Pontriaguin L.S. Generalizaciones de los números

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"La atención del lector debe estar dirigida no a refinamientos teóricos como, por ejemplo, la teoría de conjuntos o la teoría de límites, sino a los resultados matemáticos principales que se forjaron en el transcurso de milenios".

"Los libros reflejarán mis preferencias y mi punto de vista personal sobre la matemática formados en el transcurso de muchos años de trabajo. Además, tendrán en cuenta mis propios recuerdos sobre las posibilidades de percepción de los jóvenes, a fin de que las nuevas generaciones, a partir ya de los últimos cursos de la escuela, puedan familiarizarse con la matemática superior, y adquirir desde un principio un gusto sano y correcto respecto a la misma".

Índice

Prólogo

El concepto de número se fue formando en la matemática gradualmente, como resultado de un prolongado desarrollo influenciado por la práctica y las necesidades internas de la matemática. Así, al fin y al cabo, se consolidó el concepto de número real, el cual en el presente libro se asume conocido.

Sin embargo, el desarrollo del concepto de número no se detuvo en esto. Las necesidades internas de la matemática condujeron a la aparición de los números complejos. La teoría de las funciones de variable compleja, surgida a partir de estos números, tiene en la actualidad importantes aplicaciones prácticas. En este libro se le dedica mucho material a los números complejos. Se demuestra el teorema fundamental del álgebra, según el cual todo polinomio tiene al menos una raíz, la cual es real o compleja. La descomposición de un polinomio en factores lineales, la cual es una consecuencia de este teorema, se estudia minuciosamente. En calidad de aparato matemático auxiliar se utiliza la división de polinomios y el algoritmo de Euclides.

Por cuanto los números complejos resultaron muy importantes y útiles en la matemática, se intentó generalizar el concepto de número en esa dirección. Así surgieron los cuaterniones, pero sólo al renunciar a la conmutatividad de la multiplicación. Debido a la ausencia de conmutatividad de la multiplicación fue imposible construir una teoría de las funciones de variable cuaternia. De esta manera, la aplicación de los cuaterniones en la matemática resultó poco significativa. Con ayuda de los cuaterniones se pueden describir muy bien las rotaciones de los espacios euclídeos tridimensional y tetradimensional. Claro está, este hecho no es comparable con la aplicación de los números complejos. En este libro se describen los cuaterniones y su aplicación al estudio de las rotaciones de los espacios euclídeos tridimensional y tetradimensional. Esta parte del libro concluye con la demostración del teorema de Frobenius, el cual afirma que es imposible el desarrollo posterior del concepto de número en la dirección de los cuaterniones.

El paso de los números racionales a los reales se debe más bien a la lógica interna del desarrollo de la matemática que a las necesidades prácticas, puesto que con ayuda de los números racionales se puede efectuar cualquier medición con la precisión deseada. A los números reales condujo el descubrimiento matemático, surgido del teorema de Pitágoras, acerca de que la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado igual a la unidad no puede ser expresada exactamente mediante un número racional. Los números reales "llenan" los espacios que quedan entre los números racionales y conducen a que la condición de convergencia de Cauchy sea una condición de convergencia no sólo necesaria, sino también suficiente. Este hecho es muy importante en la matemática. Los números reales son el medio continuo en el cual están contenidos los números racionales. Aquí queda completamente claro que los números se caracterizan no sólo por la existencia de las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división, sino también del concepto de paso al límite, es decir, se sabe qué significa que una sucesión de números converja a un número dado.

Un conjunto de magnitudes en el cual están definidas las operaciones algebraicas de adición, sustracción, multiplicación y división, y también el paso al límite, constituye una generalización lógicamente posible del concepto de número. Resulta que no hay muchas generalizaciones de este tipo. Este libro está dedicado precisamente a las generalizaciones lógicamente posibles de los números.

El paso de los números racionales a los números reales se sustenta en la noción de número racional pequeño. Además del concepto completamente natural de número racional pequeño, existe otro concepto, relacionado con cierto número primo p. Con este concepto de pequeñez está vinculada la extensión de los números racionales, la cual conduce al surgimiento de los números p-ádicos, los cuales tienen una aplicación importante en la teoría de números y están descritos en el presente libro.

Otras magnitudes para las que son posibles las operaciones algebraicas, son los residuos módulo número primo p. Las funciones racionales de cierta variable t, donde los coeficientes son residuos módulo p, forman un sistema de magnitudes en el que son posibles las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división, y surge de modo natural el concepto de pequeñez. Completando este sistema de funciones racionales de manera que, desde el punto de vista del paso al límite, el sistema de magnitudes obtenido sea completo, es decir, que la condición de Cauchy sea una condición necesaria y suficiente de convergencia, se llega al estudio de las series infinitas respecto a la variable t. Éste es un sistema más de magnitudes donde son posibles las operaciones algebraicas y el paso al límite. Al final del libro se formula el teorema de Kovalski, que describe hasta cierto grado cualquier sistema de magnitudes en el cual están definidas las operaciones algebraicas y el paso al límite.

Este libro está dedicado al análisis de los sistemas de magnitudes con operaciones algebraicas y paso al límite que constituyen generalizaciones lógicamente posibles de los números. Imponiendo sobre este sistema de magnitudes ciertas limitaciones muy simples y naturales, se llega a la conclusión de que no hay otras posibilidades lógicas de construcción de magnitudes en la matemática, análogas a los números reales y complejos, a excepción de ellos mismos. Esto demuestra que los números reales y complejos surgieron en las matemáticas no como resultado de un proceso casual del desarrollo histórico, sino como las únicas magnitudes lógicamente posibles que satisfacen las condiciones que se suelen imponer a los números.

Para finalizar, expreso mi agradecimiento a S.M.Asiéev por su gran ayuda en la redacción de este libro.

Los trabajos fundamentales de L. S. Pontriaguin

están relacionados con la teoría de ecuaciones diferenciales, la topología, la teoría de oscilaciones, la teoría de control, el cálculo variacional y el álgebra.

En topología, Pontriaguin descubrió la ley general de dualidad y construyó la teoría de caracteres de los grupos continuos; obtuvo una serie de importantes resultados en la teoría de homotopías (clases de Pontriaguin).

En la teoría de oscilaciones, los resultados fundamentales de Pontriaguin se relacionan con la asintótica de las oscilaciones de relajación.

En la teoría de control, Pontriaguin figura como el creador de la teoría matemática de los procesos óptimos, en cuya base yace el llamado principio de máximo de Pontriaguin.

A él también pertenecen importantes resultados en el cálculo variacional, en los juegos diferenciales, en la teoría de dimensiones y en la teoría de regulación.

Los trabajos de la escuela de Liev Semiónovich Pontriaguin han ejercido una gran influencia a nivel mundial en el desarrollo de la teoría del control y del cálculo operacional.

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