Kubyshin Yu.A., Volobúev Н.P. Geometría diferencial y álgebras de Lie y sus aplicaciones en la teoría de campos

Índice

Notas a la edición en español

Recientes avances, nuevos métodos e ingeniosas ideas en la teoría de interacciones fundamentales han impulsado un amplio uso de técnicas basadas en la geometría diferencial, topología, álgebras y grupos de Lie. Consideramos, por tanto, que el tema del libro sigue siendo de actualidad, lo que nos permite esperar que la edición del libro en español sea de utilidad e interés para los estudiantes e investigadores de países de lengua española que trabajan en la teoría de campos, física de altas energías, modelos de interacciones fundamentales y otras áreas relacionadas con éstas, o que simplemente quieren introducirse en los métodos de la geometría diferencial y de las álgebras de Lie.

Durante la redacción de la edición en español se han hecho algunos cambios y correcciones que hacen la exposición más clara. Muchos de éstos han sido sugeridos por lectores de la edición rusa, sobre todo por Sergei Murzin, y estamos en deuda con todos ellos por haber mejorado la edición para beneficio del lector.

Asimismo, queremos agradecer al Dr. Josep Aroca, Dr. Amadeo Delshams, Dr. Juan Morales-Ruiz, Dr. Manuel Sevilla y Dr. Sebasti\`a Xambó, profesores de la Universidad Politécnica de Cataluña (Barcelona), su ayuda en la traducción de términos y sus comentarios que nos han permitido mejorar sensiblemente el texto.

También agradecemos mucho el trabajo de nuestro traductor y nuestra redactora y nos sentimos complacidos y honrados por la traducción de nuestro libro a la lengua española.

Prólogo

"La relación entre la matemática pura y la física es cada vez más estrecha, aunque sus métodos siguen siendo diferentes. Se puede decir que el matemático juega a un juego en el cual él mismo inventa las reglas, mientras que el físico juega a un juego cuyas reglas son elegidas por la Naturaleza; no obstante, con el transcurso del tiempo se hace más evidente que las reglas que el matemático encuentra interesantes coinciden con las que eligió la Naturaleza. Es difícil predecir el resultado de todo eso. Es posible que, al fin y al cabo, ambas disciplinas se mezclen y cada rama de la matemática pura tenga sus aplicaciones físicas, en tanto que su importancia en la física será proporcional al interés que represente en la matemática." Parece que esta predicción de Dirac comienza a cumplirse, al menos en lo concerniente a la geometría diferencial y las teorías de campos de gauge.

Efectivamente, la confirmación experimental de la teoría unificada de las interacciones electrodébiles de Weinberg–Salam–Glashow, especialmente el descubrimiento de los bosones vectoriales intermedios, y los éxitos de la cromodinámica cuántica, la cual describe, por lo menos sin contradicciones, las interacciones fuertes, son una razón bastante sólida para suponer que en la base de la teoría de las interacciones de las partículas elementales descansa el principio físico fundamental de invariancia de gauge local. El modelo estándar de interacciones de las partículas elementales basado en este principio, y que incluye la teoría de las interacciones electrodébiles y la cromodinámica cuántica, en la actualidad concuerda prácticamente con todos los datos experimentales disponibles, y su aplicación consecuente permite salir del marco de este modelo y avanzar considerablemente en el programa de unificación de todos los tipos de interacciones en una interacción universal mediante la construcción de teorías de gauge unificadas.

El aparato de la teoría cuántica de campos existente, basado en la teoría de perturbaciones, es suficiente, en principio, para calcular los procesos físicos que se observan y se observarán en el futuro inmediato en los experimentos de la física de altas energías. Sin embargo, es bien sabido que las teorías de gauge poseen numerosas estructuras cuyo estudio requiere ir más allá del marco de la teoría de perturbaciones. A dichas estructuras pertenecen las soluciones tipo instantón y tipo monopolo, la estructura compleja del vacío, los modelos topológicos y los modelos de Chern–Simons, es decir, prácticamente todos los fenómenos donde se manifiesta la naturaleza geométrica y topológica de las teorías de gauge.

