LIBROS EN LENGUAS EUROPEAS


 
Encuadernación Владимиров Ю.С. Классическая теория гравитации
Id: 193484
 
14.9 EUR

Классическая теория гравитации. Изд.2, перераб. и доп.

URSS. 304 pp. (Russian). RústicaISBN 978-5-9710-1692-2.

Предлагаемая читателю книга --- курс лекций по классической теории гравитации (общей теории относительности) --- состоит из трех частей, каждая из которых обладает несомненными достоинствами, отличающими эту книгу от других изданий по данной тематике. В первой части курса учтен опыт многолетнего преподавания основ общей теории относительности профессора М.Ф. Широкова (ученика А.А. Фридмана), профессора Д.Д. Иваненко и самого автора, читающего данный курс на протяжении нескольких десятков лет на физическом факультете МГУ имени М.В. Ломоносова, а также в Институте гравитации и космологии РУДН. Во второй части впервые в учебной литературе систематически изложена теория систем отсчета, позволяющая общей теории относительности в полной мере отвечать своему названию. Этот материал основан на результатах, полученных, в основном, в работах отечественных авторов, и практически отсутствует в зарубежных изданиях. В третьей части книги на основе методов, развитых во второй части, систематически изложены идеи и результаты 5-мерной теории гравитации и электромагнетизма Т. Калуцы. Здесь же показано, что бытующее название «теория Калуцы---Клейна» некорректно, поскольку 5-мерная теория О. Клейна нацелена на решение совершенно иных задач и может быть объединена с теорией Калуцы лишь в рамках 6-мерия. Кроме того, в этой части показано, как путем дальнейшего увеличения размерности можно геометризовать теории сильных и электрослабых взаимодействий.

Книга адресована студентам, аспирантам и преподавателям вузов физико-математического профиля, физикам-теоретикам, а также всем, кто интересуется геометрическим подходом к описанию физики.


