Samarski A.A., Vabischévich P.N., Samárskaya E.A. Métodos numéricos.
Guía de resolución de problemas

Índice

Prólogo

Un curso de métodos numéricos es fundamental en la formación de especialistas en matemática aplicada y matemática computacional. En él se exponen las bases de los métodos numéricos de resolución de problemas de álgebra, análisis matemático, ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales, y se estudian con la profundidad necesaria problemas relacionados con la construcción y argumentación teórica de algoritmos de cálculo. Se plantea y resuelve el problema de la preparación de los estudiantes para la aplicación práctica de los métodos numéricos a la resolución de problemas.

El curso de métodos numéricos debe desarrollarse tanto en el aspecto teórico como en el práctico. La consolidación del material básico teórico se lleva a cabo en las clases de métodos numéricos. El hábito del empleo correcto de los métodos numéricos se adquiere en la práctica computacional. Utilizando las bibliotecas modernas de análisis numérico para computadoras, se puede efectuar un análisis de la potencia de los algoritmos de cálculo en la resolución de problemas estándares. La gran dotación técnica y el aumento de las posibilidades de las técnicas de cálculo permiten enriquecer considerablemente el contenido de la práctica computacional de métodos numéricos.

La presente guía de estudio tiene por objetivo reforzar en los estudiantes el material teórico del curso de métodos numéricos. Las clases prácticas y las tareas individuales están dirigidas a la formación de hábitos de construcción de algoritmos de cálculo para la resolución de problemas básicos de análisis numérico y de investigación de las propiedades de los algoritmos (precisión, estabilidad, número de operaciones aritméticas, etcétera.).

Este libro está construido según el esquema siguiente. Se destacan las secciones relativamente independientes del análisis numérico. Se estudian en capítulos separados la interpolación y aproximación de funciones, la integración numérica, los métodos directos e iterativos del álgebra lineal, los problemas espectrales del álgebra lineal, los sistemas de ecuaciones no lineales, los problemas de la minimización de las funciones, las ecuaciones integrales, los problemas de contorno y problemas de condiciones iniciales para ecuaciones ordinarias,y los problemas estacionarios y no estacionarios de las ecuaciones en derivadas parciales.

Cada capítulo (tema de análisis numérico) comienza con la formulación del problema y la exposición de los hechos fundamentales para la construcción y análisis de los algoritmos de cálculo para esa clase de problemas. Este material no pretende abarcar todo el contenido del análisis numérico, sino, simplemente, orientar al lector durante el estudio del material del curso de métodos numéricos. Se proporcionan, asimismo, bastantes problemas con soluciones (ejemplos) de carácter demostrativo. Se presta especial atención a los problemas para resolver individualmente. En una serie de casos los problemas están formulados de un modo bastante general que permite analizarlos con diferente profundidad.

La preparación de este manual de problemas y ejercicios de métodos numéricos fue analizada ampliamente y con mucho interés en la cátedra de métodos numéricos de la facultad de matemática computacional y cibernética de la Universidad Estatal de Moscú M.V.Lomonósov durante largo tiempo. En particular, fueron útiles para nosotros las observaciones constructivas hechas por A.V.Gulin y E.S.Nikoláev. Los autores estarán muy agradecidos por las observaciones sobre nuestro trabajo, y especialmente por las sugerencias relacionadas con aclaraciones de los problemas.