LIBROS EN LENGUAS EUROPEAS


 
Encuadernación Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии
Id: 189227
 
14.9 EUR

Курс дифференциальной геометрии. Изд.стереотип.

URSS. 432 pp. (Russian). Cartoné. ISBN 978-5-382-01568-2.

В настоящей книге, написанной известным отечественным математиком-геометром П.К.Рашевским, излагается учебный курс дифференциальной геометрии. Курс включает сведения о кривых на плоскости, по теории плоских и пространственных кривых и применениям к ней дифференцирования вектор-функций, а также первоначальные сведения по теории поверхностей с изложением свойств и применений линейчатых и развертывающихся поверхностей и внутренней геометрии поверхностей. В книге также дается краткий очерк по истории дифференциальной геометрии, завершающийся описанием развития советской дифференциально-геометрической научной школы в первой половине XX века.

Книга рекомендуется математикам и механикам --- студентам, аспирантам и научным работникам. Может быть использована в учебном процессе, при самостоятельных занятиях, а также в качестве справочного пособия по дифференциальной геометрии.


Oglavlenie
Predislovie k 3-mu izdaniyu
Vvedenie
I.Pervonachal'nie svedeniya o krivikh na ploskosti
 § 1.Obiknovennie i osobie tochki ploskoj krivoj
 § 2.Stroenie krivoj vblizi obiknovennoj tochki
 § 3.Kasatel'naya i normal' v obiknovennoj tochke. Dekartovi koordinati
 § 4.Kasatel'naya i normal' v obiknovennoj tochke. Parametricheskoe predstavlenie
 § 5.Kasatel'naya i normal' v obiknovennoj tochke. Polyarnie koordinati
 § 6.Stroenie krivoj vblizi osobikh tochek. Osnovnie fakti
 § 7*.Stroenie krivoj vblizi osobikh tochek. Tochnaya teoriya
 § 8.Ogibayuschaya semejstva krivikh
 § 9*.Semejstvo krivikh vblizi dannoj tochki
 § 10.Asimptoti
 § 11*.Asimptota kak predel'noe polozhenie kasatel'noj
 § 12.Asimptoti algebraicheskikh krivikh
II.Differentsirovanie vektor-funktsij i ego prostejshie primeneniya k teorii krivikh
 § 13.Opredelenie proizvodnoj i tekhnika differentsirovaniya
 § 14.Istolkovanie vektor-funktsii kak radius-vektora krivoj v parametricheskom predstavlenii
 § 15.Dostatochnij priznak obiknovennoj tochki
 § 16.Geometricheskij smisl differentsirovaniya vektor-funktsii
 § 17.Differentsial vektor-funktsii
 § 18.Dve lemmi
 § 19.Ryad Tejlora dlya vektor-funktsii
 § 20.Stroenie parametricheski zadannoj krivoj v okrestnosti proizvol'noj tochki
 § 21.Dlina dugi kak parametr
 § 22.Kasanie krivikh
 § 23*.Dopolnitel'nie svedeniya po teorii kasaniya krivikh
III.Teoriya krivizni ploskikh krivikh
 § 24.Soprikasayuschayasya okruzhnost'
 § 25.Postroenie soprikasayuschejsya okruzhnosti predel'nim perekhodom
 § 26.Krivizna
 § 27.Vektori t,n
 § 28.Formuli Frene
 § 29.Evolyuta
 § 30.Evol'venta
 § 31.Natural'noe uravnenie krivoj
IV.Teoriya krivizni prostranstvennikh krivikh
 § 32.Kasatel'nie; normali
 § 33*.Kasanie krivoj s poverkhnost'yu
 § 34.Tochki raspryamleniya
 § 35.Soprikasayuschayasya ploskost'
 § 36.Soprovozhdayuschij trekhgrannik
 § 37.Dve lemmi ob okruzhnosti
 § 38.Soprikasayuschayasya okruzhnost'
 § 39.Krivizna prostranstvennoj krivoj
 § 40.Formuli Frene. Kruchenie
 § 41.Vichislitel'nie formuli dlya krivizni i krucheniya
 § 42.Stroenie krivoj vblizi obiknovennoj tochki
