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Encuadernación Tarasiévich Iu.Iú. Simulación matemática y computacional. Curso introductorio
Id: 25276
 
13.9 EUR

Simulación matemática y computacional. Curso introductorio

URSS. 240 pp. (Spanish). Rústica. ISBN 5-354-01059-4.

 Resumen del libro

En la primera parte del libro el autor muestra mediante ejemplos tomados de la física, la química y la ecología, cómo se elaboran y analizan los modelos diferenciales. De este modo, la primera parte es una introducción a los métodos cualitativos de investigación de las ecuaciones diferenciales. La segunda parte está dedicada a problemas en los que el análisis cualitativo se dificulta o se torna imposible, haciéndose necesaria la simulación computacional directa del proceso. Aquí se estudian sistemas que revelan un comportamiento caótico, los autómatas celulares, los problemas de percolación y crecimiento genético, y otros más. En los apéndices se presentan ejemplos de investigación de un sistema dinámico con ayuda de Mathematica, Maple, Matlab y Mathcad, y se expone un material introductorio a los algoritmos de generación de números aleatorios.

La exposición se refuerza con una cantidad considerable de ejemplos ilustrativos y, en la mayoría de los casos, con cálculos matemáticos suficientemente detallados. Muchos ejemplos requieren un gran trabajo individual de los estudiantes en la elaboración de programas computacionales y análisis de los resultados obtenidos.

Este libro puede ser utilizado como material didáctico tanto en el curso de "simulación computacional" para estudiantes de informática como en el curso de "modelos matemáticos en las ciencias naturales y la ecología" para estudiantes de matemáticas y ciencias naturales.


 Índice

Prólogo
Introducción

I Modelos diferenciales

1 Teoría cualitativa de los sistemas dinámicos
 § 1.El péndulo
  1.1.Movimiento del péndulo cerca de la posición de equilibrio estable
  1.2.Reducción de ecuaciones a la forma adimensional
  1.3.Movimiento del péndulo cerca de la posición de equilibrio inestable
  1.4.Solución exacta del problema del péndulo
 § 2.Péndulo con amortiguamiento
 § 3.Anрlisis cualitativo de los sistemas dinámicos
 § 4.Resumen
2 Dinámica de las poblaciones biológicas
 § 1.Modelo de Malthus
 § 2.Ecuación logística
 § 3.Modelo de Volterra
 § 4.Modificaciones del modelo de Volterra
 § 5.Competencia entre las especies
3 Procesos oscilatorios en la química
 § 1.Oscilaciones amortiguadas
 § 2.Oscilaciones no-amortiguadas
4 Ciclos límites y autooscilaciones
 § 1.Ciclos límites
  1.1.Ejemplos introductorios
  1.2.Clasificación de los ciclos límites
 § 2.Autooscilaciones en sistemas físicos, químicos y biológicos
  2.1.Ejemplos de sistemas autooscilantes
  2.2.Análisis cuantitativo de los sistemas autooscilantes
5 Autoorganización y formación de las estructuras
 § 1.Sistemas distribuidos
 § 2.Bruselador
6 Fractales
 § 1.Fractales en la matemática
 § 2.Dimensiones
  2.1.Dimensión de autosemejanza
  2.2.Dimensión de Hausdorff--Bezikóvich
 § 3.Fractales en la naturaleza
7 Comportamiento caótico de los sistemas dinámicos
 § 1.Análogo discreto de la ecuación de Verhulst
 § 2.Universalidad de Feigenbaum
 § 3.Otras aplicaciones
 § 4.Sistema de ecuaciones de Lorenz
 § 5.Atractor de Rössler
 § 6.Sistema no-autónomo

II Modelos determinísticos y estocásticos

8 Teoría de percolación
 § 1.Introducción
 § 2.Terminología básica
 § 3.Exponentes críticos e invariancia de escala
 § 4.Algoritmo de Hoshen--Kopelman
9 Simulación del crecimiento de las dendritas
 § 1.Agregación limitada por difusión
 § 2.Ruptura eléctrica de un dieléctrico
10 Autómatas celulares
 § 1."Juego de la vida"
 § 2.Modelo de Wiener--Rosenblueth
 § 3.Modelo Wa--Tor
11 Modelo de Ising
 § 1.Algoritmo de Metrópolis
 § 2.Problema del agente viajero
 § 3.Reconocimiento de imágenes
12 Algoritmos genéticos

III Apéndices.

