Виноградов О.П. Некоторые вопросы теории вероятностей в популярном изложении № 326

---

Оглавление				3
Предисловие				5
Введение				9
1. Общеупотребительные понятия и обозначения				15
2. Вспомогательные результаты				21
3. Формула классической вероятности				31
4. Доказательство одного частного случая формулы Бернулли				47
5. Понятие относительной частоты				51
6. Доказательство одного частного случая неравенства Чебышева				55
7. Простейшая форма закона больших чисел (теорема Бернулли)				61
8. Теорема Бернулли для рациональных вероятностей				63
9. Закон больших чисел в математической статистике, математическом анализе, приближенных вычислениях				73
10. Египетские дроби и урновая схема				79
11. Задача о разорении игрока				89
12. Опыты с бесконечным числом исходов				99
13. Бросание монеты и числа Фибоначчи				109
14. Бросание монеты и числа трибоначчи				117
15. Независимость событий				119
16. О независимости серий				129
17. Несколько старинных задач по теории вероятностей				133
Литература				139

---

Настоящая книга предназначена для всех, интересующихся математикой. Она может быть использована и в школах физико-математического профиля. В ней предложен подход, отличный от традиционного подхода к изучению основ теории вероятностей. Почти сразу читатели знакомятся с доказательством, предложенным автором, простейшего варианта закона больших чисел (случай бросания правильной монеты). Это доказательство не требует знакомства с такими понятиями, как независимость, математическое ожидание и дисперсия. Оно основано на понятии равновозможности событий и на идее Чебышева, которую он использовал при доказательстве неравенства, носящего его имя. Предлагаемое доказательство обобщено на случай, когда вероятность успеха является рациональным числом.

Будут рассмотрены задачи, связанные с урновой схемой, дающие возможность доказывать ряд комбинаторных и алгебраических тождеств, которые находят применение в теории аликвотных (египетских) дробей.

Так как понятие независимости занимает центральное и важнейшее место в теории вероятностей, то ему будет уделено много внимания. Будет дано определение независимости событий и приведены примеры, из которых вытекает, что интуитивное понятие независимости событий не может дать ответ на вопрос, являются ли события независимыми в «математическом» смысле.

Будет указана связь между простыми числами и независимостью событий, которая основана на работах автора.

Рассмотрена классическая задача о разорении при игре двух игроков в азартную игру. Следует отметить, что ее можно переформулировать на более «современном языке», а именно, либо как задачу о нахождении вероятности разорения страховой компании либо как задачу о броуновском блуждании.

Решение этой задачи сводится к решению линейного однородного разностного уравнения. Для решения этого уравнения автор использует аппарат производящих функций, который широко применяется в различных разделах математики (алгебра, теория функций, теория чисел, комбинаторика, теория вероятностей и др.).

Следует отметить, что почти все рассуждения основаны на понятии равновозможности событий и не используется аксиоматический подход академика А. Н. Колмогорова. Автор показывает, каким образом можно рассматривать опыты с бесконечным числом исходов, ведь формула классической вероятности в этом случае неприменима.

Показано, как, используя правильную монету, можно организовать опыт, в котором вероятность наступления одного из исходов этого опыта равна любому наперед заданному числу . Обратим внимание, что это число может быть как рациональным, так и иррациональным.

Приводятся задачи для самостоятельного решения читателями.

Для более детального ознакомления с элементами теории вероятностей в конце книги приводится список литературы.

Выражаю глубокую благодарность доктору физико-математических наук доценту механико-математического факультета МГУ А. В. Лебедеву, который внимательно прочитал рукопись и сделал ряд ценных замечаний.

---