 § 43*.Soprikasayuschayasya sfera
 § 44.Natural'nie uravneniya
V.Pervonachal'nie svedeniya po teorii poverkhnostej
 § 45.Krivolinejnie koordinati na poverkhnosti
 § 46.Krivie na poverkhnosti
 § 47.Pervaya osnovnaya kvadratichnaya forma
 § 48.Vtoraya osnovnaya kvadratichnaya forma na poverkhnosti
 § 49.Osnovnaya formula dlya krivizni krivoj na poverkhnosti
 § 50.Teorema Men'e
 § 51.Linejnaya vektor-funktsiya na ploskosti
 § 52.Sobstvennie napravleniya i sobstvennie znacheniya
 § 53.Osnovnaya vektor-funktsiya i glavnie napravleniya
 § 54.Issledovaniya krivizni normal'nikh sechenij
 § 55.Formula Ejlera. Glavnie krivizni
 § 56.Vichislenie glavnikh krivizn i glavnikh napravlenij
 § 57.Tri tipa tochek na poverkhnosti
 § 58.Vichislitel'nie formuli
 § 59.Linii krivizni
 § 60.Asimptoticheskie linii
 § 61.Tret'ya osnovnaya kvadratichnaya forma. Sopryazhennie napravleniya
 § 62*.Zavisimost' mezhdu tremya osnovnimi kvadratichnimi formami
 § 63.Sfericheskoe otobrazhenie poverkhnosti
VI.Linejchatie i razvertivayuschiesya poverkhnosti
 § 64.Ponyatie o linejchatikh i razvertivayuschikhsya poverkhnostyakh
 § 65.Gorlovaya tochka
 § 66.Gorlovaya liniya. Stroenie razvertivayuschejsya poverkhnosti
 § 67*.Parametr raspredeleniya
 § 68.Ogibayuschaya semejstva poverkhnostej ot odnogo parametra
 § 69.Razvertivayuschayasya poverkhnost' kak ogibayuschaya semejstva ploskostej
 § 70*.Rebro vozvrata ogibayuschej semejstva ploskostej
 § 71*.Asimptoticheskie linii i polnaya krivizna linejchatoj poverkhnosti
 § 72.Razvertivayuschiesya poverkhnosti kak poverkhnosti nulevoj polnoj krivizni
 § 73*.Ortogonal'nie traektorii razvertivayuschikhsya poverkhnostej
 § 74.Geometricheskie svojstva linij krivizni
 § 75*.Sopryazhennie seti na poverkhnosti
VII.Vnutrennyaya geometriya poverkhnosti
 § 76.Ponyatie ob izgibanii
 § 77.Vnutrennyaya geometriya i izgibanie poverkhnosti
 § 78.Indeksnie oboznacheniya
 § 79.Derivatsionnie formuli pervoj gruppi
 § 80*.Derivatsionnie formuli vtoroj gruppi
 § 81*.Rol' vtoroj kvadratichnoj formi
 § 82.Teorema Gaussa
 § 83*.Formuli Petersona--Kodatstsi
 § 84*.Vektori na poverkhnosti
 § 85*.Gradient skalyarnogo polya na poverkhnosti
 § 86*.Parallel'noe perenesenie vektorov na poverkhnosti
 § 87*.Svojstva parallel'nogo pereneseniya
 § 88.Normal'naya i geodezicheskaya krivizna krivoj na poverkhnosti
 § 89.Vichislenie geodezicheskoj krivizni
 § 90.Geodezicheskie linii na poverkhnosti
 § 91*.Geodezicheskie linii s tochki zreniya parallel'nogo pereneseniya na poverkhnosti
 § 92*.Polugeodezicheskaya sistema koordinat na poverkhnosti
 § 93*.Ekstremal'noe svojstvo geodezicheskikh
 § 94*.Ob izgibanii poverkhnostej nepostoyannoj krivizni
 § 95*.Sluchaj poverkhnostej, izgibaemikh v poverkhnosti vrascheniya
 § 96*.Ob izgibanii poverkhnostej postoyannoj polnoj krivizni
 § 97*.Poverkhnosti vrascheniya postoyannoj krivizni
 § 98*.Obnesenie vektora po zamknutomu konturu
Kratkie istoricheskie svedeniya
Alfavitnij ukazatel'

Vvedenie

Khotya v matematike obichno ochen' trudno sostavit' sebe obschee predstavlenie o dannoj oblasti do znakomstva s nej po suschestvu, dadim vse zhe v samikh obschikh chertakh kharakteristiku predmeta differentsial'noj geometrii.

