| A nuestros lectores | 7
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| Prólogo a la serie «Lecciones de Matemática» | 9
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| Prólogo al noveno tomo | 11
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| Capítulo 1. Conceptos preliminares | 13
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| 1.1. Números complejos | 13
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| 1.2. Causas de la efectividad | 16
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| 1.3. Principios algebraicos | 20
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| 1.4. Esfera de Riemann | 22
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| 1.5. Conceptos topológicos | 24
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| Capítulo 2. Funciones analíticas | 29
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| 2.1. Diferenciabilidad | 29
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| 2.2. Ejemplos | 33
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| 2.3. Propiedades elementales | 34
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| 2.4. Interpretaciones físicas | 38
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| 2.5. Integración y teorema de Cauchy | 40
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| 2.6. Ejemplos importantes | 47
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| 2.7. Integral de Cauchy | 50
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| 2.8. Diferenciabilidad infinita | 53
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| 2.9. Teorema de Liouville | 54
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| 2.10. Existencia de la función inversa | 56
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| 2.11. Principio de compacidad | 58
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| Capítulo 3. Series complejas | 61
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| 3.1. Series numéricas | 61
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| 3.2. Series funcionales | 63
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| 3.3. Series de potencias | 66
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| 3.4. Serie de Taylor | 68
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| 3.5. Prolongación analítica | 70
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| 3.6. Serie de Laurent | 74
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| 3.7. Puntos singulares | 76
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| 3.8. El punto del infinito | 80
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| 3.9. Funciones enteras y funciones meromorfas | 82
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| 3.10. Complementos y problemas | 87
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| Capítulo 4. Funciones concretas | 89
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| 4.1. Prolongación desde el eje real | 89
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| 4.2. Patrones de funciones multiformes | 93
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| 4.3. Función gamma | 97
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| 4.4. Función zeta | 100
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| Capítulo 5. Prolongación analítica y funciones multiformes | 103
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| 5.1. El fenómeno analítico | 103
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| 5.2. Teorema de monodromía | 104
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| 5.3. La raíz cuadrada | 107
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| 5.4. Puntos de ramificación y ramas regulares | 110
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| 5.5. Superficies de Riemann | 113
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| 5.6. Relación con la teoría de Galois | 115
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| Capítulo 6. Teoría de residuos | 118
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| 6.1. Teorema fundamental | 118
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| 6.2. Residuo en el infinito | 122
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| 6.3. Ejemplos | 123
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| 6.4. Residuos logarítmicos | 126
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| 6.5. Principio del argumento | 127
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| Capítulo 7. Aplicaciones conformes | 131
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| 7.1. Motivación | 131
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| 7.2. Propiedades generales | 135
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| 7.3. Transformaciones homográficas | 139
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| 7.4. Función de Zhukovski | 147
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| 7.5. Otras transformaciones | 149
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| 7.6. Dinámica compleja | 151
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| Capítulo 8. Cálculo operacional | 153
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| 8.1. Mecanismo de las funciones generatrices | 153
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| 8.2. Transformada de Laplace | 155
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| 8.3. Inversión | 160
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| 8.4. Función delta | 160
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| 8.5. Ecuaciones diferenciales | 164
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| 8.6. Control automático | 166
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| Capítulo 9. Funciones armónicas | 168
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| 9.1. Contraejemplo | 168
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| 9.2. Propiedades | 170
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| 9.3. Invariancia y unicidad | 173
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| 9.4. Problema de Dirichlet | 175
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| 9.5. Método variacional | 177
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| Capítulo 10. La función zeta y la hipótesis de Riemann | 179
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| 10.1. Historia del problema | 179
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| 10.2. Series de Dirichlet | 182
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| 10.3. Conexión con la teoría de números | 183
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| 10.4. Idea de la inmersión | 186
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| 10.5. Teorema de universalidad de la función zeta | 188
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| Capítulo 11. Funciones de varias variables | 190
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| 11.1. Funciones analíticas | 191
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| 11.2. Series de potencias | 194
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| 11.3. Regiones de Reinhardt | 196
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| 11.4. Integral de Cauchy múltiple | 198
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| 11.5. Singularidades y ceros | 199
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| Capítulo 12. Métodos asintóticos | 201
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| 12.1. Esquemas y ejemplos | 201
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| 12.2. Comportamiento asintótico de integrales y series | 205
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| 12.3. Método de Laplace | 208
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| 12.4. Método de la fase estacionaria | 210
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| 12.5. Método de máximo descenso | 211
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| Capítulo 13. Resumen de las definiciones y resultados fundamentales | 214
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| 13.1. Funciones analíticas | 214
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| 13.2. Series complejas | 219
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| 13.3. Funciones concretas | 225
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| 13.4. Prolongación analítica y funciones multiformes | 228
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| 13.5. Teoría de residuos | 230
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| 13.6. Aplicaciones conformes | 232
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| 13.7. Cálculo operacional | 234
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| 13.8. Funciones armónicas | 236
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| 13.9. Funciones de varias variables | 238
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| Abreviaturas y notaciones | 241
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| Bibliografía | 243
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| Índice de materias | 245
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