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Encuadernación Pontriaguin L.S. Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones
Id: 38806
 
13.9 EUR

Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones

URSS. 256 pp. (Spanish). Rústica. ISBN 978-5-484-01048-6.

 Resumen del libro

El libro que se ofrece al lector fue escrito por el eminente matemático soviético L. S. Pontriaguin (1908--1988) y forma parte de la serie titulada "Primera Cita con la Matemática Superior", que fue ideada por el autor con el fin de que los jóvenes se familiaricen con la matemática superior ya antes de ingresar en la universidad.

En el presente libro de la serie se expone la teoría de las ecuaciones diferenciales, haciéndose hincapié en las ecuaciones lineales con coeficientes constantes y su aplicación en la teoría de circuitos eléctricos. Se consideran también los sistemas autónomos, sus posiciones de equilibrio y sus ciclos límites.

Se recomienda a los estudiantes de institutos preuniversitarios que se interesan por la matemática, así como a los estudiantes de los primeros cursos de los centros de enseñanza superior. Puede ser de interés para los profesores de enseñanza media y superior.


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"La atención del lector debe estar dirigida no a refinamientos teóricos como, por ejemplo, la teoría de conjuntos o la teoría de límites, sino a los resultados matemáticos principales que se forjaron en el transcurso de milenios".

Académico AC URSS L. S. Pontriaguin

"Los libros reflejarán mis preferencias y mi punto de vista personal sobre la matemática formados en el transcurso de muchos años de trabajo. Además, tendrán en cuenta mis propios recuerdos sobre las posibilidades de percepción de los jóvenes, a fin de que las nuevas generaciones, a partir ya de los últimos cursos de la escuela, puedan familiarizarse con la matemática superior, y adquirir desde un principio un gusto sano y correcto respecto a la misma".


 Índice

Prólogo
1 Introducción
 1.1.Ecuaciones diferenciales de primer orden
 1.2.Teorema general de existencia y unicidad
 1.3.Reducción de un sistema general de ecuaciones diferenciales a un sistema normal
2 Ecuaciones diferenciales lineales
 2.1.Demostración del teorema de existencia y unicidad para un sistema normal de ecuaciones diferenciales lineales
 2.2.Sistema normal de ecuaciones diferenciales lineales
 2.3.Ecuación lineal de orden $n$
3 Ecuaciones lineales con coeficientes constantes
 3.1.Ecuaciones diferenciales complejas
 3.2.Ecuaciones homogéneas lineales con coeficientes constantes (caso de raíces simples)
 3.3.Ecuaciones homogéneas lineales con coeficientes constantes (caso de raíces múltiples)
 3.4.Polinomios estables
 3.5.Ecuaciones lineales no-homogéneas con coeficientes constantes
 3.6.Método de eliminación
 3.7.Método de amplitudes complejas
 3.8.Circuitos eléctricos
4 Estabilidad
 4.1.Sistemas autónomos de ecuaciones diferenciales y sus espacios de fase
 4.2.Teorema de Liapunov
 4.3.Ciclos límites
 4.4.Criterio de existencia de un ciclo límite
 4.5.Generadores de tubo de vacío
 4.6.Regulador centrífugo (investigaciones de Vyshnegradski)
Índice de materias

 Prólogo

La obra que el lector tiene en sus manos forma parte de la serie "Primera cita con la Matemática Superior", ideada por el eminente matemático soviético Liev Semiónovich Pontriaguin (1908--1988). El objetivo que esta serie persigue está resumido en las siguientes palabras de su autor: "Estos libros están dedicados al estudio de los resultados más importantes de la matemática superior clásica. La elección del material y el orden en que éste se imparte no corresponden a ningún programa de estudios. Los libros reflejarán mis preferencias y mi punto de vista personal sobre la matemática formados en el transcurso de muchos años de trabajo. Además, tendrán en cuenta mis propios recuerdos sobre las posibilidades de percepción de los jóvenes, a fin de que las nuevas generaciones, a partir ya de los últimos cursos de la escuela, puedan familiarizarse con la matemática superior, y adquirir desde un principio un gusto sano y correcto respecto a la misma. La atención del lector debe estar dirigida no a refinamientos teóricos como, por ejemplo, la teoría de conjuntos o la teoría de límites, sino a los resultados matemáticos principales que se formaron en el transcurso de milenios".

El presente libro constituye una adaptación del libro de texto de Liev Pontriaguin Obiknovennie differentsialnie uravneniya (Ecuaciones diferenciales ordinarias). Moscú: Nauka, 1982. El material se ha abreviado y simplificado sustancialmente, pero se han conservado todas las aplicaciones prácticas de las ecuaciones diferenciales ordinarias que se consideran en el trabajo mencionado.