Oglavlenie
Predislovie
Vvedenie
 § 1.Istoki neevklidovoj geometrii
 § 2.Idei, predshestvovavshie sozdaniyu obschej teorii otnositel'nosti
 § 3.Napravleniya sovremennikh issledovanij v teorii gravitatsii
Chast' I. Nachala klassicheskoj teorii gravitatsii
Glava 1.Osnovnie ponyatiya rimanovoj geometrii i teorii gravitatsii
 § 1.1.Gruppa dopustimikh koordinatnikh preobrazovanij i tenzori
  1.1.1.Koordinatnie sistemi
  1.1.2.Osnovi tenzornoj algebri
 § 1.2.Metricheskij tenzor
  1.2.1.Obobscheniya teoremi Pifagora
  1.2.2.Metricheskij tenzor i ego svojstva
  1.2.3.Kontseptual'nie voprosi vvedeniya metriki
 § 1.3.Uravneniya geodezicheskikh linij i kovariantnoe differentsirovanie
  1.3.1.Uravneniya geodezicheskikh linij i simvoli Kristoffelya
  1.3.2.Analiz uravnenij geodezicheskikh linij
  1.3.3.Transformatsionnie svojstva simvolov Kristoffelya
  1.3.4.Kovariantnie proizvodnie
 § 1.4.Tenzor krivizni i ego svojstva
  1.4.1.Tenzor krivizni
  1.4.2.Dopolneniya k svojstvam tenzora krivizni
  1.4.3.Konformnoe sootvetstvie i tenzor Vejlya
 § 1.5.Uravneniya Ejnshtejna, Maksvella i Klejna-Foka
  1.5.1.Uravneniya Ejnshtejna
  1.5.2.Uravneniya Maksvella
  1.5.3.Uravnenie Klejna-Foka
  1.5.4.Ob'edinenie uravnenij Ejnshtejna, Maksvella i Klejna-Foka v ramkakh 5-meriya (predvaritel'nie zamechaniya)
 § 1.6.Parallel'nij perenos i geometrii Skhoutena
  1.6.1.Parallel'nij perenos
  1.6.2.Geometrii Skhoutena i ikh primeneniya v fizike
Glava 2.Prostranstvo-vremya vblizi gravitiruyuschikh istochnikov
 § 2.1.Metrika Shvartsshil'da
  2.1.1.Uravneniya Ejnshtejna dlya sfericheski simmetrichnoj metriki
  2.1.2.Vivod resheniya Shvartsshil'da
  2.1.3.Analiz metriki Shvartsshil'da
 § 2.2.Uravneniya geodezicheskikh linij v metrike Shvartsshil'da
  2.2.1.Uglovie i vremeni-podobnaya komponenti
  2.2.2.Radial'naya komponenta uravnenij geodezicheskikh linij
 § 2.3.Klassicheskie effekti OTO
  2.3.1.Smeschenie perigeliya Merkuriya
  2.3.2.Effekt otkloneniya luchej sveta
  2.3.3.Obsuzhdenie klassicheskikh effektov OTO
 § 2.4.Metrika Kerra
  2.4.1.Analiz metriki Kerra
  2.4.2.Uravneniya geodezicheskikh linij v metrike Kerra
  2.4.3.Nekotorie effekti v metrike Kerra
 § 2.5."Chastitsepodobnie" tochnie resheniya uravnenij Ejnshtejna
  2.5.1.Nekotorie obobscheniya metriki Shvartsshil'da
  2.5.2.Obobscheniya metriki Kerra
Glava 3.Vvedenie v kosmologiyu
 § 3.1.Odnorodnie izotropnie prostranstva
  3.1.1.Usloviya odnorodnosti i izotropii
  3.1.2.Prostranstva postoyannoj krivizni
 § 3.2.Odnorodnie izotropnie modeli Vselennoj
  3.2.1.Zakritaya i otkritie modeli Fridmana
  3.2.2.Modeli Ejnshtejna i de Sittera
  3.2.3.Vozmozhnie odnorodnie izotropnie modeli Vselennoj
 § 3.3.Kosmologiya i astrofizika
  3.3.1.Kosmologicheskoe krasnoe smeschenie
  3.3.2.Kriticheskaya plotnost' i vozrast Vselennoj
Chast' II. Sistemi otscheta i ikh primenenie
Glava 4.Sistemi otscheta v obschej teorii otnositel'nosti
 § 4.1.Obschekovariantnij monadnij metod
  4.1.1.Ponyatie sistemi otscheta
  4.1.2.Algebra obschekovariantnogo monadnogo metoda
  4.1.3.Monadnie fiziko-geometricheskie tenzori
  4.1.4.Monadnie operatori differentsirovaniya
 § 4.2.Metod khronometricheskikh invariantov
  4.2.1.Algebra metoda khronometricheskikh invariantov
  4.2.2.Fiziko-geometricheskie tenzori i operatori differentsirovaniya v khronometricheskoj kalibrovke
 § 4.3.Metod kinemetricheskikh invariantov
  4.3.1.Algebra metoda kinemetricheskikh invariantov
  4.3.2.Fiziko-geometricheskie tenzori i operatori differentsirovaniya v kinemetricheskoj kalibrovke
 § 4.4.Monadnij vid klyuchevikh uravnenij
  4.4.1.Uravneniya geodezicheskikh linij
  4.4.2.Uravneniya Ejnshtejna i tozhdestva
  4.4.3.Uravneniya Maksvella v monadnom vide
 § 4.5.Monadnij metod v tochnikh resheniyakh uravnenij Ejnshtejna
  4.5.1.Monadnij metod v metrikakh Fridmana
  4.5.2.Monadnij metod v metrike Shvartsshil'da
  4.5.3.Monadnij metod v metrike Kerra
Glava 5.Primenenie monadnogo metoda dlya analiza problem OTO
 § 5.1.Zakoni sokhraneniya v OTO
  5.1.1.Situatsiya s zakonami sokhraneniya energii i impul'sa v OTO
  5.1.2.Proizvodnie Li i monadnij operator vremennogo differentsirovaniya
  5.1.3.Vektori Killinga i zakoni sokhraneniya v OTO .
 § 5.2.Psevdotenzornij podkhod k zakonam sokhraneniya
  5.2.1.Sut' psevdotenzornogo podkhoda
  5.2.2.Varianti psevdotenzorov energii-impul'sa
  5.2.3.Nesostoyatel'nost' psevdotenzornogo podkhoda
  5.2.4.Monadnie vektori energii gravi-inertsial'nogo polya
 § 5.3.Gravitatsionnie volni v OTO
  5.3.1.Algebraicheskie kriterii gravitatsionnikh voln .
  5.3.2.Referentsionnij analiz gravi-inertsial'nikh volnovikh protsessov
 § 5.4.Diadnij metod
  5.4.1.Obschekovariantnij diadnij metod
  5.4.2.Kineorometricheskaya kalibrovka diadnogo metoda
 § 5.5.Analiz volnovikh reshenij uravnenij Ejnshtejna
  5.5.1.Analiz tochnikh volnovikh reshenij
  5.5.2.Slabie ploskie gravitatsionnie volni
 § 5.6.Vozdejstvie gravi-inertsial'nikh voln na ob'ekti
  5.6.1.Povedenie svobodnikh probnikh mass v slaboj ploskoj gravi-inertsial'noj volne
  5.6.2.Vozdejstvie gravi-inertsial'nikh voln na detektor
 § 5.7.Formulirovki OTO v monadnom vide
  5.7.1.Lagranzhev formalizm OTO
  5.7.2.Gamil'tonova formulirovka OTO
  5.7.3.Uravneniya Ejnshtejna kak uravneniya linij v superprostranstve Uilera-DeVitta
  5.7.4.OTO v formalizme Gamil'tona-Yakobi
Glava 6.Pyatimernaya teoriya gravitatsii i elektromagnetizma
 § 6.1.Monadnij metod v 5-mernoj geometrii
  6.1.1.Dopustimost' perekhoda k mnogomernoj teorii
  6.1.2.Monadnij metod reduktsii ((4 + 1)-rasschepleniya)
  6.1.3.Geometricheskie uravneniya v monadnom vide
 § 6.2.Pyatimernaya teoriya Kalutsi
  6.2.1.Perekhod ot 5-mernoj geometrii k elektrodinamike v OTO
  6.2.2.Variant 5-mernoj teorii Kalutsi-Klejna
  6.2.3.Analiz kriticheskikh zamechanij po 5-mernoj teorii Kalutsi
 § 6.3.Teoriya Kalutsi so skalyarizmom
  6.3.1.Skalyarizm v 5-mernoj teorii
  6.3.2.Sfericheski-simmetrichnoe reshenie so skalyarizmom
  6.3.3.Vozmozhnie effekti skalyarizma
Zaklyuchenie
Prilozhenie
Literatura

