En la primera parte del libro el autor muestra mediante ejemplos tomados de la física, la química y la ecología, cómo se elaboran y analizan los modelos diferenciales. De este modo, la primera parte es una introducción a los métodos cualitativos de investigación de las ecuaciones diferenciales. La segunda parte está dedicada a problemas en los que el análisis cualitativo se dificulta o se torna imposible, haciéndose necesaria la simulación computacional directa del proceso. Aquí se estudian sistemas que revelan un comportamiento caótico, los autómatas celulares, los problemas de percolación y crecimiento genético, y otros más. En los apéndices se presentan ejemplos de investigación de un sistema dinámico con ayuda de Mathematica, Maple, Matlab y Mathcad, y se expone un material introductorio a los algoritmos de generación de números aleatorios.
La exposición se refuerza con una cantidad considerable de ejemplos ilustrativos y, en la mayoría de los casos, con cálculos matemáticos suficientemente detallados. Muchos ejemplos requieren un gran trabajo individual de los estudiantes en la elaboración de programas computacionales y análisis de los resultados obtenidos.
Este libro puede ser utilizado como material didáctico tanto en el curso de "simulación computacional" para estudiantes de informática como en el curso de "modelos matemáticos en las ciencias naturales y la ecología" para estudiantes de matemáticas y ciencias naturales.
| Prólogo |
| Introducción |
| I Modelos diferenciales |
| 1 | Teoría cualitativa de los sistemas dinámicos |
| | § 1. | El péndulo |
| | | 1.1. | Movimiento del péndulo cerca de la posición de equilibrio estable |
| | | 1.2. | Reducción de ecuaciones a la forma adimensional |
| | | 1.3. | Movimiento del péndulo cerca de la posición de equilibrio inestable |
| | | 1.4. | Solución exacta del problema del péndulo |
| | § 2. | Péndulo con amortiguamiento |
| | § 3. | Anрlisis cualitativo de los sistemas dinámicos |
| | § 4. | Resumen |
| 2 | Dinámica de las poblaciones biológicas |
| | § 1. | Modelo de Malthus |
| | § 2. | Ecuación logística |
| | § 3. | Modelo de Volterra |
| | § 4. | Modificaciones del modelo de Volterra |
| | § 5. | Competencia entre las especies |
| 3 | Procesos oscilatorios en la química |
| | § 1. | Oscilaciones amortiguadas |
| | § 2. | Oscilaciones no-amortiguadas |
| 4 | Ciclos límites y autooscilaciones |
| | § 1. | Ciclos límites |
| | | 1.1. | Ejemplos introductorios |
| | | 1.2. | Clasificación de los ciclos límites |
| | § 2. | Autooscilaciones en sistemas físicos, químicos y biológicos |
| | | 2.1. | Ejemplos de sistemas autooscilantes |
| | | 2.2. | Análisis cuantitativo de los sistemas autooscilantes |
| 5 | Autoorganización y formación de las estructuras |
| | § 1. | Sistemas distribuidos |
| | § 2. | Bruselador |
| 6 | Fractales |
| | § 1. | Fractales en la matemática |
| | § 2. | Dimensiones |
| | | 2.1. | Dimensión de autosemejanza |
| | | 2.2. | Dimensión de Hausdorff--Bezikóvich |
| | § 3. | Fractales en la naturaleza |
| 7 | Comportamiento caótico de los sistemas dinámicos |
| | § 1. | Análogo discreto de la ecuación de Verhulst |
| | § 2. | Universalidad de Feigenbaum |
| | § 3. | Otras aplicaciones |
| | § 4. | Sistema de ecuaciones de Lorenz |
| | § 5. | Atractor de Rössler |
| | § 6. | Sistema no-autónomo |
| II Modelos determinísticos y estocásticos |
| 8 | Teoría de percolación |
| | § 1. | Introducción |
| | § 2. | Terminología básica |
| | § 3. | Exponentes críticos e invariancia de escala |
| | § 4. | Algoritmo de Hoshen--Kopelman |
| 9 | Simulación del crecimiento de las dendritas |
| | § 1. | Agregación limitada por difusión |
| | § 2. | Ruptura eléctrica de un dieléctrico |
| 10 | Autómatas celulares |
| | § 1. | "Juego de la vida" |
| | § 2. | Modelo de Wiener--Rosenblueth |
| | § 3. | Modelo Wa--Tor |
| 11 | Modelo de Ising |
| | § 1. | Algoritmo de Metrópolis |
| | § 2. | Problema del agente viajero |
| | § 3. | Reconocimiento de imágenes |
| 12 | Algoritmos genéticos |
| III Apéndices. |
| A | Software para el estudio de sistemas dinámicos |
| | § 1. | Investigación de sistemas dinámicos con Mathematica |
| | § 2. | Investigación de sistemas dinámicos con Maple |
| | § 3. | Investigación de sistemas dinámicos con Matlab |
| | § 4. | Investigación de sistemas dinámicos con Simulink |
| | § 5. | Investigación de sistemas dinámicos con Mathcad |
| B | Generación computacional de números aleatorios |
| | § 1. | Generador congruente lineal |
| | § 2. | Generador congruente multiplicativo |
| | § 3. | Generador basado en el desplazamiento de registros |
| Conclusión |
| Bibliografía |
| Bibliografía complementaria |
| Índice de materias |
| Índice de autores |
El camino se aleja apresurado
del portón hacia la lejanía seductora...
