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Encuadernación Alexándrov P.S. Introducción a la teoría de grupos
Id: 28593
 
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Introducción a la teoría de grupos

URSS. 200 pp. (Spanish). Rústica. ISBN 5-354-01129-9.

 Resumen del libro

El presente libro es una introducción al álgebra elemental y a la teoría de grupos. La teoría de grupos tiene una gran aplicación en la matemática, la cristalografía, la física de partículas elementales y la física del cuerpo sólido. Todos los conceptos introducidos se explican e ilustran detalladamente mediante ejemplos geométricos sencillos.


 Índice

Introducción
1 Concepto de grupo
 1.1.Conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos
  1.1.1.Suma de conjuntos
  1.1.2.Intersección de conjuntos
  1.1.3.Aplicaciones (funciones)
  1.1.4.Partición de un conjunto en subconjuntos
 1.2.Ejemplos introductorios
  1.2.1.Operaciones con números enteros
  1.2.2.Operaciones con números racionales
  1.2.3.Giros de un triángulo regular
  1.2.4.Grupo de Klein de orden cuatro
  1.2.5.Giros de un cuadrado
 1.3.Definición de grupo
 1.4.Teoremas elementales de la teoría de grupos
  1.4.1.Producto de un número finito de elementos de un grupo. Primera regla de apertura de paréntesis
  1.4.2.Elemento neutro
  1.4.3.Elemento inverso
  1.4.4.Observaciones sobre los axiomas de grupo
  1.4.5.Terminología "multiplicativa" y "aditiva" en la teoría de grupos
2 Grupos de permutaciones
 2.1.Definición de grupo de permutaciones
 2.2.Concepto de subgrupo
  2.2.1.Ejemplos y definición
  2.2.2.Condición para que un subconjunto de un grupo sea subgrupo
 2.3.Las permutaciones como aplicaciones de un conjunto finito sobre sí mismo. Permutaciones pares e impares
  2.3.1.Las permutaciones como aplicaciones
  2.3.2.Permutaciones pares e impares
3 Grupos isomorfos. Teorema de Cayley
 3.1.Grupos isomorfos
 3.2.Teorema de Cayley
4 Grupos cíclicos
 4.1.Subgrupo generado por un elemento de un grupo. Definición de grupo cíclico
 4.2.Grupos cíclicos finitos e infinitos
 4.3.Sistemas de generadores
5 Grupos elementales de autosuperposiciones
 5.1.Ejemplos y definición de grupos de autosuperposiciones de figuras geométricas
  5.1.1.Autosuperposiciones de un polígono regular en su plano
  5.1.2.Autosuperposiciones de un polígono regular en el espacio tridimensional
  5.1.3.Definición general de grupo de autosuperposiciones de una figura en el espacio o en el plano
 5.2.Grupos de autosuperposiciones de la recta y la circunferencia
 5.3.Grupos de giros de la pirámide regular y de la bipirámide
  5.3.1.Pirámide
  5.3.2.Bipirámide
  5.3.3.Caso de degeneración: grupos de giros de un segmento y de un rombo
 5.4.Grupos de giros del tetraedro regular
 5.5.Grupo de giros del cubo y del octaedro
 5.6.Grupo de giros del icosaedro y del dodecaedro. Una observación general sobre los grupos de giros de los poliedros regulares
6 Subgrupos invariantes
 6.1.Elementos equivalentes y subgrupos
  6.1.1.Transformación de un elemento de un grupo mediante otro elemento
  6.1.2.Grupo de giros del tetraedro
  6.1.3.Elementos equivalentes
  6.1.4.Transformación de un subgrupo
  6.1.5.Ejemplos
 6.2.Subgrupos invariantes (divisores normales)
  6.2.1.Subgrupo invariante
  6.2.2.Ejemplos
7 Aplicaciones homomorfas
 7.1.Definición de aplicación homomorfa. Núcleo de una aplicación homomorfa
 7.2.Ejemplos de aplicaciones homomorfas
8 Partición de un grupo en clases respecto a un subgrupo dado. Factor cociente
 8.1.Clases izquierdas y clases derechas
  8.1.1.Clases izquierdas
  8.1.2.El caso de grupos finitos
  8.1.3.Clases derechas
  8.1.4.Coincidencia de las clases derechas con las izquierdas en el caso de los subgrupos invariantes
  8.1.5.Ejemplos
 8.2.Grupo cociente respecto a un subgrupo invariante
  8.2.1.Grupo cociente
  8.2.2.Teorema de las aplicaciones homomorfas
Índice de materias

 Introducción

En la formación escolar, el paso de los problemas aritméticos a los algebraicos se manifiesta en el hecho de que en los problemas en lugar de datos numéricos se utilizan letras. La representación de los números mediante letras nos abstrae de los valores concretos presentes en uno u otro problema y nos enseña a resolver los problemas en forma general, es decir, para cualquier valor numérico de las magnitudes que figuran en él.