Predislovie

Soderzhanie predlagaemoj chitatelyu knigi predstavlyaet soboj godovoj tsikl lektsij po kursu "Klassicheskaya teoriya gravitatsii", kotorie v techenie mnogikh let chitayutsya studentam 4-go kursa fizicheskogo fakul'teta Moskovskogo gosudarstvennogo universiteta imeni M.V.Lomonosova, a takzhe v Institute gravitatsii i kosmologii pri Rossijskom universitete druzhbi narodov. Kniga sostoit iz dvukh chastej, sootvetstvuyuschikh uchebnomu planu pervogo i vtorogo semestrov.

Pervaya chast' vklyuchaet 3 glavi, kazhdaya iz kotorikh sostoit iz neskol'kikh razdelov (lektsij). Obschee chislo lektsij, vklyuchaya Vvedenie, prednaznachennikh dlya pervogo semestra, -- 15.

V pervoj glave pervoj chasti knigi izlagayutsya osnovi rimanovoj geometrii i printsipi obschej teorii otnositel'nosti. Zdes' privodyatsya neobkhodimie svedeniya o tenzornom ischislenii i vvodyatsya klyuchevie ponyatiya differentsial'noj geometrii: metrika, parallel'nij perenos, kovariantnoe differentsirovanie, uravneniya geodezicheskikh linij, tenzor krivizni -- i, nakonets, zapisivayutsya uravneniya Ejnshtejna i uravneniya Maksvella v iskrivlennom prostranstve-vremeni.

