URSS.ru - Editorial URSS, Moscú - Libros de Ciencia
Página principal Librería on-line Nuestra dirección Escríbanos
LIBROS EN LENGUAS EUROPEAS


 
Regresar a: Catálogo  
Encuadernación Pietrásheñ M.I., Trífonov Ie.D. Teoría de grupos. Aplicación a la mecánica cuántica
Id: 8363
 
25.9 EUR

Teoría de grupos. Aplicación a la mecánica cuántica

URSS. 344 pp. (Spanish). Cartoné. ISBN 5-8360-0046-8.

 Resumen del libro

En este libro se exponen los fundamentos de la teoría de los grupos finitos e infinitos; el uso de la teoría de las representaciones de grupos se ilustra tomando como ejemplo diversas aplicaciones y cuestiones referentes a la mecánica cuántica: teoría de los átomos, química cuántica, teoría del estado sólido y mecánica cuántica relativista.

Asimismo, se analiza una serie de temas que en otras monografías o bien no se estudian o bien se exponen de forma muy superficial. Entre ellas destacan el análisis de la simetría de la función de onda de Schrödinger, la explicación de la degeneración "complementaria" en un campo de Coulomb, y ciertas cuestiones relacionadas con la teoría del estado sólido.

Este libro está pensado principalmente para los estudiantes de física, y será de una gran utilidad para los estudiantes de doctorado y científicos ya formados, tanto físicos como químicos, que deseen estudiar la teoría de grupos para poderla utilizar como un instrumento más en sus investigaciones.


