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Encuadernación Dubrovin B.A., Fomenko A.T., Nóvikov S.P. Geometría moderna: Métodos y aplicaciones. Geometría y topología de las variedades
Id: 8379
 
26.9 EUR

Geometría moderna: Métodos y aplicaciones. Geometría y topología de las variedades. T.2

URSS. 304 pp. (Spanish). Rústica. ISBN 5-8360-0044-1.

 Resumen del libro

Esta obra es una de las referencias más frecuentes en la bibliografía físico-matemática soviética. Con Geometría Moderna sus eminentes autores emprendieron un serio intento de reorientar el curso universitario de geometría dotándolo de una serie de contenidos sin los cuales la formación de cualquier matemático o físico teórico se antoja, en la actualidad, insuficiente.

En este libro se estudia la geometría de los espacios euclídeo y de Minkowski, y sus respectivos grupos de transformaciones, la geometría clásica de las curvas y las superficies, la teoría de tensores y la geometría de Riemann, el cálculo de variaciones (incluyendo las leyes de conservación y el formalismo hamiltoniano), la teoría de campos y los fundamentos de la teoría especial y general de la relatividad, la geometría y la topología de las variedades, en particular, los fundamentos de la teoría de las homotopías y los fibrados, y algunas de sus aplicaciones como es, por ejemplo, la teoría de campos de gauge.

La parte principal del libro está pensada para poder ser utilizado por estudiantes de ciencias exactas y física teórica a partir del segundo curso. Los temas de mayor dificultad serán de una gran utilidad para estudiantes de cursos superiores, estudiantes de doctorado y científicos ya formados de las citadas especialidades.