J.R.R.Tolkien.
"El Señor de los anillos"
El presente libro está basado en la experiencia docente del
autor. Se supone que todo el material teórico del libro debe ser
afianzado mediante clases prácticas. Esto se refiere especialmente a los
últimos temas, en los cuales no es posible estimar el comportamiento de los
modelos utilizando métodos analíticos y se hace necesario recurrir a los
experimentos computacionales.
La simulación es una parte inseparable de la actividad científica. Las áreas de
aplicación de la simulación son tan amplias y diversas que cualquier libro
dedicado a este tema está condenado de antemano a ser incompleto y unilateral.
A aquéllos que, después de leer este libro, estén interesados seriamente en la
simulación matemática, se les recomienda consultar los libros citados en la
bibliografía complementaria.
El material contenido en el libro ha sido seleccionado teniendo en cuenta,
por un lado, el mínimo obligatorio del programa de formación básica de docentes
de la especialidad de informática, y, por otro, los intereses científicos del
autor. Siendo, por su formación e inclinación científica, especialista en el
campo de la física computacional, el autor ha limitado la variedad de problemas
analizados al área de las ciencias naturales. En los libros señalados en la
bibliografía complementaria se presentan ejemplos de aplicación de los métodos de la
simulación computacional en la historia, la demografía y otros
campos de las ciencias humanas.
?`Qué es la simulación matemática?
Profesor: ?`Qué debemos tener en cuenta cuando estudiamos el movimiento de un automóvil?
Estudiante: Los efectos cuánticos y relativistas.
Un modelo matemático es una descripción aproximada, expresada mediante
simbología matemática, de alguna clase de fenómenos del mundo exterior. La
simulación matemática es un método de conocimiento, pronóstico y control.
Habitualmente se distinguen los siguientes tipos de modelos matemáticos:
1. Problema directo. A partir de leyes locales dadas (físicas,
químicas, biológicas, económicas, etcétera) que actúan en el interior del
sistema estudiado, es necesario responder a la pregunta de cómo se comportará
el sistema en su totalidad. En este caso todos los parámetros del sistema en
cuestión son conocidos, y se investiga el comportamiento del modelo bajo
diferentes condiciones.
2. Problema inverso. Consiste en la obtención de los parámetros del
modelo mediante la confrontación de los datos de observación con los
resultados de la simulación. Con mucha frecuencia no se conocen los procesos
reales que tienen lugar en el objeto estudiado, pero se dispone de
observaciones indirectas. A partir de los datos de las observaciones se intenta
esclarecer cuáles procesos controlan el comportamiento del objeto, y se hallan
los parámetros determinantes del modelo. En el problema inverso se pide hallar
los valores de los parámetros del modelo a partir del comportamiento conocido
del sistema como un todo.
3. Elaboración de sistemas de control. Éste es un campo muy especial
de la simulación relacionado con los sistemas informáticos
automatizados y con los sistemas automáticos de control.
La construcción del modelo matemático consta de varias etapas:
1. Formulación de las leyes que relacionan a los objetos principales del
modelo.
2. Investigación del problema matemático.
3. Comprobación de la coherencia del modelo con la realidad.
4. Análisis del modelo y su modificación.
Etapas de estudio del modelo matemático:
1. Elaboración del modelo cualitativo. En esta etapa se esclarece el
carácter de las leyes y de los vínculos que tienen lugar en el sistema.
Dependiendo de la naturaleza del modelo, estas leyes pueden ser físicas,
químicas, biológicas, económicas, etcétera. De toda la variedad de
interacciones en el sistema, es necesario destacar las principales, las
determinantes. No se debe pretender que el modelo describa todo. El objetivo de
la simulación es revelar los principales rasgos característicos del
comportamiento del sistema, sus particularidades determinantes. En relación con
esto, al construir un modelo se deben tomar en consideración solamente los
efectos más fuertes. Está claro que es absurda la propuesta del estudiante de
tener en cuenta los efectos relativistas y cuánticos al estudiar el movimiento
de un automóvil. Estos efectos simplemente no pueden ser advertidos. Sin
embargo, no siempre al construir un modelo la situación es tan evidente.
