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Prefacio
 Prefacio En el presente Curso de análisis matemático se exponen tanto los métodos clásicos tradicionales, como los modernos que han surgido en el transcurso de las últimas décadas. Los números reales se introducen axiomáticamente. Este camino permite exponer la información sobre los números, imprescindible para el análisis, en una forma más completa y compacta. Al mismo tiempo, dicho camino parece ser más perfecto desde el punto de vista lógico, pues, al recurrir a otros métodos de construcción de la teoría de números reales que se llaman corrientemente "constructivos" (cuando por base se toman fracciones decimales infinitas o secciones en el dominio de números racionales, o bien las clases de sucesiones fundamentales equivalentes de números racionales), de todas formas resulta necesario introducir el axioma de existencia (no contradicción) de un conjunto de números reales, en ausencia de. los cuales las construcciones que se realizan están privadas de una terminación lógica. Por eso es más fácil, partiendo de la definición axiomática de los números reales, pasar en seguida al estudio del análisis matemático en el sentido propio de la palabra. La exposición del material en el Curso se efectúa, en lo fundamental, sobre la base del método deductivo: todos los conceptos introducidos se estudian al principio, cuando sea posible, en las situaciones más simples y sólo después de haberse realizado su consideración detallada, sigue la generalización ulterior. Así, por ejemplo, el concepto de limite se estudia primeramente para las sucesiones numéricas y después, para las funciones de una sola variable, a continuación se introduce el concepto de limite según un conjunto en el espacio euclideo, el de limite de las sumas integrales y, por Un, todo termina con la consideración de la noción general de limite según un filtro en un espacio topológico. Los teoremas a demostrar no siempre se enuncian con la generalización máxima; a veces, con el fin de aclarar mejor la esencia de un problema que se considera, como también la idea de la demostración, la consideración se realiza sólo para las fundones suficientemente suaves. Tal punto de vista se justifica también por lo que, debido a la densidad de las funciones suaves en los espacios funcionales correspondientes, varios teoremas demostrados para estas fundones pueden extenderse, mediante un procedimiento único, consistente en el paso limite, a clases más amplias de fundones. Lamentablemente, esta idea no puede ser realizada hasta el fin sin que aumente considerablemente el volumen del libro, a consecuencia de lo cual la cuestión acerca de la densidad de las funciones "buenas" en diversos espacios funcionales se ha considerado en el Curso sólo para los casos más sencillos. Una gran atención se presta en el libro a la resolución de problemas con ayuda de procedimientos bas`dos en la teoría que se expone. Además, se recomiendan al lector, a titulo de trabajo individual, toda una serie de ejercicios y problemas. La re-solución de problemas es muy útil para la asimilación activa del análisis matemático. No obstante, el surtido de los mismos, en lo que se refiere a su volumen, no puede sustituir ni mucho menos una recopilación de problemas. Algunos de los problemas ofrecidos son bastante difíciles. La resolución de éstos no es necesaria para dominar el material, exigiendo, sin embargo, mucho tiempo. Están asociados, por regla general, con hechos matemáticos interesantes y suficientemente profundos, para cuya exposición detallada faltaría lugar en el libro. La numeración de los ejercicios en el libro viene por separado en cada párrafo; la de los problemas, lo mismo que la de las figuras, es continua. La exposición del análisis matemático se lleva a cabo a un nivel accesible para un amplio circulo de estudiantes. Las cuestiones que no integran los programas de matemáticas superiores para las especialidades de ingeniería y están dedicadas a un estudio más profundo de aquellos apartados del análisis que son indispensables para los estudiantes de las especialidades físico-matemáticas, se marcan con un asterisco. Gracias a esto, el manual puede utilizarse en los centros de enseñanza superior de distinto nivel de educación matemática. Una parte considerable del material reflejado en el libro se viene leyendo por el autor durante varios años en el Instituto físico-técnico de Moscú como un curso de conferencias del análisis matemático. Especialmente para esta edición del manual en lengua española, el autor escribió de nuevo algunos de sus apartados. Esto se refiere, ante todo, a la exposición de la teoría de números reales, la de limite de las fundones y la teoría de integración de las funciones de una sola variable. La introducción de unas concepciones más generales en la teoría del limite e integración de las fundones hizo posible poner al lector al tanto de los problemas en consideración sin perjudicar la claridad, evidencia y sencillez de la exposición. Autor |