A Software para el estudio de sistemas dinámicos
 § 1.Investigación de sistemas dinámicos con Mathematica
 § 2.Investigación de sistemas dinámicos con Maple
 § 3.Investigación de sistemas dinámicos con Matlab
 § 4.Investigación de sistemas dinámicos con Simulink
 § 5.Investigación de sistemas dinámicos con Mathcad
B Generación computacional de números aleatorios
 § 1.Generador congruente lineal
 § 2.Generador congruente multiplicativo
 § 3.Generador basado en el desplazamiento de registros
Conclusión
Bibliografía
Bibliografía complementaria
Índice de materias
Índice de autores

 Prólogo

El camino se aleja apresurado del portón hacia la lejanía seductora...
J.R.R.Tolkien. "El Señor de los anillos"

El presente libro está basado en la experiencia docente del autor. Se supone que todo el material teórico del libro debe ser afianzado mediante clases prácticas. Esto se refiere especialmente a los últimos temas, en los cuales no es posible estimar el comportamiento de los modelos utilizando métodos analíticos y se hace necesario recurrir a los experimentos computacionales.

La simulación es una parte inseparable de la actividad científica. Las áreas de aplicación de la simulación son tan amplias y diversas que cualquier libro dedicado a este tema está condenado de antemano a ser incompleto y unilateral. A aquéllos que, después de leer este libro, estén interesados seriamente en la simulación matemática, se les recomienda consultar los libros citados en la bibliografía complementaria.

El material contenido en el libro ha sido seleccionado teniendo en cuenta, por un lado, el mínimo obligatorio del programa de formación básica de docentes de la especialidad de informática, y, por otro, los intereses científicos del autor. Siendo, por su formación e inclinación científica, especialista en el campo de la física computacional, el autor ha limitado la variedad de problemas analizados al área de las ciencias naturales. En los libros señalados en la bibliografía complementaria se presentan ejemplos de aplicación de los métodos de la simulación computacional en la historia, la demografía y otros campos de las ciencias humanas.


 Introducción


?`Qué es la simulación matemática?

Profesor: ?`Qué debemos tener en cuenta cuando estudiamos el movimiento de un automóvil? Estudiante: Los efectos cuánticos y relativistas.

Un modelo matemático es una descripción aproximada, expresada mediante simbología matemática, de alguna clase de fenómenos del mundo exterior. La simulación matemática es un método de conocimiento, pronóstico y control. Habitualmente se distinguen los siguientes tipos de modelos matemáticos:

1. Problema directo. A partir de leyes locales dadas (físicas, químicas, biológicas, económicas, etcétera) que actúan en el interior del sistema estudiado, es necesario responder a la pregunta de cómo se comportará el sistema en su totalidad. En este caso todos los parámetros del sistema en cuestión son conocidos, y se investiga el comportamiento del modelo bajo diferentes condiciones. 2. Problema inverso. Consiste en la obtención de los parámetros del modelo mediante la confrontación de los datos de observación con los resultados de la simulación. Con mucha frecuencia no se conocen los procesos reales que tienen lugar en el objeto estudiado, pero se dispone de observaciones indirectas. A partir de los datos de las observaciones se intenta esclarecer cuáles procesos controlan el comportamiento del objeto, y se hallan los parámetros determinantes del modelo. En el problema inverso se pide hallar los valores de los parámetros del modelo a partir del comportamiento conocido del sistema como un todo. 3. Elaboración de sistemas de control. Éste es un campo muy especial de la simulación relacionado con los sistemas informáticos automatizados y con los sistemas automáticos de control.

La construcción del modelo matemático consta de varias etapas:

1. Formulación de las leyes que relacionan a los objetos principales del modelo.

2. Investigación del problema matemático.

3. Comprobación de la coherencia del modelo con la realidad.

4. Análisis del modelo y su modificación.

Etapas de estudio del modelo matemático:

1. Elaboración del modelo cualitativo. En esta etapa se esclarece el carácter de las leyes y de los vínculos que tienen lugar en el sistema. Dependiendo de la naturaleza del modelo, estas leyes pueden ser físicas, químicas, biológicas, económicas, etcétera. De toda la variedad de interacciones en el sistema, es necesario destacar las principales, las determinantes. No se debe pretender que el modelo describa todo. El objetivo de la simulación es revelar los principales rasgos característicos del comportamiento del sistema, sus particularidades determinantes. En relación con esto, al construir un modelo se deben tomar en consideración solamente los efectos más fuertes. Está claro que es absurda la propuesta del estudiante de tener en cuenta los efectos relativistas y cuánticos al estudiar el movimiento de un automóvil. Estos efectos simplemente no pueden ser advertidos. Sin embargo, no siempre al construir un modelo la situación es tan evidente.

