Danílov I.A. Lecciones de dinámica no-lineal.
Una introducción elemental. Serie "Sinergética: del pasado al futuro"

---

Presentación de la serie
Prólogo. Claridad, belleza, armonía
1	?`Qué es la dinámica no-lineal?
	Introducción
	Principio de superposición
	El pensamiento no-lineal
	Aplicaciones discretas
	Propiedades hereditarias de las iteraciones
	k-ciclo
	Aplicación triangular
	Desplazamientos de Bernoulli
	Preguntas y ejercicios
2	Aplicación cuadrática
	Aplicación cuadrática
	Puntos fijos
	Estabilidad de los puntos fijos
	Extremo
	Universalidad de Feigenbaum
	Orden de Sharkovski
	Aplicaciones discretas bidimensionales. Gato de Arnold
	Hiperbolicidad
	Puntos fijos de la aplicación "gato de Arnold"
	Aplicaciones topológicamente conjugadas
	Preguntas y ejercicios
3	Sistemas continuos
	Sección de Poincaré
	Índice de Poincaré
	Armazón del retrato de fase
	Sistema de E.Lorenz
	Propiedades del sistema de Lorenz
	Puntos fijos del sistema de Lorenz
	Estabilidad según Liapunov
	Preguntas y ejercicios
4	Otro enfoque del sistema de Lorenz
	Criterios cualitativos de caos
	Medidas cuantitativas de caos
	Exponente de Liapunov
	Ejemplos de cálculo del exponente de Liapunov
	Preguntas y ejercicios
5	Medidas cuantitativas de caos
	Densidad invariante
	Función de correlación
	Dimensiones fractales
	A manera de definición de fractal
	Dimensión de Hausdorff–Bezikóvich
	Dimensiones de Rényi
	Preguntas y ejercicios
6	Medidas cuantitativas de caos (continuación)
	Conjugación topológica
	Dimensiones fractales empíricas
	Hipótesis de H.A.Lorentz y la densidad espectral
	Preguntas y ejercicios
7	Fractales geométricamente regulares
	Polvo de Cantor
	Línea quebrada y copo de nieve de Koch
	Triángulo de Sierpinski
	Alfombra de Sierpinski
	Aná	logo tridimensional del triángulo de Sierpinski
	Esponja de Sierpinski
	Preguntas y ejercicios
8	Multifractales
	Condición de Lipschitz
	Preguntas y ejercicios
9	Procesos en los medios fractales
	Difusión
	Derivada e integral de orden fraccionario
	Integral de orden fraccionario
	Operador de reflexión
	Procesos ondulatorios en medios fractales
	Oscilaciones en un medio fractal
	Simulación de la trayectoria de una partícula browniana
	Preguntas y ejercicios
10	Semejanza y transformaciones afines
	Transformación de semejanza
	Transformaciones afines
	Secuencia de Morse–Thue
	Análisis dimensional
	Soluciones autosemejantes
	Ecuación del calor (difusión)
	Ecuación de Burgers
	Ecuación de Korteweg–DeVries
	Preguntas y ejercicios
б	Método de Sophus Lie
	Teoría de la prolongación
	Primera prolongación
	Segunda prolongación
	Preguntas y ejercicios
12	Método de Sophus Lie (continuación)
	Ergodicidad y mezcla
	Preguntas y ejercicios
13	Solitones
	Datos de dispersión
	Preguntas y ejercicios
14	Teoría KAM
	Sistema hamiltoniano integrable
	Oscilador armónico
	Perturbación de un hamiltoniano integrable
	Caos homoclínico
	Preguntas y ejercicios
Bibliografía

---

Editorial URSS continúa su nueva serie "Sinergética: del pasado al futuro".

En la actualidad, la sinergética o teoría de la autoorganización constituye uno de los enfoques interdisciplinarios más populares y con mayores perspectivas de futuro. El término "sinergética" es de origen griego y significa "acción conjunta". Al introducirlo, Hermann Haken, el creador de este término, le confería dos sentidos. El primer sentido es el de una teoría que estudia la aparición de nuevas propiedades en el "todo" (sistema) compuesto por objetos (sistemas) en interacción. El segundo sentido es el de una concepción que exige para su elaboración la cooperación de especialistas de diferentes campos.