Vo vtoroj glave pervoj chasti rassmatrivayutsya naibolee vazhnie tochnie resheniya uravnenij Ejnshtejna: sfericheski simmetrichnoe reshenie Shvartsshil'da, na osnove kotorogo opisivayutsya glavnie effekti obschej teorii otnositel'nosti, a takzhe aksial'no simmetrichnaya metrika Kerra, sozdavaemaya vraschayuschimisya massivnimi ob'ektami. Zdes' zhe privedeni fizicheski naibolee interesnie obobscheniya etikh metrik.

Tret'ya glava yavlyaetsya svoego roda vvedeniem v sovremennie predstavleniya o mire v tselom, osnovivayuschiesya na tochnikh odnorodnikh izotropnikh kosmologicheskikh resheniyakh Fridmana. Dana takzhe informatsiya o nekotorikh drugikh kosmologicheskikh modelyakh, v tom chisle i o pervom kosmologicheskom reshenii Ejnshtejna.

V pervoj chasti knigi uchten material lektsij po obschej teorii otnositel'nosti (OTO), kotorie v 1950-e godi chital na fizicheskom fakul'tete MGU professor M.F.Shirokov, v svoe vremya slushavshij samogo A.A.Fridmana. Razumeetsya, ikh soderzhanie suschestvenno pererabotano i dopolneno s uchetom poslednikh rabot po dannoj problematike.

Odnoj iz veduschikh idej pervoj chasti bila 4-mernaya simmetriyaprostranstva-vremeni. A vtoraya chast', prednaznachennaya dlya vtorogo semestra, iskhodit iz protivopolozhnoj idei, -- (1 + 3)-rasschepleniya edinogo prostranstvenno-vremennogo mnogoobraziya na fizicheski nablyudaemoe vremya i 3-mernoe prostranstvennoe sechenie nablyudatelya, chto dostigaetsya posredstvom monadnogo metoda zadaniya sistem otscheta.

Nachal'naya (chetvertaya) glava etoj chasti posvyaschena izlozheniyu monadnogo metoda zadaniya sistemi otscheta kak v obschekovariantnom vide, ne zavisyaschem ot vibora koordinatnoj sistemi, tak i v dvukh spetsial'nikh gruppovikh kalibrovkakh, gde ponyatiya sistemi otscheta i koordinatnikh sistem svyazani spetsial'nimi usloviyami. Eti dve kalibrovki monadnogo metoda sostavlyayut teorii khronometricheskikh i kinemetricheskikh invariantov. Tol'ko pri dobavlenii metodov zadaniya sistem otscheta k materialu pervoj chasti knigi obschaya teoriya otnositel'nosti v polnoj mere mozhet sootvetstvovat' svoemu nazvaniyu.

V sleduyuschej (pyatoj) glave rassmotreni naibolee vazhnie prilozheniya monadnogo metoda v obschej teorii otnositel'nosti. Eto, prezhde vsego, problema zakonov sokhraneniya v iskrivlennom prostranstve-vremeni. Zdes' obsuzhdeni sut' i nedostatki kak psevdotenzornogo, tak i monadnogo podkhodov k ee resheniyu. Dalee monadnij i diadnij metodi primenyayutsya pri analize problemi opisaniya gravitatsionnikh i gravi-inertsial'nikh voln v OTO. V poslednem razdele privodyatsya formulirovki obschej teorii otnositel'nosti na osnove monadnogo metoda, razvitie s tsel'yu ee podgotovki k kvantovaniyu.

Nakonets, v zaklyuchitel'noj (shestoj) glave knigi monadnij metod ispol'zuetsya dlya korrektnogo izlozheniya i fizicheskoj interpretatsii 5-mernoj geometricheskoj modeli ob'edineniya gravitatsii i elektromagnetizma (teorii Kalutsi). Izvestno, chto vpervie elementi monadnogo metoda, ili metoda (1 + 4)-rasschepleniya, bili vvedeni imenno v ramkakh 5-mernoj teorii dlya videleniya iz 5-mernikh geometricheskikh ponyatij elektromagnitnikh velichin. Zatem, posle utochneniya v ramkakh metoda (1 + 3)-rasschepleniya, on bil vnov' primenen dlya strogoj formulirovki 5-mernoj teorii Kalutsi.