 Índice

Prólogo
1 Introducción
 1.Propiedades de simetría de los sistemas físicos
 2.Definición de grupo
 3.Ejemplos de grupos que se utilizan en la física
 4.Condiciones de invariancia de las ecuaciones de movimiento
2 Grupos abstractos
 1.Desplazamiento en el grupo
 2.Subgrupo
 3.Orden de un elemento
 4.Clases de equivalencia
 5.Elementos conjugados. Clase
 6.Subgrupo invariante (divisor normal)
 7.Grupo cociente
 8.Isomorfismo y homomorfismo de grupos
3 Representaciones de grupos finitos
 1.Definición de representación de un grupo
 2.Ejemplos de representaciones
 3.Representación del grupo de simetría de la ecuación de Schrödinger realizada en las funciones propias de la última
 4.Existencia de una representación unitaria equivalente
 5.Representaciones reducibles e irreducibles de un grupo
 6.Primer lema de Schur
 7.Segundo lema de Schur
 8.Relación de ortogonalidad para los elementos matriciales de representaciones irreducibles
 9.Carácter de una representación
 10.Representación regular
 11.Número de representaciones irreducibles
 12.Cálculo de los caracteres de las representaciones irreducibles
4 Composición de representaciones y producto directo de grupos
 1.Producto directo de matrices
 2.Composición de representaciones de un grupo
 3.Producto directo de grupos
 4.Representaciones irreducibles del producto directo de grupos
5 Teorema de Wigner
 1.Simetría de un sistema mecanocuántico respecto a un grupo de transformaciones
 2.Simetría de un sistema de partículas que efectúan oscilaciones pequeñas
 3.Teorema de Wigner
6 Grupos puntuales
 1.Elementos de los grupos puntuales
 2.Clasificación de los grupos puntuales
 3.Grupos puntuales y sus representaciones irreducibles
 4.Clasificación de las oscilaciones normales y de los estados electrónicos de una molécula
7 Descomposición de una representación reducible en irreducibles
 1.Construcción de bases de las representaciones irreducibles
 2.Determinación de los desplazamientos simetrizados de los núcleos de una molécula
 3.Método de la combinación lineal de las órbitas atómicas
8 Grupos espaciales y sus representaciones irreducibles
 1.Subgrupo de traslaciones
 2.Singonías
 3.Elemento general de un grupo espacial
 4.Representaciones irreducibles del grupo de traslaciones
 5.Estrella de un vector k
 6.Grupo de un vector k
 7.Representaciones irreducibles de los grupos espaciales
 8.Representaciones irreducibles del grupo de un vector k
 9.Ejemplo
 10.Representaciones irreducibles de los grupos espaciales que contienen traslaciones impropias
9 Clasificación de los estados oscilatorios y electrónicos de un cristal
 1.Clasificación de las oscilaciones normales
 2.Clasificación de los estados electrónicos de un cristal
 3.Aproximación monoelectrónica
10 Grupos continuos
 1.Grupos continuos de transformaciones lineales
 2.Propiedades generales de los grupos de Lie
 3.Transformaciones infinitesimales y leyes de conservación
 4.Grupo de rotaciones bidimensionales O+(2)
 5.Grupo de rotaciones tridimensionales O+(3)
11 Representaciones irreducibles del grupo de rotaciones tridimensionales
 1.Matrices infinitesimales de las representaciones del grupo O+(3)
 2.Representaciones irreducibles del grupo O+(3)
 3.Representaciones bivaluadas
 4.Descomposición de una representación arbitraria del grupo O+(3) en representaciones irreducibles
 5.Representaciones irreducibles del grupo ortogonal O(3)
12 Propiedades de las representaciones irreducibles del grupo de rotaciones
 1.Funciones esféricas como bases de las representaciones irreducibles del grupo O+(3)
 2.Composición de las representaciones irreducibles del grupo O+(3)
 3.Representaciones tensoriales y espinoriales del grupo de rotaciones
 4.Representaciones complejo-conjugadas
13 Ciertas aplicaciones de la teoría de las representaciones del grupo de rotaciones a los problemas mecanocuánticos
 1.Partícula en un campo central. Momento angular orbital
 2.Regla de adición de los momentos angulares
 3.Espín
 4.Teorema de Kramers
 5.Teorema de Wigner-Eckart
14 Degeneración complementaria de los niveles en ciertos campos con simetría esférica
 1.Degeneración complementaria
 2.Relación con la mecánica clásica
 3.Grupo de simetría del átomo de hidrógeno
 4.Grupo de simetría de un oscilador isótropo
15 Grupo de permutaciones
 1.Descripción mecanocuántica de un sistema de partículas idénticas
 2.Grupo de permutaciones de n símbolos
 3.Representaciones irreducibles del grupo Sn
16 Potencias simetrizadas de las representaciones
 1.Vectores y tensores en el espacio n-dimensional
 2.Matrices de las permutaciones de índices tensoriales
 3.Relación entre las representaciones de los grupos Sn y G realizadas en un espacio tensorial
 4.Caracteres de las potencias simetrizadas de una representación
17 Propiedades de simetría de las funciones de onda multielectrónicas
 1.Planteamiento del problema
 2.Propiedades de simetría de la función de onda de espín
 3.Relación entre las simetrías de las funciones de onda espaciales y las de espín
 4.Propiedades de simetría de las funciones de onda espaciales
18 Propiedades de simetría de las funciones de onda de un sistema de partículas idénticas de espín arbitrario
 1.Planteamiento del problema
 2.Teorema de Frobenius
 3.Concepto de s-tensor
 4.Peso estadístico de un nivel de energía
 5.Valores propios del operador espín total
19 Clasificación de los estados de un átomo multielectrónico
 1.Configuración
 2.Términos
 3.Correspondencia entre configuraciones y términos
 4.Interacción espín-órbita
20 Aplicación de la teoría de grupos en los problemas relacionados con la teoría de perturbaciones
 1.Desdoblamiento de los niveles de energía bajo la influencia de una perturbación
 2.Funciones regulares de la aproximación de orden cero
 3.Átomo sometido a un campo magnético o eléctrico homogéneo
 4.Átomo en un campo cristalino
21 Reglas de selección
 1.Formulación general de las reglas de selección
 2.Reglas de selección para la absorción y emisión de la luz
 3.Reglas de selección para el efecto Raman
 4.Elementos matriciales construidos entre las funciones de una misma base
 5.Teorema de Iahn-Teller
22 Grupo de Lorentz y sus representaciones irreducibles
 1.Grupo general de Lorentz
 2.Relación entre el grupo de Lorentz y el grupo de rotaciones tetradimensionales
 3.Relaciones de conmutación para las matrices infinitesimales
 4.Representaciones irreducibles
 5.Producto directo de las representaciones irreducibles del grupo de Lorentz
23 Ecuación de Dirac
 1.Ecuaciones invariantes relativistas
 2.Ecuación de Dirac
 3.Biespinor complejo-conjugado de Dirac
 4.Forma cuadrática invariante
Apéndice. Indicaciones para la resolución de los problemas
Bibliografía
Índice de materias

