). В обобщенном виде закон Галилея может быть формулирован как закон равенства массы инертной и массы весомой. Следует подчеркнуть, что этот фундаментальный закон имеет общий характер, тогда как принцип эквивалентности строго локален. Закон равенства инертной и тяжелой массы применим со всей той точностью, с какой возможно определение той и другой массы как величины, свойственной данному телу и независящей от положения и движения других тел (такая независимость имеет место в теории тяготения Ньютона, но может не иметь места в ее обобщениях).

Закон равенства инертной и весомой массы является той наглядной физической основой, на которой можно строить теорию тяготения; конечно, в самом процессе построения теории вводятся новые обобщения, в результате чего данный закон может перейти на положение приближенного закона, но это не умаляет его фундаментального характера. В качестве основы для построения более общей теории закон равенства инертной и весомой массы имеет перед принципом эквивалентности следующие преимущества: во-первых, он не требует локального рассмотрения и, во-вторых, он не вызывает необходимости рассмотрения ускоренно движущихся систем отсчета – понятия, трудно поддающегося определению.

При построении теории тяготения нельзя ограничиться локальным рассмотрением (т.е. рассмотрением бесконечно малых областей пространства). Необходимо так или иначе характеризовать свойства пространства в целом; в противном случае вообще нельзя поставить задачу однозначным образом. Это особенно ясно из того факта, что уравнения всякого поля (также и поля тяготения) представляют уравнения в частных производных, решения которых получаются однозначно лишь при наличии начальных и предельных условий или условий, их заменяющих. Уравнения поля и предельные условия неразрывно связаны друг с другом, и последние никак нельзя считать чем-то менее важным, чем самые уравнения. Но в задачах, относящихся ко всему пространству, предельные условия относятся к отдаленным областям пространства и для их формулировки необходимо знать свойства пространства в целом.

Заметим, что недостаточность локального рассмотрения и важность предельных условий были явно недооценены Эйнштейном, в связи с чем в наших работах и в настоящей книге нам пришлось внести в постановку основных задач теории тяготения существенные изменения.

Наиболее простым и вместе с тем наиболее важным случаем является тот, когда можно предположить пространство однородным (в смысле преобразования Лоренца) на бесконечности. В этом случае вызываемые массами неоднородности будут иметь местный характер; массы с их полями тяготения будут как бы погружены в неограниченное галилеево пространство. Этот случай особенно важен потому, что существование интегралов движения связано с однородностью пространства на бесконечности. Только если пространство на бесконечности допускает полное преобразование Лоренца с десятью параметрами, существуют все десять интегралов движения, включая интеграл энергии.

Главы V, VI и VII этой книги почти целиком посвящены случаю пространства, однородного на бесконечности.

Возможно также предположение, что пространство-время в целом обладает не полной однородностью, а только частичной: по-прежнему допустимы произвольный перенос начала пространственных координат и произвольный поворот пространственных осей, что дает шесть параметров, остальные же четыре параметра преобразования Лоренца, а именно три составляющие скорости и начало счета времени, определяются через первые шесть. Такое пространство-время было впервые рассмотрено Фридманом, а так как пространственная часть его обладает геометрией Лобачевского, то его можно назвать пространством Фридмана–Лобачевского. В отличие от пространства Галилея, это пространство допускает существование определенного поля тяготения при средней плотности весомой материи, отличной от нуля. Поэтому можно предположить, что в космологии, при рассмотрении огромных областей размерами в миллиарды световых лет, приблизительно равномерно заполненных галактиками, пространство Фридмана – Лобачевского является лучшим приближением к действительности, чем пространство Галилея. Теория местных неоднородностей в пространстве Фридмана–Лобачевского еще совершенно не разработана, и мы посвящаем этому пространству только § 94 и 95 этой книги. Возможны и другие предположения относительно свойств пространства в целом, но на них мы останавливаться не будем.

В зависимости от свойств пространства в целом решается и вопрос о существовании привилегированной системы координат. В галилеевом пространстве привилегированными являются обычные декартовы координаты и время; совокупность этих переменных носит название галилеевых координат. Привилегированное положение этих координат основано на том, что преобразования Лоренца, выражающие однородность пространства, будут в этих координатах линейными.