Vtoraya chast' takzhe sostoit iz trekh glav, v sovokupnosti naschitivayuschikh 15 razdelov (lektsij). Predstavlennij zdes' material baziruetsya preimuschestvenno na otechestvennikh issledovaniyakh v etoj oblasti. Rezul'tati, poluchennie zarubezhnimi avtorami, pererabotani v terminologii monadnogo metoda.

Material dannogo kursa lektsij dopuskaet nekotorie vidoizmeneniya, dopolneniya i perestanovki. Naprimer, mozhno pomeschat' v inie razdeli izlozhenie konformnikh preobrazovanij, differentsirovanie Li ili klassifikatsiyu Petrova prostranstv Ejnshtejna. Predpolagaetsya postoyannoe obnovlenie materiala s uchetom novikh eksperimental'nikh dannikh v OTO, osobenno v oblasti relyativistskoj astrofiziki.

V prilozhenii privedeni bileti dlya ekzamenov ili zachetov po dannomu kursu lektsij, a takzhe primernie temi kursovikh rabot.

Sleduet otmetit', chto predstavlennij v knige lektsionnij material natselen na izlozhenie lish' klyuchevikh idej, printsipov i sledstvij klassicheskoj teorii gravitatsii (obschej teorii otnositel'nosti). Bolee podrobnoe rassmotrenie sovremennoj teorii gravitatsii soderzhitsya v nashej knige "Geometrofizika".

Avtor virazhaet priznatel'nost' uchenikam, kollegam i slushatelyam lektsij za vnimanie k dannoj problematike, a takzhe za voprosi i zamechaniya, kotorie pomogli v razrabotke dannogo kursa lektsij..


Iz vvedeniya

Istoki neevklidovoj geometrii

Ideologicheskie predposilki geometricheskogo miroponimaniya bili zalozheni v trudakh R.Dekarta (1596--1650) i I.Kanta (1724--1804), a fizicheskie (eksperimental'nie) -- slozhilis' posle opitov G.Galileya (1564--1642) s telami, padayuschimi s Pizanskoj bashni. Odnako razrabotke sootvetstvuyuschej teorii prepyatstvovali ukorenivshiesya predstavleniya. Tak, prostranstvo schitalos' odnorodnim (odinakovim vo vsekh tochkakh) i izotropnim (odinakovim po vsem napravleniyam), a vremya -- odnorodnim. Ochevidnost' ustoyavshikhsya predstavlenij o mire prakticheski isklyuchala samu vozmozhnost' ego obsuzhdeniya. A kak zhe moglo bit' inache! Ostavalos' tol'ko prinimat' prostranstvo i vremya apriorno zadannimi imenno s takimi svojstvami, chto i proyavilos' v filosofii Kanta. Ponadobilis' veka (esli ne tisyacheletiya) dlya priznaniya vozmozhnosti bolee obschikh prostranstvenno-vremennikh mnogoobrazij, pozvolyayuschikh vklyuchit' v sebya kategoriyu polej perenoschikov vzaimodejstvij.

Istoki idei ob iskrivlennosti prostranstva (tochnee, prostranstva-vremeni) fakticheski voskhodyat k pyatomu postulatu Evklida, kazalos' bi, ne imeyuschemu nikakogo otnosheniya k fizike i, tem bolee, k opisaniyu polej perenoschikov fizicheskikh vzaimodejstvij. Printsipial'no vazhnim momentom zdes' stal analiz logicheskikh osnov evklidovoj geometrii, kotoraya traktovalas' kak edinstvenno vozmozhnaya, apriorno zadannaya. Mnogie matematiki na protyazhenii bolee chem dvukh tisyacheletij somnevalis' v neobkhodimosti etogo postulata, pitalis' ego dokazat' na osnove ostal'nikh aksiom. Suschestvuet mnenie, chto i sam Evklid (III v. do n.e.) ispitival kolebaniya, otnesya ego v razryad postulatov. Inache, chem ob'yasnit', chto material v "Nachalakh" sostoit kak bi iz dvukh chastej: teorem, kotorie dokazivayutsya bez ispol'zovaniya pyatogo postulata (absolyutnaya geometriya), i ryada teorem, opirayuschikhsya na pyatij postulat (sobstvenno evklidova geometriya)? Vidimo, sam Evklid poshel na etot shag, poterpev neudachu v popitkakh dokazatel'stva pyatogo postulata.