Este segundo momento condujo a un efecto retroactivo admirable: la sinergética comenzó a despertar un interés creciente y a ejercer una influencia cada vez mayor sobre las más diversas esferas de la actividad humana. Hoy este enfoque atrae a un gran espectro de estudiantes y profesionales (políticos, especialistas en gestión, científicos, etc.).

La sinergética ha recorrido un largo camino. Treinta años atrás era considerada algo así como un pasatiempo de los físicos teóricos, quienes percibieron la existencia de cierta similitud en la descripción de muchos fenómenos no-lineales. Veinte años atrás, gracias a las concepciones, métodos e ideas de la sinergética, fue descubierta experimentalmente una gran cantidad de nuevos e importantes fenómenos en la física, la química, la biología y la hidrodinámica. Actualmente la sinergética se utiliza de manera cada vez más amplia en la planificación estratégica, en el análisis de alternativas históricas, y, en general, en la búsqueda de vías de resolución de los problemas globales que se presentan ante la humanidad.

El título de la serie "Sinergética: del pasado al futuro" tiene un sentido especial. Como dijo uno de los creadores de la mecánica cuántica, un campo del conocimiento es, habitualmente, más rico en ideas al nacer que cuando alcanza su madurez. La sinergética no es una excepción. Nos hemos propuesto reeditar en esta serie una parte de los "clásicos de la sinergética", haciendo énfasis en las posibilidades y enfoques que, por ahora, no se utilizan plenamente. Asimismo, queremos dar a conocer al lector hispanohablante muchos trabajos interesantes no publicados aún en español.

El "presente" también ocupa un lugar muy importante en esta serie. En la época del ruido informativo, de la continua petición de subvenciones para investigaciones científicas y del rellenar informes relacionados con ellas, incluso los clásicos de la sinergética no siempre conocen lo suficientemente bien los trabajos recientes de sus colegas y las nuevas aplicaciones de la teoría. Uno de los objetivos de la serie es, precisamente, intentar llenar este vacío incluyendo en la misma las investigaciones realizadas en los principales centros científicos de Rusia.

El "futuro" es lo más importante. Nuestros esfuerzos actuales y la estrategia científica dependen de cuán clara es la noción que tenemos del futuro. Hacer pronósticos es un trabajo ingrato, pero muy necesario. Por esta razón dedicaremos algunos libros de la serie a ellos.

Algunos de los más eminentes especialistas en sinergética y dinámica no-lineal han aceptado amablemente ser miembros del consejo de redacción de la serie "Sinergética: del pasado al futuro". El trabajo de estas personas no es meramente formal. Entre sus tareas se encuentran el análisis del desarrollo global y en cada una de sus ramas de la dinámica no-lineal, la determinación de las prioridades de nuestra serie, y la elaboración de propuestas para la publicación de trabajos concretos. Más adelante, proporcionamos la relación completa de estos investigadores, las instituciones en las que laboran y sus principales intereses científicos.

Finalmente, esperamos poder establecer un diálogo con los lectores, lo cual consideramos de importancia esencial a la hora de la creación de los enfoques interdisciplinarios. Así pues, !`adelante, hacia el futuro!

---

Iuli Alexándrovich Danílov (1936–2003) terminó sus estudios en la Facultad de Matemática y Mecánica Teórica de la Universidad Estatal de Moscú "M.V.Lomonósov" en 1963. Especialista en el campo de la física matemática y del análisis de grupos invariantes, su vida creativa transcurrió principalmente en la sección teórica del Departamento de Física Molecular del Instituto de Energía Atómica "I.V.Kurchátov". Fue una de las figuras más eminentes de la sinergética en Rusia y uno de los pioneros en la divulgación de las ideas de esta ciencia y en la búsqueda de las leyes de autoorganización, que se describen mediante las mismas ecuaciones en la física, la química, la biología, la sociología y la medicina. Durante varias décadas dirigió un seminario en Moscú que desempeñу un papel fundamental en el establecimiento de la sinergética en Rusia.

Fue también un traductor brillante, pedagogo, divulgador de la ciencia y miembro del consejo de redacción de varias revistas científicas. Su capacidad para acumular conocimientos era extraordinaria. Dominaba más de 20 idiomas y tradujo al ruso 110 libros de matemática, física e historia de la ciencia.