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Índice
Prólogo
Este libro ha sido escrito tomando como base el curso "Aplicación de los métodos de la teoría de grupos a los problemas de mecánica cuántica" impartido por los autores en la Facultad de Física de la Universidad de Leningrado a los estudiantes de física teórica de cuarto curso. En la actualidad, esta rama de las matemáticas, la teoría de grupos, es universalmente reconocida por los físicos. El aparato de la teoría de grupos se utiliza ampliamente en muchas partes de la mecánica cuántica (teoría del átomo, teoría del estado sólido, química cuántica, etc.). Los éxitos obtenidos al aplicar la teoría de grupos a la teoría de las partículas elementales dieron un considerable impulso a la utilización de los métodos de la teoría de grupos en las investigaciones físicas y una vez más demostraron que la aplicación de tales métodos es muy adecuada y de gran importancia en la física cuántica. Como se sabe, los principios fundamentales para la utilización del aparato de la teoría de grupos a la lecánica cuántica fueron formulados en los años 30, casi simultáneamente al nacimiento de esta nueva rama de la física. Éstos fueron expuestos en las monografías de E. Wigner [1] y H. Weyl [3]. A la aplicación de la teoría de grupos a la física están dedicados muchos libros de texto y monografías. Especialmente valiosos son aquellos donde la exposición de la teoría de grupos para físicos es llevada a cabo por matemáticos; en primer lugar habría que mencionar el capítulo sobre la teoría de grupos del curso de matemática superior escrito por el académico soviético V. I. Smirnov. Una exposición excelente de las representaciones del grupo de rotaciones y del grupo de Lorentz se tiene en el libro de I. M. Guelfand, R. A. Minlos y Z. Iá. Shapiro [6]. Muy útiles son también las monografías de F. Murnagan [7] y H. Börner [8]. En lo que respecta a las aplicaciones de la teoría de grupos a la física se puede aconsejar al lector que consulte los libros de B. Van der Waerden [2], G. Iá. Lyubarski [4], V. Heine [5], J. Lomont [9], M. Hamermesh [10] y R. McWeeny [11]. En física, el campo de aplicación de la teoría de grupos se amplia constantemente; es, por tanto, poco probable que en la actualidad sea posible escribir una monografía que abarcase todas estas aplicaciones. Parece resultar más lógico incluir las aplicaciones correspondientes de la teoría de grupos en los libros de texto o monografías dedicados a problemas físicos particulares, como se hace, por ejemplo, en el curso de física teórica de Landáu y Lifshits. Cabe esperar que en el futuro esta tendencia vaya en aumento. Por otra parte, para un físico teórico es muy útil formarse una idea general sobre la aplicación a la física de la teoría de grupos y sus métodos. Con la edición de este libro, los autores aspiran a facilitar este fin. Asimismo, los autores consideraron conveniente incluir en este libro una serie de cuestiones que o bien no sd analizan en la bibliografía habitual (o, al menos, en la que estaba a nuestro alcance), o bien su exposición no es lo bastante detallada. Esto se refiere, en primer lugar, a la investigación de las simetrías de la función de onda de Schrödinger, a la explicación de la degeneración complementaria de los niveles de energía en un campo coulombiano y a ciertos problemas de la teoría del estado sólido. En este curso hemos limitado el terreno de aplicación de la teoría de grupos a temas de mecánica cuántica. De este modo, el presente libro se puede considerar como la primera parte de un curso más amplio, cuya segunda parte debería estar dedicada a la aplicación de los métodos de la teoría de grupos a la teoría de campos cuánticos. El libro termina con la exposición de ciertas cuestiones relacionadas con las condiciones de invariancia relativista en la teoría cuántica. La primera edición, en ruso, de este libro vió la luz en el año 1967. La tirada fue de 15 mil ejemplares; un año después, este libro ya se había agotado. Un año más tarde, el libro fue traducido al inglés, francés y alemán. En la revista "Physics Today" apareció un informe con una crítica muy positiva de nuestro libro. Entusiasmados por estos éxitos, mi maestra y coautor, María Ivánovna Petrasheñ, y yo planteamos publicar la segunda edición en ruso, en la cual pretendíamos añadir nuevas secciones. La dura enfermedad y la posterior defunción de María Ivánovna en el año 1977 cambió radicalmente la situación: nuestro plan caería en el olvido durante un largo