В случае пространства, однородного только на бесконечности, также оказывается возможным ввести привилегированную систему координат, определяемую с точностью до преобразования Лоренца (гармонические координаты). Этот факт, впервые установленный в наших работах, имеет большое принципиальное значение; только опираясь на него, можно, в частности, показать, что привилегированное положение гелиоцентрической системы Коперника по сравнению с геоцентрической системой Птоломея сохраняется и в теории тяготения Эйнштейна. Более подробное обоснование его дано в § 92 и 93 этой книги. Все рассмотренные в этой книге конкретные задачи теории тяготения решаются нами в гармонических координатах. Этим достигается однозначность решения.

В пространстве Фридмана–Лобачевского, вероятно, тоже существуют привилегированные системы координат. Вопрос этот, однако, не исследован, поскольку еще не создана теория местной неоднородности в таком пространстве.

В вопросе о существовании привилегированных систем координат создатель теории тяготения Эйнштейн придерживался точки зрения, противоположной нашей, а именно, он во всех случаях отрицал существование таких систем. Это связано с отмеченной выше переоценкой лежащего в основе римановой геометрии локального способа рассмотрения свойств пространства и недооценкой важности рассмотрения пространства в целом. Несомненно, что здесь сыграла роль также философская позиция Эйнштейна, всю свою жизнь находившегося под влиянием идей Маха.

Вопрос о различных координатных системах и об изменении вида уравнений при переходе от одной координатной системы к другой занимает в теории пространства и времени важное место.

Особенно большое значение принято придавать ковариантности уравнений. Под ковариантностью разумеется следующее. Рассмотрим преобразование координат, сопровождаемое преобразованием зависимых переменных (функций) по определенному (например, тензорному) правилу и обратим внимание на вид уравнений, которым удовлетворяют первоначальные и преобразованные функции. Если полученные в результате такого преобразования новые функции от новых переменных удовлетворяют уравнениям того же вида, как старые функции от старых переменных, то уравнения называются ковариантными. Ковариантность уравнений позволяет писать их, не предрешая выбора координатной системы. Кроме того, требование ковариантности уравнений имеет большое эвристическое значение, так как ограничивает разнообразие формы уравнений и, тем самым, помогает отобрать из них правильные. Необходимо, однако, подчеркнуть, что это ограничение имеет место при обязательном условии, что ограничивается также и число вводимых функций; если же допустить введение любого числа новых вспомогательных функций, то практически любым уравнениям можно придать ковариантную форму.

Таким образом, сама по себе ковариантность уравнений отнюдь не является выражением какого-либо физического закона. Так, например, в механике системы материальных точек уравнения Лагранжа 2-го рода являются ковариантными по отношению к любым преобразованиям координат, хотя и не выражают никакого нового физического закона по сравнению, например, с уравнениями Лагранжа 1-го рода, которые пишутся в прямоугольных координатах и ковариантными не являются.

В случае уравнений Лагранжа ковариантность достигнута путем введения, в качестве новых вспомогательных функций, коэффициентов квадратичного (не обязательно однородного) выражения для функции Лагранжа через скорости.

Об авторе

Выдающийся отечественный ученый, классик теоретической физики XX века. Академик АН СССР. Родился в Петербурге. В 1922 г. окончил Петроградский университет. В разные годы работал в Государственном оптическом институте, в Физическом институте АН СССР, в Институте физических проблем АН СССР. С 1932  г. профессор Ленинградского государственного университета и член-корреспондент АН СССР, с 1939 г. – академик. Член ряда академий наук и научных обществ. Удостоен многих национальных и международных наград. Лауреат Государственной премии СССР (1946) и Ленинской премии (1960).

Основные научные достижения В. А. Фока получены в области квантовой механики, квантовой теории поля, теории многоэлектронных систем, статистической физики, распространения радиоволн, теории дифракции, математической физики, теории гравитации, теории относительности и др. В 1926 г. он дал скалярное релятивистское обобщение уравнения Шредингера (получившее название уравнения Клейна–Гордона–Фока); в 1927 г. решил задачу о тепловом пробое диэлектриков; в 1930 г. рассмотрел уравнение самосогласованного поля в квантовой теории многоэлектронных систем с учетом принципа Паули и разработал приближенный метод его описания и расчета (метод Хартри–Фока). Ему принадлежит вывод приближенных уравнений движения системы тел в рамках теории тяготения А.Эйнштейна. Им был выполнен ряд фундаментальных исследований по теории распространения радиоволн, а также работы по методологическим вопросам квантовой механики и теории относительности.