Como era de esperar, para el estudio de este aspecto de las teorías de gauge era necesaria la aplicación de un nuevo aparato matemático, el cual ya estaba elaborado o en proceso de elaboración. Las partes fundamentales de este aparato incluyen la geometría diferencial (en primer lugar, la teoría de fibrados y la teoría de conexiones), la topología algebraica, y la teoría de grupos y álgebras de Lie. La geometrización de las teorías de gauge se produjo de forma natural y permitió, en primer lugar, comprender con mayor profundidad hechos ya conocidos (por ejemplo, la noÍunivocidad de Gríbov) y, en segundo lugar, descubrir toda una serie de propiedades y fenómenos totalmente nuevos (la estructura del vacío, la estructura del espacio de módulos de las soluciones tipo instantón, la interpretación de la teoría de Donaldson–Floer como una teoría cuántica topológica, las conexiones invariantes, etcétera).

El objetivo del presente libro es, primero que todo, dar a conocer a los estudiantes de la especialidad de física teórica y a los especialistas que trabajan en esta rama, los fundamentos del aparato matemático de la geometría diferencial y de la teoría de álgebras de Lie finitas. Según la opinión, que los autores también comparten, de muchos profesores universitarios, el contenido básico de estos apartados de la matemática hace mucho tiempo que debería formar parte de los cursos obligatorios de "Métodos matemáticos de la física teórica moderna". Dado que en la mayoría de las facultades de física tales cursos no existen, o bien se limitan a la exposición de la teoría de grupos de Lie finitos, al escribir este libro se ha intentado llenar parcialmente este vació. En segundo lugar –y esto tiene relación directa con el tema principal del libro– se ha planteado el objetivo de hacer una introducción a la descripción geométrica de las teorías de gauge en el lenguaje de fibrados y conexiones.

Al elegir el material no se pretendió abarcar todos los resultados clásicos fundamentales de la geometría diferencial. Para ello, en la actualidad existen numerosas monografías y libros de texto, algunos de los cuales están escritos especialmente para físicos. Se ha procurado esbozar y exponer claramente el mínimo necesario para comprender el enfoque geométrico de descripción de las teorías de gauge. Al mismo tiempo, éste es el mínimo necesario para orientarse en la bibliografía sobre geometría diferencial y teoría de las álgebras de Lie.

La estructura del libro es la siguiente. El capítulo 1 tiene carácter introductorio, en él se dan las definiciones y conceptos fundamentales que surgen en los modelos de gauge, concretamente, en la teoría electrodébil y en la cromodinámica. Los capítulos 2, 3 y 5 contienen material matemático. Los capítulos 2 y 3 están destinados a la exposición de los resultados fundamentales de la geometría diferencial; en el capítulo 5 se expone el concepto de sistema de raíces de un álgebra de Lie finita y la teoría de los diagramas de Dynkin de las álgebras de Lie semisimples. En los capítulos restantes se estudian las aplicaciones de este aparato matemático a un conjunto de problemas de la teoría de campos y de la gravitación. En el capítulo 4 se presenta un enfoque geométrico de descripción de las teorías de gauge. En los capítulos 6 y 7 se estudian las aplicaciones de dicho enfoque a la resolución de los problemas de reducción dimensional de campos de gauge y a la compactificación espontánea. La elección de estas aplicaciones es bastante subjetiva: los autores investigaron dichos problemas durante varios años. Al mismo tiempo, tales aplicaciones permiten, en primer lugar, demostrar las numerosas ventajas y el poder del enfoque geométrico y, en segundo lugar, al igual que la propia idea de Kaluza y Klein, siguen siendo importantes en la construcción de modelos de las interacciones fundamentales.

En este libro se ha intentado hallar un estilo intermedio de exposición del material, entre el estilo matemático riguroso y el adoptado en la física, en el cual los temas difíciles se hacen comprensibles y se acompañan de ejemplos ilustrativos claros. Se mantiene el rigor en las definiciones y formulaciones de los teoremas, pero se acude a las demostraciones de los teoremas sólo en los casos cuando ello se puede hacer de manera clara y breve sin utilizar una gran cantidad de material suplementario, o cuando las demostraciones son necesarias para comprender el material. En caso contrario, se aclara la idea de la demostración mediante ejemplos típicos o, simplemente, se hacen referencias a los libros donde se exponen las demostraciones correspondientes. Algunos cálculos intermedios bastante simples, omitidos en el texto principal, se ofrecen al lector al final de cada capítulo en calidad de problemas propuestos. La elección de las aplicaciones físicas mencionadas anteriormente está influenciada por el estilo de exposición adoptado. Dichas aplicaciones tienen, más bien, el carácter de ejemplos ilustrativos y no pretenden ser la última palabra sobre las aplicaciones de los métodos matemáticos en las teorías de gauge. Este libro contiene también varios apéndices que lo hacen bastante completo. En ellos se enuncian algunas definiciones y se presenta un material breve que no está relacionado ni con la geometría diferencial, ni con la teoría de las álgebras de Lie, pero que se utiliza en el libro.