 Índice

1 Ejemplos de variedades
 1.Noción de variedad
  1.Definición de variedad
  2.Aplicaciones de las variedades; tensores en las variedades
  3.Inmersiones e inmersiones inyectivas de las variedades. Variedades con borde
 2.Ejemplos elementales de variedades
  1.Superficies en el espacio euclídeo. Grupos de transformaciones como variedades
  2.Espacios proyectivos
 3.Elementos necesarios de la teoría de grupos de Lie
  1.Estructura de un entorno de la unidad de un grupo de Lie. Álgebra de Lie de un grupo de Lie. Semisimplicidad
  2.Concepto de representación lineal. Ejemplo de un grupo de Lie no matricial
 4.Variedades complejas
  1.Definiciones y ejemplos
  2.Superficies riemannianas como variedades
 5.Espacios homogéneos elementales
  1.Acción de un grupo sobre una variedad
  2.Ejemplos de espacios homogéneos
 6.Espacios de curvatura constante (espacios simétricos)
  1.Noción de espacio simétrico
  2.Grupo de isometrías. Propiedades de su álgebra de Lie
  3.Espacios simétricos de primer y segundo tipo
  4.Grupos de Lie como espacios simétricos
  5.Construcción de espacios simétricos. Ejemplos
 7.Fibrados tangentes y variedades relacionadas con ellos
  1.Construcciones que involucran a los vectores tangentes
  2.Fibrado normal de una subvariedad
2 Fundamentos. Elementos necesarios de la teoría de funciones. Aplicaciones suaves típicas
 8.Partición de la unidad y sus aplicaciones
  1.Partición de la unidad
  2.Aplicaciones elementales de la partición de la unidad. Integral extendida a una variedad y fórmula de Stokes
  3.Métricas invariantes
 9.Representación de las variedades compactas como superficies en RN
 10.Algunas propiedades de las aplicaciones suaves entre variedades
  1.Aproximación de aplicaciones continuas mediante aplicaciones suaves
  2.Teorema de Sard
  3.Regularidad transversal
  4.Funciones de Morse
 11.Aplicaciones del teorema de Sard
  1.Existencia de inmersiones e inmersiones inyectivas
  2.Construcción de las funciones de Morse como funciones altura
  3.Puntos focales
3 Grado de una aplicación. Índice de intersección de dos variedades. Sus usos prácticos
 12.Noción de homotopía
  1.Definición de homotopía. Aproximación de aplicaciones y homotopías mediante aplicaciones y homotopías suaves
  2.Homotopías relativas
 13.Grado de una aplicación
  1.Definición del grado de una aplicación
  2.Generalización de la definición principal
  3.Clasificación homotópica de las aplicaciones de variedades en una esfera
  4.Ejemplos elementales
 14.Algunas aplicaciones del grado
  1.Grado e integral
  2.Grado de un campo vectorial definido sobre una hipersuperficie
  3.Número de Whitney. Fórmula de Gauss--Bonnet
  4.Índice de un punto singular de un campo vectorial
  5.Superficies transversales de un campo vectorial. Teorema de Poincaré--Bendixson
 15.Índice de intersección y sus aplicaciones
  1.Definición del índice de intersección de dos variedades
  2.Índice total de un campo vectorial
  3.Número algebraico de los puntos fijos. Teorema de Brouwer
  4.Coeficiente de entrelazamiento
4 Orientabilidad de las variedades. Grupo fundamental. Recubrimientos (fibrados con fibra discreta)
 16.Orientabilidad y homotopía de los caminos cerrados
  1.Transporte de una orientación a lo largo de un camino
  2.Ejemplos de variedades no orientables
 17.Grupo fundamental
  1.Definición de grupo fundamental
  2.Dependencia del punto inicial
  3.Clases homotópicas libres de aplicaciones de una circunferencia
  4.Equivalencia homotópica
  5.Ejemplos
  6.Grupo fundamental y orientabilidad
 18.Aplicación recubridora y homotopía de recubrimiento
  1.Definición y propiedades fundamentales de una aplicación recubridora
  2.Ejemplos elementales. Recubrimientos universales
  3.Recubrimientos ramificados. Superficies riemannianas
  4.Recubrimientos y grupos de transformaciones discretos
 19.Recubrimientos y grupo fundamental. Cálculo del grupo fundamental de ciertas variedades
  1.Monodromía
  2.Cálculo del grupo fundamental mediante recubrimientos
  3.Grupo homológico elemental
 20.Grupos discretos de movimientos del plano de Lobachevski
5 Grupos homotópicos
 21.Definición de grupos homotópicos absolutos y relativos. Ejemplos
  1.Definiciones fundamentales
  2.Grupos homotópicos relativos. Sucesión exacta de un par
 22.Homotopía de recubrimiento. Grupos homotópicos de recubrimientos y de espacios de lazos
  1.Concepto de fibrado
  2.Sucesión exacta de un fibrado
  3.Dependencia de los grupos homotópicos respecto al punto inicial
  4.Caso de los grupos de Lie
  5.Multiplicación de Whitehead
 23.Resultados de la teoría de los grupos homotópicos de las esferas. Variedades equipadas de campos de referencias normales. Invariante de Hopf
  1.Variedades equipadas y grupos homotópicos de las esferas
  2.Suspensión
  3. Cálculo de los grupos pin+1(Sn)
  4. Grupos pin+2(Sn)
6 Fibrados suaves
 24.Teoría homotópica de los fibrados suaves
  1.Concepto de fibrado suave
  2.Conexión
  3.Cálculo de grupos homotópicos con la ayuda de fibrados
  4.Clasificación de fibrados
  5.Fibrados vectoriales y operaciones definidas sobre ellos
  6.Funciones meromorfas
  7.Fórmula de Picard--Lefschetz
 25.Geometría diferencial de los fibrados
  1.G-conexiones en los fibrados principales
  2.G-conexiones en los fibrados asociados. Ejemplos
  3.Curvatura
  4.Clases características. Construcción
  5.Clases características. Enumeración
 26.Nudos y lazos. Trenzas
  1.Grupo de un nudo
  2.Polinomio de Alexander
  3.Fibrado asociado a un nudo
  4.Lazos
  5.Trenzas
7 Algunos ejemplos de sistemas dinámicos y foliaciones en variedades
 27.Conceptos elementales de la teoría cualitativa de los sistemas dinámicos. Variedades bidimensionales
  1.Definiciones fundamentales
  2.Sistemas dinámicos en el toro
 28.Sistemas hamiltonianos en variedades. Teorema de Liouville. Ejemplos
  1.Sistemas hamiltonianos en fibrados cotangentes
  2.Sistemas hamiltonianos en variedades. Ejemplos
  3.Flujos geodésicos
  4.Teorema de Liouville
  5.Ejemplos
 29.Foliaciones
  1.Definiciones principales
  2.Ejemplos de fibrados de codimensión 1
 30.Problemas variacionales con derivadas de orden superior. Sistemas de campo hamiltonianos
  1.Formalismo de Hamilton para problemas con derivadas de orden superior
  2.Ejemplos
  3.Formalismo de Hamilton de los sistemas de campo
8 Estructura global de las soluciones de los problemas variacionales multidimensionales
 31.Algunas variedades de la teoría general de la relatividad (TGR)
  1.Planteamiento del problema
  2.Soluciones con simetría esférica
  3.Soluciones con simetría axial
  4.Modelos cosmológicos
  5.Modelos de Fridman
  6.Modelos de vacío anisótropo
  7.Modelos más generales
 32.Algunos ejemplos de soluciones globales de las ecuaciones de Yang--Mills. Campos quirales
  1.Observaciones generales. Soluciones de tipo monopolo
  2.La ecuación de dualidad
  3.Campos quirales. Integral de Dirichlet
 33.Condición de mínimo de las subvariedades complejas
Bibliografía
Índice de materias

 
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