 Prólogo

Este libro ha sido escrito tomando como base el curso "Aplicación de los métodos de la teoría de grupos a los problemas de mecánica cuántica" impartido por los autores en la Facultad de Física de la Universidad de Leningrado a los estudiantes de física teórica de cuarto curso.

En la actualidad, esta rama de las matemáticas, la teoría de grupos, es universalmente reconocida por los físicos. El aparato de la teoría de grupos se utiliza ampliamente en muchas partes de la mecánica cuántica (teoría del átomo, teoría del estado sólido, química cuántica, etc.). Los éxitos obtenidos al aplicar la teoría de grupos a la teoría de las partículas elementales dieron un considerable impulso a la utilización de los métodos de la teoría de grupos en las investigaciones físicas y una vez más demostraron que la aplicación de tales métodos es muy adecuada y de gran importancia en la física cuántica.

Como se sabe, los principios fundamentales para la utilización del aparato de la teoría de grupos a la mecánica cuántica fueron formulados en los años 30, casi simultáneamente al nacimiento de esta nueva rama de la física. Éstos fueron expuestos en las monografías de E. Wigner [1] y H. Weyl [3].

A la aplicación de la teoría de grupos a la física están dedicados muchos libros de texto y monografías. Especialmente valiosos son aquellos donde la exposición de la teoría de grupos para físicos es llevada a cabo por matemáticos; en primer lugar habría que mencionar el capítulo sobre la teoría de grupos del curso de matemática superior escrito por el académico soviético V. I. Smirnov. Una exposición excelente de las representaciones del grupo de rotaciones y del grupo de Lorentz se tiene en el libro de I. M. Guelfand, R. A. Minlos y Z. Iá. Shapiro [6]. Muy útiles son también las monografías de F. Murnagan [7] y H. Börner [8]. En lo que respecta a las aplicaciones de la teoría de grupos a la física se puede aconsejar al lector que consulte los libros de B. Van der Waerden [2], G. Iá. Lyubarski [4], V. Heine [5], J. Lomont [9], M. Hamermesh [10] y R. McWeeny [11].

En física, el campo de aplicación de la teoría de grupos se amplia constantemente; es, por tanto, poco probable que en la actualidad sea posible escribir una monografía que abarcase todas estas aplicaciones. Parece resultar más lógico incluir las aplicaciones correspondientes de la teoría de grupos en los libros de texto o monografías dedicados a problemas físicos particulares, como se hace, por ejemplo, en el curso de física teórica de Landáu y Lifshits. Cabe esperar que en el futuro esta tendencia vaya en aumento.

Por otra parte, para un físico teórico es muy útil formarse una idea general sobre la aplicación a la física de la teoría de grupos y sus métodos. Con la edición de este libro, los autores aspiran a facilitar este fin. Asimismo, los autores consideraron conveniente incluir en este libro una serie de cuestiones que o bien no se analizan en la bibliografía habitual (o, al menos, en la que estaba a nuestro alcance), o bien su exposición no es lo bastante detallada. Esto se refiere, en primer lugar, a la investigación de las simetrías de la función de onda de Schrödinger, a la explicación de la degeneración complementaria de los niveles de energía en un campo coulombiano y a ciertos problemas de la teoría del estado sólido.