Kak izvestno, analiticheskaya geometriya osnovana na sopostavlenii: kazhdoj tochke prostranstva -- trekh chisel (koordinat); kazhdoj poverkhnosti -- uravneniya, svyazivayuschego tekuschie koordinati; kazhdoj krivoj -- dvukh takikh uravnenij. Blagodarya etomu geometricheskie fakti mogut bit' perevedeni na yazik algebri, geometricheskie zadachi mogut bit' resheni priemami algebri, posle chego rezul'tat pri pomoschi obratnogo perekhoda vnov' istolkovivaetsya na geometricheskom yazike. Osnovnaya ideya zdes', ochevidno, zaklyuchaetsya v tom, chtobi zastavit' sil'nij i dejstvennij algorifm algebri regulyarnim obrazom rabotat' dlya geometricheskikh tselej. Pri etom progress virazhaetsya ne tol'ko i ne stol'ko v tom, chto starie zadachi reshayutsya bolee sovershennim analiticheskim metodom, skol'ko v vozmozhnosti neizmerimo rasshirit' samij krug geometricheskikh problem po sravneniyu s problemami, dostupnimi elementarnomu podkhodu. Differentsial'naya geometriya oznachaet analogichnoe ispol'zovanie v geometricheskikh tselyakh apparata differentsial'nogo ischisleniya. Pri etom snova tsentr tyazhesti lezhit v sozdanii novoj oblasti geometricheskogo issledovaniya, kuda pozvolyaet proniknut' primenenie novogo algorifma. Chtobi otdat' sebe otchet, chem kharakterizuetsya eta oblast' -- oblast' differentsial'noj geometrii, -- nuzhno vspomnit', gde i kak voobsche nakhodit sebe primenenie apparat analiza beskonechno malikh. Chtobi privesti elementarnij primer, rassmotrim pryamolinejnoe, no neravnomernoe dvizhenie tochki po zakonu s=s(t), virazhayuschemu projdennij put' v zavisimosti ot vremeni. Izuchim eto dvizhenie za beskonechno malij promezhutok vremeni ot t do t+. Togda, kak izvestno iz differentsial'nogo ischisleniya, projdennij za vremya put' budet virazhat'sya velichinoj

=s'(t)+,

gde s'(t) -- proizvodnaya, a stremitsya k nulyu vmeste s. Mi zamechaem, chto esli prenebrech', beskonechno maloj visshego poryadka po otnosheniyu k, to zavisimost' ot  okazhetsya linejnoj s koeffitsientom s'(t), t.e. dvizhenie mozhno schitat' ravnomernim, s postoyannoj skorost'yu s'(t).

Eta zhe ideya lezhit v osnove vsekh prilozhenij differentsial'nogo ischisleniya: slozhnie zavisimosti stanovyatsya v beskonechno malom linejnimi, neravnomernie protsessi -- ravnomernimi i t.d., esli prenebrech' beskonechno malimi visshikh poryadkov. Mi poluchaem vozmozhnost' izuchat' interesuyuschie nas zavisimosti v chrezvichajno uproschennom vide, pravda, lish' v beskonechno malom. No, vo-pervikh, eto i samo po sebe bivaet vazhno (v ukazannom primere mi prishli k vichisleniyu mgnovennoj skorosti putem differentsirovaniya puti po vremeni), vo-vtorikh, integral'noe ischislenie daet nam vozmozhnost' vernut'sya, gde eto nuzhno, k otsenke protsessa v tselom.