Tak ili inache, no v techenie dvukh tisyacheletij bilo predprinyato mnozhestvo popitok dokazat' pyatij postulat. Iz istorii matematiki izvestno, chto razlichnie varianti dokazatel'stv predlagali: Posidonij (I v. do n.e.), Ptolemej (II v. n.e.), Prokl (410--485), Nasireddin (1201--1274), Vallis (1616--1703), Sakkeri (1667--1733), Lambert (1728--1777), Lezhandr (1752--1833), Farkash Boyai (1775--1856) i mnogie drugie. Pri vnimatel'nom rassmotrenii predlozhennikh dokazatel'stv viyasnyalos', chto libo v nikh dopuskalis' logicheskie oshibki, libo po khodu dela predpolagalos' kak ochevidnoe nechto takoe, chto bilo ravnosil'no utverzhdeniyu pyatogo postulata. Naprimer, ego formulirovke ekvivalentni sleduyuschie utverzhdeniya (sm. ris.1):

"Cherez tochku C, lezhaschuyu vne dannoj pryamoj AB, prokhodit tol'ko odna parallel'naya ej pryamaya", t.e. pryamaya, lezhaschaya v odnoj ploskosti s dannoj pryamoj i ne peresekayuschaya ee.

"Summa uglov lyubogo ploskogo treugol'nika ravna dvum pryamim uglam, ili 180o i t.d. Mozhno privesti bol'shoe chislo podobnikh ravnosil'nikh utverzhdenij.

Reshenie problemi, stoyavshej pered chelovechestvom bolee dvukh tisyacheletij, -- vikhod za "gerkulesovi stolpi", -- udalos' najti lish' v pervoj treti XIX veka. Etot vazhnij shag v razvitii nauki svyazan s imenami Nikolaya Ivanovicha Lobachevskogo (1792--1856), Karla Gaussa (1777--1855) i Yanosha Boyai (1802--1860).

Pri nekotorom razlichii ispol'zovannikh metodik, glubini i ob'ema razrabotki problemi sut' sdelannogo otkritiya bila odna, da i khod rassuzhdenij bil blizkim. Stavilsya vopros: chto budet, esli otkazat'sya ot pyatogo postulata, t.e. predpolozhit' protivnoe: pust' cherez odnu tochku C, lezhaschuyu vne dannoj pryamoj AB, prokhodit ne odna, a dve (a sledovatel'no, i beskonechno mnogo) parallel'nikh ej pryamikh? Dal'she zadacha sostoyala v postroenii geometrii s novoj aksiomoj. Raschet bil prost. Esli pyatij postulat predstavlyal soboj teoremu, to v geometrii s izmenennim utverzhdeniem rano ili pozdno dolzhno vstretit'sya protivorechie, chto i budet oznachat' lozhnost' sdelannogo dopuscheniya. Eto i stalo bi dokazatel'stvom pyatogo postulata.

Odnako, razvivaya takuyu geometriyu, avtori ne tol'ko ne obnaruzhili kakikh-libo protivorechij, no, naoborot, dovol'no bistro ubedilis', chto pered nimi razvorachivaetsya novaya strojnaya geometriya s ryadom interesnikh svoeobraznikh svojstv. Okazalos', chto v novoj geometrii summa uglov treugol'nikov men'she 180o i eta velichina zavisit ot linejnikh razmerov treugol'nika. Krome togo, v teorii voznikaet nekij parametr s razmernost'yu dlini, a geometricheskie svojstva sistem zavisyat ot otnosheniya k nemu ikh razmerov, chto privodit, v chastnosti, k otsutstviyu podobnikhfigur. V malikh oblastyakh novaya geometriya prakticheski sovpadaet s geometriej Evklida, no v bol'shikh -- oni otlichayutsya. Lobachevskij nazval svoyu geometriyu "voobrazhaemoj" (ili "pangeometriej") (sm. [s.11--17]bib:11), a Shvejkart -- "zvezdnoj", ili "astral'noj". No delo ne v nazvanii, a v ee otlichii ot geometrii Evklida.