tiempo. Recientemente acepté la proposición de Editorial URSS (Moscú), que me ofreció la oportunidad de publicar la tan deseada segunda edición rusa de nuestro libro, donde se vería realizado nuestro antiguo plan. La estructura del libro, presentado como primera toma de contacto con el material, permanece intacta. Nos hemos limitado a añadir varias secciones, las cuales son de una importancia fundamental. En particular, apareció una sección dedicada a la clasificación de los grupos puntuales según Weyl, donde el problema de la búsqueda de todos los grupos puntuales se reduce a la resolución de sencillas ecuaciones algebraicas en números enteros. El vacío que se sentía en la primera variante del libro ha sido debidamente eliminado en esta nueva edición: se expone y demuestra el teorema de Wigner-Eckart, de tan gran importancia en las aplicaciones. Mediante este teorema se obtiene la expresión general del elemento matricial de un operador invariante calculado para las funciones base de una representación irreducible. La aplicación del teorema de Wigner-Eckart se ilustra tomando como ejemplo la teoría del efecto Zeeman. Como ya se mencionó, este libro debe ser considerado como una introducción a la aplicación de la teoría de grupos a la mecánica cuántica. Para un estudio más detallado y profundo de estas cuestiones, además de la bibliografía ya indicada se puede recomendar al lector consultar los libros [25]-[41]. Para finalizar, expreso mi más profunda gratitud a M. A. Adamóvich, quien tras la lectura de la primera variante del libro hizo toda una serie de valiosas observaciones, y a A. G. Zhílich e I. B. Levinsón, por el análisis de ciertos capítulos. Agradezco también a A. A. Kisieliov, B. Iá. Friezinski, R. A. Evariéstov, A. A. Bieriezin y G. A. Natanzón, la ayuda en la preparación del manuscrito de la primera edición. Doy las gracias a A. V. Tulub por las observaciones efectuadas respecto a una serie de incorrecciones presentes en la primera edición, y que ya no aparecen en la segunda edición rusa. Agradezco igualmente al redactor científico de la sección de español de Editorial URSS, Viktoria O. Malishenko, cuyas sugerencias hicieron que la traducción al castellano de la segunda edición mejorara al original en ruso. Estas observaciones se verán reflejadas en la tercera edición en ruso, la cual ya se está preparando. Asimismo, agradezco de antemano al lector sus críticas y observaciones. Espero que este libro sea de interés tanto para los que empiezan a estudiar este campo como para los que ya lo dominan.
Ie. D. Trífonov
Los autores
 María Ivánovna PIETRASHEÑ Doctor en Ciencias Físico-Matemáticas (1939). En 1929 concluyó sus estudios en la Facultad de Física y Matemáticas de la Universidad Estatal de Leningrado. Entre 1929 y 1977 ocupó sucesivamente los cargos de profesor asistente, profesor asociado y profesor del Departamento de Física Matemática de dicha universidad. En 1934, bajo la dirección de V. A. Fok, realizó los primeros cálculos de la estructura electrónica de los átomos utilizando el método del campo autoconsistente con intercambio (método de Hartree–Fok). La actividad científica de M. I. Pietrasheñ estuvo relacionada principalmente con la mecánica cuántica y el estudio de la estructura electrónica del estado sólido, en particular, los centros de impurezas en los cristales. En la Facultad de Física de la Universidad de Leningrado, impartió los cursos de matemáticas superiores y un curso especial sobre las aplicaciones de los métodos de la teoría de grupos en la mecánica cuántica.
 Ievgueni Dmítrievich TRÍFONOV Doctor en Ciencias Físico-Matemáticas. Desde 1972 es profesor del Departamento de Física Teórica y Astronomía de la Universidad Estatal Pedagógica «A. I. Guertsen» de Rusia. En 1956 se graduó de la Universidad Estatal de Leningrado, donde estudió en la Facultad de Física. Seguidamente, cursó estudios de posgrado en el Departamento de Física Teórica. En 1961 defendió su tesis de posgrado (asesor científico: M. I. Pietrasheñ). Entre 1959 y 1972 trabajó en el Departamento de Mecánica Cuántica de la Universidad Estatal de Leningrado. En 1972, defendió su tesis de doctorado. Sus intereses científicos están relacionados con la teoría del estado sólido y la óptica cuántica no lineal. En su actividad docente imparte cursos de mecánica cuántica, física estadística, teoría cuántica de la radiación, así como cursos especiales sobre la aplicación de la teoría de grupos en la mecánica cuántica.
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