En correspondencia con esto, ya en los primeros capítulos (por cierto, los más importantes) del curso escolar de álgebra se estudian las leyes de las operaciones que actúan sobre expresiones que contienen letras, o lo que es lo mismo, las leyes de las denominadas transformaciones idénticas de las expresiones algebraicas. Intentemos desde el comienzo mismo explicar este concepto.

Toda expresión algebraica es un conjunto de letras unidas entre sí por signos de operaciones algebraicas. Por ahora, para simplificar, consideraremos sólo las operaciones de adición, sustracción y multiplicación. El sentido de una expresión algebraica radica en lo siguiente: si las letras que figuran en la expresión se sustituyen por números, entonces la expresión indica qué operaciones se deben efectuar, y en qué orden, sobre estos números; en otras palabras, toda expresión algebraica es cierta receta escrita en forma general para un cálculo aritmético habitual. La transformación idéntica de una expresión algebraica significa el paso de una expresión a otra ligada a la expresión de partida por la relación siguiente: si en ambas expresiones damos a cada letra un valor numérico arbitrario, con la condición de que una misma letra en ambas expresiones tome el mismo valor, y si después de esto realizamos las operaciones indicadas, entonces ambas expresiones proporcionan un mismo valor numérico. Una transformación idéntica se escribe en forma de una igualdad de dos expresiones algebraicas. Estas igualdades son válidas para cualquier sustitución de las letras que figuran en ellas por números. Las igualdades de este tipo se denominan, como se sabe, identidades. Por ejemplo,

(1) a -- a = 0,

(2) (a + b)c = ac + bc.

Cualquier identidad expresa cierta propiedad de las operaciones presentes en ella. Así, por ejemplo, la identidad (1) nos dice que si restamos a cualquier número este mismo número, siempre obtendremos el mismo resultado, cero. La identidad (2) indica la propiedad siguiente de las operaciones de adición y multiplicación: el producto de la suma de dos números por un tercer número es igual a la suma de los productos de cada uno de los sumandos por este tercer número.

Existe un número infinito de identidades. Sin embargo, se puede establecer un número pequeño de identidades fundamentales, similares a las escritas anteriormente, de modo que toda identidad sea consecuencia de estas identidades fundamentales.

Todo cálculo algebraico, es decir, toda transformación idéntica (tan complicada como se quiera) de una expresión algebraica en otra es, de este modo, una combinación de un número pequeño de transformaciones idénticas fundamentales (elementales), las cuales se exponen en el álgebra elemental bajo los nombres de reglas de desarrollo de paréntesis, reglas de los signos, etcétera. Realizando estas combinaciones de transformaciones elementales, incluso se llega a olvidar que cada letra en una expresión algebraica es sólo un símbolo, un signo, que representa cierto número: los cálculos se hacen (como suele decirse) mecánicamente, olvidando el sentido real de las transformaciones realizadas y cuidando sólo que se sigan las reglas de ejecución de éstas. Así proceden, por lo general, tanto los matemáticos experimentados como cualquier estudiante incluso principiante. No obstante, en el último caso, a veces, lamentablemente, sucede que se pierde conciencia del sentido real de las transformaciones.

La realización mecánica de las operaciones algebraicas tiene otro aspecto aún más serio. En muchos casos bajo las letras que figuran en una expresión matemática se ocultan, en lugar de números, diferentes objetos de la investigación matemática: no sólo sobre números, sino también sobre otros objetos, como veremos más adelante, se pueden realizar operaciones, las cuales tienen toda una serie de propiedades fundamentales comunes con las operaciones algebraicas, por lo cual se pueden, naturalmente, denominar adición, multiplicación, etcétera. Por ejemplo, las fuerzas en la mecánica no son números, sino vectores (magnitudes que tienen, además de valor numérico, dirección). Entre tanto, las fuerzas se pueden sumar, y esta adición posee las propiedades fundamentales de la adición algebraica habitual de números. Esto conduce a que sobre las fuerzas se pueden realizar cálculos según las reglas del álgebra. De este modo, el poderío de las transformaciones algebraicas se extiende más allá de la escritura en forma general de las operaciones sobre los números:

el álgebra nos enseña a realizar cálculos con cualesquiera objetos para los cuales estén definidas operaciones que satisfacen los axiomas algebraicos fundamentales.


 
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