Nesmotrya na uverennost' v svoej pravote, Gaussu, Lobachevskomu, Yanoshu Boyai i drugim ne udalos' najti okonchatel'nogo dokazatel'stva logicheskoj neprotivorechivosti postroennoj geometrii. Odno delo -- otsutstvie protivorechij v geometricheskikh postroeniyakh, dazhe prodvinutikh dostatochno daleko, i ikh logicheskaya strojnost', i sovershenno drugoe -- dokazatel'stvo ikh neprotivorechivosti v novoj teorii voobsche. Okonchatel'noe podtverzhdenie geometriya Lobachevskogo poluchila lish' v 70-kh godakh XIX veka v rabotakh ital'yanskogo geometra Eudzhenio Bel'trami (1835--1900) i nemetskogo matematika Feliksa Klejna (1849--1925). Osnovnaya ideya predlozhennogo dokazatel'stva sostoit v tom, chtobi svesti neevklidovu geometriyu, vpervie postroennuyu kak planimetriya, k geometrii na trekhmernoj giperpoverkhnosti postoyannoj otritsatel'noj krivizni (na trekhmernom giperboloide) v chetirekhmernoj geometrii Evklida. Pri etom nuzhno tol'ko zamenit' ponyatiya pryamikh (kratchajshikh linij v mire Evklida) na geodezicheskie linii (ekstremal'nie krivie) na giperpoverkhnosti. Togda vse utverzhdeniya otnositel'no pryamikh v geometrii Lobachevskogo perejdut v sootvetstvuyuschie utverzhdeniya o svojstvakh takikh linij na giperboloide.

Poskol'ku nevozmozhno naglyadno predstavit' sebe giperbolicheski iskrivlennij trekhmernij mir, eto mozhno proillyustrirovat' s pomosch'yu linij -- giperbol na dvukhmernom giperboloide. Tak, na ris.2 poyasneno obobschenie pyatogo postulata Evklida. Cherez tochku C, ne lezhaschuyu na vibrannoj giperbole AB, prokhodyat dve giperboli, kotorie ne peresekayutsya s AB. Sledovatel'no, vse drugie giperboli, oboznachennie punktirnimi liniyami, ne budut peresekat' AB. Na ris. 2 izobrazhen treugol'nik, obrazovannij peresecheniem trekh giperbol. Legko ponyat', chto summa ego uglov alpha + beta + gamma < 180o.

V silu ukazannikh prichin pervuyu neevklidovu geometriyu (geometriyu Lobachevskogo) v literature chasto nazivayut giperbolicheskoj. Soderzhaschijsya v geometrii Lobachevskogo parametr razmernosti dlini imeet geometricheskij smisl krivizni trekhmernogo giperboloida. Teper' legko ponyat' zavisimost' svojstv geometricheskikh figur ot ikh razmera.


Ob avtore
Yurij Sergeevich VLADIMIROV

Fizik-teoretik, doktor fiziko-matematicheskikh nauk (1976), professor kafedri teoreticheskoj fiziki fizicheskogo fakul'teta MGU, professor Instituta gravitatsii i kosmologii Rossijskogo universiteta druzhbi narodov, akademik RAEN, vitse-prezident Rossijskogo gravitatsionnogo obschestva, glavnij redaktor al'manakha "Metafizika. Vek XXI". Okonchil fizicheskij fakul'tet MGU im. M. V. Lomonosova v 1961 g. Oblast' nauchnikh interesov: klassicheskaya i kvantovaya teoriya gravitatsii, problema ob'edineniya fizicheskikh vzaimodejstvij, mnogomernie modeli fizicheskikh vzaimodejstvij, teoriya pryamogo mezhchastichnogo vzaimodejstviya, teoriya sistem otnoshenij, metafizicheskie i filosofskie problemi teoreticheskoj fiziki. Yu. S. Vladimirov -- avtor ryada monografij, sredi kotorikh: "Sistemi otscheta v teorii gravitatsii" (1982), "Prostranstvo-vremya: yavnie i skritie razmernosti" (1989), "Metafizika" (2002; 2009), "Geometrofizika" (2005), "Osnovaniya fiziki" (2008) i dr.