En este curso hemos limitado el terreno de aplicación de la teoría de grupos a temas de mecánica cuántica. De este modo, el presente libro se puede considerar como la primera parte de un curso más amplio, cuya segunda parte debería estar dedicada a la aplicación de los métodos de la teoría de grupos a la teoría de campos cuánticos. El libro termina con la exposición de ciertas cuestiones relacionadas con las condiciones de invariancia relativista en la teoría cuántica.

La primera edición, en ruso, de este libro vió la luz en el año 1967. La tirada fue de 15 mil ejemplares; un año después, este libro ya se había agotado. Un año más tarde, el libro fue traducido al inglés, francés y alemán. En la revista "Physics Today" apareció un informe con una crítica muy positiva de nuestro libro. Entusiasmados por estos éxitos, mi maestra y coautor, María Ivánovna Petrasheñ, y yo planteamos publicar la segunda edición en ruso, en la cual pretendíamos añadir nuevas secciones. La dura enfermedad y la posterior defunción de María Ivánovna en el año 1977 cambió radicalmente la situación: nuestro plan caería en el olvido durante un largo tiempo.

Recientemente acepté la proposición de Editorial URSS (Moscú), que me ofreció la oportunidad de publicar la tan deseada segunda edición rusa de nuestro libro, donde se vería realizado nuestro antiguo plan. La estructura del libro, presentado como primera toma de contacto con el material, permanece intacta. Nos hemos limitado a añadir varias secciones, las cuales son de una importancia fundamental. En particular, apareció una sección dedicada a la clasificación de los grupos puntuales según Weyl, donde el problema de la búsqueda de todos los grupos puntuales se reduce a la resolución de sencillas ecuaciones algebraicas en números enteros. El vacío que se sentía en la primera variante del libro ha sido debidamente eliminado en esta nueva edición: se expone y demuestra el teorema de Wigner-Eckart, de tan gran importancia en las aplicaciones. Mediante este teorema se obtiene la expresión general del elemento matricial de un operador invariante calculado para las funciones base de una representación irreducible. La aplicación del teorema de Wigner-Eckart se ilustra tomando como ejemplo la teoría del efecto Zeeman.

Como ya se mencionó, este libro debe ser considerado como una introducción a la aplicación de la teoría de grupos a la mecánica cuántica. Para un estudio más detallado y profundo de estas cuestiones, además de la bibliografía ya indicada se puede recomendar al lector consultar los libros [25]-[41].

Para finalizar, expreso mi más profunda gratitud a M. A. Adamóvich, quien tras la lectura de la primera variante del libro hizo toda una serie de valiosas observaciones, y a A. G. Zhílich e I. B. Levinsón, por el análisis de ciertos capítulos. Agradezco también a A. A. Kisieliov, B. Iá. Friezinski, R. A. Evariéstov, A. A. Bieriezin y G. A. Natanzón, la ayuda en la preparación del manuscrito de la primera edición. Doy las gracias a A. V. Tulub por las observaciones efectuadas respecto a una serie de incorrecciones presentes en la primera edición, y que ya no aparecen en la segunda edición rusa. Agradezco igualmente al redactor científico de la sección de español de Editorial URSS, Viktoria O. Malishenko, cuyas sugerencias hicieron que la traducción al castellano de la segunda edición mejorara al original en ruso. Estas observaciones se verán reflejadas en la tercera edición en ruso, la cual ya se está preparando. Asimismo, agradezco de antemano al lector sus críticas y observaciones.

Espero que este libro sea de interés tanto para los que empiezan a estudiar este campo como para los que ya lo dominan.

Ie. D. Trífonov

 
© Editorial URSS 2016.