La mayor parte del libro se basa en el programa para estudiantes de IV curso, impartido por los autores durante varios años en el Departamento de estadística cuántica y teoría de campos de la Facultad de Física de la Universidad Estatal de Moscú "M.V.Lomonósov". Los autores están sumamente agradecidos a todos los estudiantes, pues sus preguntas contribuyeron a mejorar la exposición del material. También quisieran agradecer a sus amigos y coautores de muchos artículos, Gerd Rudolph y José Manuel Mour\ ao, las numerosas, agradables y productivas discusiones sobre cuestiones que encontraron reflejo en el libro. Los autores también manifiestan su agradecimiento a la dirección de la Sección de física teórica de altas energías del Instituto de Investigaciones Científicas en física nuclear de la Universidad Estatal de Moscú, por la atención prestada y el apoyo durante el trabajo con el libro y su edición. Uno de los autores (Yu.K.) quisiera expresar su agradecimiento a su familia por la comprensión, paciencia y apoyo moral que le brindaron en su largo trabajo con este libro.

Autores

Doctor en ciencias físico-matemáticas por la Universidad Estatal "M. V. Lomonósov" de Moscú. Desde 1981 colabora con el Instituto de Física Nuclear "D. B. Skobeltsyn" de la Universidad de Moscú, donde realiza investigaciones en el campo de la teoría de partículas elementales. Desde 2001 ejerce en la Universidad Politécnica de Cataluña como profesor de física de partículas y de aceleradores en el Instituto de Técnicas Energéticas de esta universidad. Fue Profesor visitante en la Universidad de Barcelona en 1992-1995, en la Universidad Autónoma de Madrid en 1995-1996, en la Universidad de Algarve (Portugal) en 1997-1999 y en la Universidad de Southampton (Inglaterra) en 2000-2001. Sus principales áreas de investigación son la teoría de partículas y, más recientemente, la física de aceleradores. Ha desarrollado e impartido cursos de geometría diferencial y álgebras de Lie, teoría cuántica de campos y física de aceleradores para estudiantes de licenciatura y posgrado.

Es autor de más de 80 artículos, que han sido publicados en revistas y en protocolos de diferentes conferencias de física matemática, teoría cuántica de campos, física de altas energías y cosmología.

Es coautor, junto con Н. P. Volobúev y otros, de la monografía "Dimensional reduction of gauge theories, spontaneous compactification and model building" (Springer-Verlag, 1989).

Ígor Pávlovich Volobúev

Doctor en ciencias físico-matemáticas por la Universidad Estatal "M. V. Lomonósov" de Moscú. El Doctor Volobúev es uno de los especialistas más cualificados del Departamento de física de altas energías del Instituto de Física Nuclear "D. B. Skobeltsyn" de la Universidad de Moscú.

Su interés científico fundamental es la teoría de interacción de partículas elementales en el espacio-tiempo con dimensiones complementarias. En una serie de sus trabajos fueron desarrollados diferentes métodos de búsqueda de soluciones de compactificación espontánea en las teorías de Einstein–Yang–Mills, basados en la reducción dimensional de campos de gauge simétricos, lo que permitió construir consecuentemente modelos de interacción de partículas elementales en el espacio-tiempo con dimensiones complementarias. Algunos de sus trabajos están dedicados al estudio del modelo de Randall-Sundrum con dos branes. En estos trabajos por primera vez fueron hallados explícitamente los grados de libertad físicos de este modelo y se demostró que la dimensión complementaria puede ser del orden del TeV^–4.

Es autor de más de 70 trabajos científicos, entre ellos dos monografías.