Differentsial'naya geometriya yavlyaetsya osuschestvleniem etoj zhe idei v oblasti geometrii. Drugimi slovami, geometricheskie ob'ekti -- linii i poverkhnosti -- budut izuchat'sya nami s tochki zreniya ikh stroeniya v beskonechno malikh kuskakh. I eto "mikroskopicheskoe issledovanie" obnaruzhit nam ryad strojnikh zakonomernostej, ne vidimikh prostim glazom i obnaruzhivayuschikhsya lish' v beskonechno malom. Voznikaet novij moschnij metod issledovaniya geometricheskikh ob'ektov, bolee otchetlivoe predstavlenie o kotorom mi poluchim pri izuchenii ego po suschestvu.

Sdelaem esche odno predvaritel'noe zamechanie. Tak kak suschnost' metoda svyazana s primeneniem differentsial'nogo ischisleniya, to mi ne dolzhni bit' svyazani kakimi-libo ogranicheniyami v smisle differentsiruemosti rassmatrivaemikh funktsij. Esli ne ogovoreno protivnoe, mi budem raz navsegda predpolagat', chto vse rassmatrivaemie funktsii odnoznachni i differentsiruemi, prichem imeyut neprerivnie proizvodnie do lyubogo poryadka, kotorij mozhet nam ponadobit'sya. Otmetim takzhe, chto na protyazhenii vsej knigi rassmatrivayutsya isklyuchitel'no veschestvennie peremennie.


Predislovie k 3-mu izdaniyu

Pri podgotovke k 3-mu izdaniyu uchebnik podvergsya znachitel'noj pererabotke, glavnim obrazom s tsel'yu nekotorikh uluchshenij v metodike izlozheniya, v raspolozhenii i planirovke materiala, v vibore dokazatel'stv i t.d. Osobennoe vnimanie bilo obrascheno na otchetlivoe videlenie osnovnogo, minimal'nogo materiala kursa. Dlya etogo vse ostal'nie temi (a oni, kak pravilo, blizko primikayut k minimal'nomu materialu i mogut bit' v tom ili inom vibore prisoedinyaemi k nemu) otneseni v paragrafi, otmechennie zvezdochkoj.

Chto zhe kasaetsya samikh fakticheskikh svedenij, soobschaemikh v kurse, to zdes' izmeneniya neznachitel'ni. Imeyutsya lish' otdel'nie nebol'shie dobavleniya: osobie tochki v sluchae parametricheskogo predstavleniya krivoj; postroenie soprikasayuschejsya okruzhnosti predel'nim perekhodom; parametr raspredeleniya i gorlovaya liniya linejchatoj poverkhnosti.

K kursu prisoedineni takzhe istoricheskie svedeniya.

Schitayu svoim dolgom virazit' glubokuyu priznatel'nost' redaktoru knigi A.Z.Rivkinu za ego isklyuchitel'no dobrosovestnuyu rabotu nad tekstom i sdelannie im tsennie zamechaniya.

Avtor

El autor
Rashevskij Petr Konstantinovich
Vidayuschijsya sovetskij matematik-geometr. Doktor fiziko-matematicheskikh nauk, professor Moskovskogo gosudarstvennogo universiteta imeni M. V. Lomonosova. Okonchil MGU. Vospitannik shkoli V. F. Kagana. Prepodaval v Moskovskom energeticheskom institute i v Moskovskom pedagogicheskom institute. Do kontsa zhizni zavedoval kafedroj differentsial'noj geometrii mekhaniko-matematicheskogo fakul'teta MGU.

P. K. Rashevskij — avtor mnogikh fundamental'nikh rabot po razlichnim razdelam geometrii: rimanovoj, affinnoj, differentsial'noj, po sozdannoj im polimetricheskoj geometrii, aksiomatike proektivnoj geometrii odnorodnikh prostranstv, svyazannoj s gruppami Li, i drugim. Im bili napisani uchebniki i monografii v oblasti geometrii i matematicheskoj fiziki: "Rimanova geometriya i tenzornij analiz" (M.: URSS), "Kurs differentsial'noj geometrii" (M.: URSS), "Geometricheskaya teoriya uravnenij s chastnimi proizvodnimi" (M.: URSS), "Teoriya spinorov" (M.: URSS). Pervie dve knigi perevedeni na ispanskij yazik. Ucheniki P. K. Rashevskogo, vkhodivshie v sozdannuyu im shkolu, razvivali takzhe teoriyu odnorodnikh prostranstv, metodi variatsionnogo ischisleniya.