2. Elaboración del modelo matemático. En esta etapa nuestras ideas acerca de lo que sucede en el sistema adquieren una formulación matemática. La expresión matemática de los procesos estudiados puede ser un sistema de ecuaciones, una ecuación diferencial o un conjunto de reglas.

Si el modelo se describe mediante ecuaciones diferenciales, entonces dicho modelo se denomina modelo diferencial. En general, si el modelo se puede describir por medio ecuaciones, se dice que dicho modelo es [modelo determinístico]determinístico. En el caso cuando el modelo se describe mediante leyes probabilísticas, se dice que el modelo es [modelo estocástico]estocástico. En lo sucesivo nos limitaremos, básicamente, a dos variantes de modelos matemáticos: los modelos diferenciales y los modelos en los cuales tienen lugar ciertas regularidades estadísticas. Es necesario tener presente que estos modelos constituyen sólo una pequeña parte de los modelos que surgen durante el estudio de los distintos fenómenos.

La formulación de un modelo matemático adecuado del problema considerado incluye varias subtareas:

a) Establecer los factores fundamentales. El modelo debe ser suficientemente simple y, a la vez, suficientemente preciso. Cuáles factores son fundamentales y cuáles se pueden despreciar, es un hecho que depende de las particularidades del problema analizado. Quizás lo único que se puede recomendar es que, si en el sistema actúan varios factores de un mismo orden de significación, todos ellos deben ser considerados, o bien todos ellos deben ser descartados.

b) Establecer las condiciones iniciales, de contorno y adicionales.

3. Estudio del problema matemático. En esta etapa se realiza el análisis cualitativo del modelo. Se averigua su comportamiento en situaciones extremas. A menudo para estas situaciones extremas se pueden hallar soluciones analíticas (aunque sea aproximadas). Los resultados obtenidos permiten predecir el comportamiento del sistema para el caso general y se pueden utilizar también para verificar los datos obtenidos en los cálculos.

4. Elaboración del algoritmo. Suele suceder que el modelo matemático obtenido no puede ser resuelto por métodos analíticos. En tal caso se utilizan métodos numéricos, se realiza un experimento computacional. Para una serie de problemas frecuentes existen algoritmos altamente efectivos. Sin embargo, en muchos casos, partiendo de las particularidades del problema estudiado, es necesario elaborar el algoritmo desde el principio.

5. Elaboración y ejecución del programa.

6. Obtención y acumulación de los resultados. En esta etapa también tiene lugar la justificación del modelo, es decir, la confirmación de que la solución obtenida es razonable y suficientemente precisa. Para el efecto, se confrontan los resultados obtenidos con los del análisis cualitativo. Si éstos no son satisfactorios, se introducen modificaciones en el modelo.

7. Implementación de los resultados obtenidos.

En la actualidad, los términos simulación matemática y simulación computacional son casi sinónimos. De hecho, la mayoría de los modelos matemáticos requiere la realización de cálculos computacionales o, como frecuentemente se dice, de [experimento computacional]experimentos computacionales. Por otra parte, cualquier cálculo es posible sólo sobre la base de un modelo matemático. Existe mucho en común entre la realización de un experimento de laboratorio y de un experimento computacional.

Experimento de laboratorio Experimento computacional
Muestra Modelo matemático
Instrumento físico Programa
Calibración Prueba del programa
Medición Cálculos
Análisis de los datos Análisis de los datos

La simulación computacional es irremplazable en aquellos casos en los que el experimento de laboratorio no se puede realizar o se dificulta por una u otra razón. Por ejemplo, no es posible realizar un experimento de historia en laboratorio para averiguar "qué hubiera sucedido si...". Sin embargo, este experimento es completamente factible en computadora. No es posible realizar un experimento de laboratorio para comprobar la validez de una u otra teoría cosmológica, pero sí se puede llevar a cabo una simulación computacional. En principio es posible, pero no sería humano, realizar un experimento de laboratorio para estudiar la propagación de alguna epidemia como, por ejemplo, la peste. En cambio, una simulación computacional no pondría en peligro la salud de nadie. Se puede citar una gran cantidad de ejemplos similares en los más diversos campos de la ciencia.


 
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