2. Elaboración del modelo matemático. En esta etapa nuestras ideas
acerca de lo que sucede en el sistema adquieren una formulación matemática. La
expresión matemática de los procesos estudiados puede ser un sistema de
ecuaciones, una ecuación diferencial o un conjunto de reglas.
Si el modelo se describe mediante ecuaciones diferenciales, entonces dicho
modelo se denomina modelo diferencial. En general, si el modelo se puede
describir por medio ecuaciones, se dice que dicho modelo es [modelo
determinístico]determinístico. En el caso cuando el modelo se describe
mediante leyes probabilísticas, se dice que el modelo es [modelo
estocástico]estocástico. En lo sucesivo nos limitaremos, básicamente, a dos
variantes de modelos matemáticos: los modelos diferenciales y los modelos en
los cuales tienen lugar ciertas regularidades estadísticas. Es necesario tener
presente que estos modelos constituyen sólo una pequeña parte de los modelos
que surgen durante el estudio de los distintos fenómenos.
La formulación de un modelo matemático adecuado del problema considerado
incluye varias subtareas:
a) Establecer los factores fundamentales. El modelo debe ser suficientemente
simple y, a la vez, suficientemente preciso. Cuáles factores son fundamentales
y cuáles se pueden despreciar, es un hecho que depende de las particularidades
del problema analizado. Quizás lo único que se puede recomendar es que, si en
el sistema actúan varios factores de un mismo orden de significación, todos
ellos deben ser considerados, o bien todos ellos deben ser descartados.
b) Establecer las condiciones iniciales, de contorno y adicionales.
3. Estudio del problema matemático. En esta etapa se realiza el
análisis cualitativo del modelo. Se averigua su comportamiento en situaciones
extremas. A menudo para estas situaciones extremas se pueden hallar soluciones
analíticas (aunque sea aproximadas). Los resultados obtenidos permiten predecir
el comportamiento del sistema para el caso general y se pueden utilizar
también para verificar los datos obtenidos en los cálculos.
4. Elaboración del algoritmo. Suele suceder que el modelo matemático
obtenido no puede ser resuelto por métodos analíticos. En tal caso se utilizan
métodos numéricos, se realiza un experimento computacional. Para una serie de
problemas frecuentes existen algoritmos altamente efectivos. Sin embargo, en
muchos casos, partiendo de las particularidades del problema estudiado, es
necesario elaborar el algoritmo desde el principio.
5. Elaboración y ejecución del programa.
6. Obtención y acumulación de los resultados. En esta etapa también tiene
lugar la justificación del modelo, es decir, la confirmación de que la solución
obtenida es razonable y suficientemente precisa. Para el efecto, se confrontan
los resultados obtenidos con los del análisis cualitativo. Si éstos no
son satisfactorios, se introducen modificaciones en el modelo.
7. Implementación de los resultados obtenidos.
En la actualidad, los términos simulación matemática y simulación computacional
son casi sinónimos. De hecho, la mayoría de los modelos matemáticos
requiere la realización de cálculos computacionales o, como frecuentemente se
dice, de [experimento computacional]experimentos computacionales. Por
otra parte, cualquier cálculo es posible sólo sobre la base de un modelo
matemático. Existe mucho en común entre la realización de un experimento de
laboratorio y de un experimento computacional.
|
Experimento de laboratorio | Experimento computacional |
| Muestra | Modelo matemático |
| Instrumento físico | Programa |
| Calibración | Prueba del programa |
| Medición | Cálculos |
| Análisis de los datos | Análisis de los datos |
|
La simulación computacional es irremplazable en aquellos casos en los que el
experimento de laboratorio no se puede realizar o se dificulta por una u otra
razón. Por ejemplo, no es posible realizar un experimento de historia en
laboratorio para averiguar "qué hubiera sucedido si...". Sin embargo, este
experimento es completamente factible en computadora. No es posible realizar un
experimento de laboratorio para comprobar la validez de una u otra teoría
cosmológica, pero sí se puede llevar a cabo una simulación computacional. En
principio es posible, pero no sería humano, realizar un experimento de
laboratorio para estudiar la propagación de alguna epidemia como, por ejemplo,
la peste. En cambio, una simulación computacional no pondría en peligro la
salud de nadie. Se puede citar una gran cantidad de ejemplos similares en los
más diversos campos de la ciencia.