La primera de las aplicaciones, los circuitos eléctricos, es tratada en el capítulo 3, sección 3.8. Aquí se introducen las leyes de Kirchhoff y se dan las reglas del paso de la corriente eléctrica por los dipolos elementales: la resistencia, la inductancia, la capacidad. Sobre esta base se analizan algunos aparatos de valor práctico: el transformador y los filtros de frecuencias.

A continuación se analiza el funcionamiento del generador de tubo de vacío (capítulo 4, sección 4.5), que es una fuente de oscilaciones eléctricas periódicas no-amortiguadas. Se establece la relación entre estas oscilaciones y el ciclo límite de Poincaré. En el pasado, se hicieron numerosos intentos de explicar las oscilaciones eléctricas con ayuda de la teoría lineal, lo que, naturalmente, resultó imposible. El mérito de haber descubierto la relación entre los ciclos límites de Poincaré y las oscilaciones eléctricas no-amortiguadas pertenece a Alexandr Alexándrovich Andrónov.

Finalmente, se estudia la teoría del regulador de Watt elaborada por Vyshnegradski (capítulo 4, sección 4.6). El regulador de Watt apareció junto con la máquina de vapor y tenía como objetivo mantener el funcionamiento de la misma a una velocidad constante. El regulador de Watt reduce el suministro de vapor cuando la velocidad de funcionamiento de la máquina crece, y lo aumenta cuando la velocidad decrece, estabilizando de esta manera la misma. Hasta mediados del siglo XIX el regulador de Watt cumplió exitosamente su tarea, pero a partir de entonces la situación cambió. En lugar de estabilizar la velocidad, él hacía que ésta comenzara a oscilar. Muchos especialistas trataron de establecer la causa de este fenómeno, aunque sin éxito. Este problema fue resuelto en el trabajo de Vyshnegradski, eminente ingeniero ruso (que también fue ministro de finanzas). Él creó un modelo matemático del regulador de Watt que le permitió esclarecer la causa de los errores en su funcionamiento y dar recomendaciones para excluir los mismos: era suficiente aumentar el rozamiento en el regulador de Watt para eliminar la inestabilidad de su funcionamiento.


 Autor

Liev Semiónovich Pontriaguin (1908--1988)

Eminente matemático soviético, miembro de la Academia de Ciencias de la URSS (AC URSS) y miembro honorífico de la Academia de Ciencias de Hungría, Héroe del Trabajo Socialista (1969), tres veces Laureado con el Premio Lenin, dos veces con el Premio Estatal de la URSS, con el Premio Internacional "Lobachevski" y con la orden de la "Revolución de Octubre", entre otras medallas y órdenes. Liev Semiónovich Pontriaguin nació el 3 de septiembre de 1908 en Moscú. A la edad de 14 años perdió la vista en un accidente. En 1929 finalizó sus estudios en la Universidad Estatal de Moscú "M. V. Lomonósov", donde trabajó desde 1930 y recibió en 1935 el grado científico de Doctor en Ciencias Físico-Matemáticas y el grado académico de Profesor. A partir de 1939 ocupó paralelamente el cargo de jefe de la sección de ecuaciones diferenciales ordinarias del Instituto de Matemática "V. A. Steklov" de la AC URSS.

L. S. Pontriaguin es una de las cimas de la matemática del siglo XX. Sus trabajos fueron especialmente relevantes en los campos de la teoría de las ecuaciones diferenciales, la topología, la teoría de oscilaciones, la teoría de control, el cálculo variacional y el álgebra.

En topología el autor descubrió la ley general de dualidad, en relación con la cual construyó la teoría de caracteres de los grupos continuos. Asimismo, obtuvo una serie de resultados importantes en la teoría de homotopías (clases de Pontriaguin).

Los trabajos más importantes de Pontriaguin en teoría de oscilaciones están relacionados con la asintótica de las oscilaciones de relajación.

En la teoría de control es considerado el creador de la teoría matemática de los procesos óptimos, en cuya base se encuentra el famoso "principio de máximo de Pontriaguin".

También obtuvo resultados importantes en el cálculo variacional, en la teoría de juegos diferenciales, en la teoría de la dimensión y en la teoría de regulación.

Los trabajos de la escuela de Pontriaguin ejercieron una gran influencia a nivel mundial en el desarrollo de la teoría de control y del cálculo variacional.


 
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