Guelfond A.Ó. Residuos y sus aplicaciones

Índice

Introducción

Los métodos matemáticos se han convertido en un arma potente y efectiva que resulta imprescindible en los más diversos campos de las ciencias naturales. El método de residuos método de residuos, basado en las propiedades de los residuos de las funciones analíticas de una variable compleja, ocupa un lugar destacado entre los métodos clásicos utilizados exitosamente en la matemática y sus aplicaciones. Entre las posibles aplicaciones del método de residuos podemos mencionar el cálculo de integrales, la obtención de identidades funcionales no triviales, el desarrollo de funciones en serie, la interpolación de funciones, la obtención de expresiones asintóticas, la resolución de ecuaciones diferenciales de determinadas clases, etcétera. Para facilitar el uso del presente libro comenzaremos con la exposición de los resultados necesarios sobre los puntos singulares de las funciones analíticas, las funciones enteras y meromorfas, la integral de Fourier y las transformaciones de Mellin y Laplace.

Para comprender el material contenido en este libro es necesario conocer los conceptos fundamentales de la teoría de funciones de una variable compleja, que incluyen el concepto de integral y el teorema de Cauchy. Este teorema afirma que la integral por cualquier contorno cerrado rectificable perteneciente a una región simplemente conexa en la que la función subintegral es analítica y regular es igual a cero. La demostración de este resultado clásico se puede hallar, por ejemplo, en. Si la región D, en la cual la función f(z) es regular, no es simplemente conexa, pero en ella la función f(z) es uniforme (es decir, si tomamos cualquier punto z de la región D, y recorremos cualquier contorno cerrado perteneciente a esta región partiendo del punto z, entonces, al regresar al punto z, obtendremos para f(z) un valor igual al inicial), entonces el teorema de Cauchy también es válido en la región D. A saber, la integral por cualquier contorno cerrado rectificable C perteneciente a la región D en el interior del cual la función f(z) es regular es igual a cero. En este caso, el contorno C puede estar formado por varias curvas simples cerradas.

Por ejemplo, sea D una región triplemente conexa formada por el círculo |z| < R, de cuyo interior se han eliminado las tres regiones cerradas D₁, D₂ y D₃. Supongamos que los contornos rectificables C₁, C₂ y C₃ contienen en su interior las regiones D₁, D₂ y D₃, no tienen puntos comunes y se encuentran en el interior de un contorno cerrado rectificable C^* que pertenece a la región D.

Consideraremos que el contorno C es el conjunto de los contornos C^*, C₁, C₂ y C₃. Además, el contorno C^* se recorre en sentido antihorario y los contornos C₁, C₂, C₃, en sentido horario, de manera que la región D'' cuya frontera es C siempre se encuentra a la izquierda cuando este contorno se recorre en sentido positivo. Para el contorno C el teorema de Cauchy es cierto. Esta afirmación se demuestra sin dificultad. Unamos cada uno de los contornos C₁, C₂ y C₃ mediante un segmento de línea de Jordan con el contorno C^*, de manera que estos segmentos no se corten mutuamente. Consideremos la frontera C de la región simplemente conexa D'''. El contorno C está formado por los contornos C^*, C₁, C₂, C₃ y tres segmentos curvilíneos. Según el teorema de Cauchy para una región simplemente conexa, la integral por el contorno C es igual a cero. Por otro lado, cada una de las integrales por los segmentos curvilíneos se toma dos veces en sentidos opuestos y, por tanto, se elimina por ser la función f(z) uniforme en la región D. La última afirmación es cierta, puesto que independientemente de cuál sea el camino por el que nos acerquemos a un punto z del segmento curvilíneo y por qué lado lo hagamos, obtenemos un mismo valor de la función f(z). Es evidente que en estos razonamientos el círculo |z| < R puede ser sustituido por cualquier región cuya frontera es una curva de Jordan y la región puede ser múltiplemente conexa. El sentido positivo de recorrido de la frontera de la región está estrictamente definido en todos los casos como aquél para el cual la región todo el tiempo se encuentra a la izquierda. El sentido opuesto de recorrido se considera negativo.

El siguiente teorema es una consecuencia directa del teorema de Cauchy para una región múltiplemente conexa.

Autor

Eminente matemático soviético, Miembro Correspondiente de la Academia de Ciencias de la URSS (1939). Nació en el año 1906 en San Petersburgo. En 1927 terminó sus estudios en la Universidad Estatal "M. V. Lomonósov" de Moscú, donde fue discípulo de V. V. Stepánov y A. Iá. Jinchin, entre otros. Fue profesor de esta universidad desde el año 1931. A partir del año 1933 trabajó como investigador científico de primera categoría en el Instituto de Matemática AC URSS "V. A. Steklov". Desde el año 1938 ocupó el cargo de Jefe del Departamento de Teoría de Números de la Facultad de Mecánica y Matemática de la Universidad Lomonósov de Moscú.

A. O. Guelfond se dedicó principalmente a la teoría de números y a la teoría de funciones de variable compleja. Obtuvo importantes relaciones entre la aritmética y las propiedades analíticas de las funciones de variable compleja y creó métodos para la demostración de la trascendencia de ciertas clases de números. Después de resolver el séptimo problema de Hilbert, A. O. Guelfond recibió el reconocimiento de la comunidad matemática mundial. En la teoría de funciones de variable compleja obtuvo importantes resultados en la interpolación de las funciones enteras y en el establecimiento de profundas relaciones entre el crecimiento de estas funciones y las propiedades aritméticas de sus valores.

Об авторе

Alexandr Ósipovich GUELFOND

Eminente matemático soviético, Miembro Correspondiente de la AC de la URSS (1939). Terminó sus estudios en la Universidad Estatal «M. V. Lomonósov» de Moscú (1927), donde fue discípulo de notables matemáticos de la época, como A. Yá. Jinchin y V. V. Stepánov. Profesor de esta institución universitaria desde 1931. Investigador científico principal del Instituto de Matemática AC URSS «V. A. Steklov» (1933). Jefe del Departamento de Teoría de Números de la Facultad de Mecánica y Matemática de la Universidad Lomonósov de Moscú (desde 1938).

Las investigaciones científicas de A. Ó. Guelfond estuvieron centradas en la teoría de números y la teoría de funciones de variable compleja. Descubrió relaciones de carácter fundamental entre las propiedades analíticas de las funciones de variable compleja y la aritmética, creó métodos analíticos para la demostración de la trascendencia de ciertas clases de números y demostró varios teoremas sobre la trascendencia recíproca de los números. Obtuvo el reconocimiento de la comunidad matemática mundial después de resolver el séptimo problema de Hilbert. En la teoría de funciones de variable compleja obtuvo importantes resultados en la interpolación de las funciones enteras y la demostración de profundas relaciones entre el crecimiento de estas funciones y las propiedades aritméticas de sus valores.