1 | Números complejos y funciones |
| 1.1. | Números complejos |
| | 1.1.1. | Números planos |
| | 1.1.2. | Resolución de ecuaciones cuadráticas y diferentes tipos de números planos |
| | 1.1.3. | Números espaciales |
| | 1.1.4. | Propiedades de los números complejos |
| | 1.1.5. | Forma trigonométrica de un número complejo |
| | 1.1.6. | Punto del infinito y plano complejo ampliado. Esfera de Riemann |
| 1.2. | Sucesiones |
| | 1.2.1. | Límite de una sucesión |
| | 1.2.2. | Subsucesiones y puntos límite |
| 1.3. | Series |
| | 1.3.1. | Definición de serie |
| | 1.3.2. | Operaciones con series |
| 1.4. | Topología del plano complejo |
| | 1.4.1. | Conjuntos abiertos, entornos y topología |
| | 1.4.2. | Puntos de adherencia. Adherencia |
| | 1.4.3. | Conjuntos compactos |
| | 1.4.4. | Regiones |
| 1.5. | Funciones de variable compleja |
| | 1.5.1. | Funciones estudiadas en el análisis complejo |
| | 1.5.2. | Límite de una función |
| | 1.5.3. | Funciones continuas |
| 1.6. | Georg Riemann |
| 1.7. | Teorema fundamental del álgebra |
| 1.8. | Interpretación de los números complejos según Florienski |
| 1.9. | Los genios también se equivocan |
2 | Dinámica compleja y compresión fractal de la información |
| 2.1. | Fractales |
| | 2.1.1. | Iteraciones |
| | 2.1.2. | Conjuntos de Mandelbrot y de Julia |
| | 2.1.3. | Fractales |
| 2.2. | Construcción de fractales sobre la base de su autosemejanza |
| | 2.2.1. | El triángulo de Sierpinski |
| | 2.2.2. | El copo de nieve de Koch |
| 2.3. | Compresión fractal de la información |
| | 2.3.1. | Compresión de la información |
| | 2.3.2. | Idea de la compresión fractal de una imagen |
| 2.4. | Fundamentos matemáticos de la compresión fractal |
| | 2.4.1. | Espacio métrico |
| | 2.4.2. | Teorema del punto fijo de Banach |
| | 2.4.3. | Métrica de Hausdorff |
| 2.5. | Algoritmo de compresión fractal de una imagen |
| | 2.5.1. | Construcción de un algoritmo |
| | 2.5.2. | Algoritmo de descompresión |
3 | Funciones analíticas |
| 3.1. | Definición de función analítica |
| 3.2. | Derivadas parciales de las funciones de variable real |
| 3.3. | Condiciones de Cauchy–Riemann |
| 3.4. | Aplicaciones conformes |
| | 3.4.1. | Curvas del plano complejo |
| | 3.4.2. | Conservación de los ángulos |
| | 3.4.3. | Conservación de las dilataciones |
| | 3.4.4. | Aplicaciones conformes |
| 3.5. | Series de potencias |
| | 3.5.1. | Definición de serie de potencias |
| | 3.5.2. | Radio de convergencia |
| | 3.5.3. | Adición y multiplicación de series de potencias |
| 3.6. | Representación de las funciones analíticas en forma de una serie de potencias |
| 3.7. | Las funciones ez, sen z, cos z |
4 | Integral de Cauchy |
| 4.1. | Definición de la integral de Cauchy |
| | 4.1.1. | Propiedades de la integral de Cauchy |
| | 4.1.2. | Integral de Cauchy como suma de integrales curvilíneas de segunda especie |
| 4.2. | Teorema de Cauchy |
| | 4.2.1. | Regiones múltiplemente conexas y simplemente conexas |
| | 4.2.2. | Teorema de Cauchy |
| | 4.2.3. | Generalización del teorema de Cauchy |
| 4.3. | Cálculo de integrales complejas |
| | 4.3.1. | Función primitiva |
| | 4.3.2. | Fórmulas para el cálculo de integrales complejas |
| 4.4. | Fórmula integral de Cauchy |
| 4.5. | Augustin Louis Cauchy |
5 | Series de Laurent y puntos singulares |
| 5.1. | Serie de Laurent |
| 5.2. | Puntos singulares |
| | 5.2.1. | Clasificación de los puntos singulares |
| | 5.2.2. | Comportamiento de una función en un entorno de un punto singular esencial |
| | 5.2.3. | Series de Laurent en un entorno de un punto singular |
| | 5.2.4. | Serie de Laurent en el punto del infinito |
| 5.3. | Funciones enteras y funciones meromorfas |
| | 5.3.1. | Funciones enteras |
| | 5.3.2. | Funciones meromorfas |
6 | Teoría de señales |
| 6.1. | Definición de señal |
| 6.2. | Análisis armónico de señales |
| | 6.2.1. | Desarrollo de una señal periódica en armónicos |
| | 6.2.2. | Desarrollo de una señal no periódica en armónicos |
| | 6.2.3. | Energía y espectro energético de una señal |
| 6.3. | Filtros y filtración de señales |
| 6.4. | Transformación de Laplace |
| | 6.4.1. | Imagen del producto de dos originales |
| | 6.4.2. | Paso a la transformación de Fourier |
7 | Residuos |
| 7.1. | Concepto de residuo |
| 7.2. | Fórmulas para el cálculo de residuos |
| 7.3. | Aplicación de los residuos al cálculo de integrales |
| 7.4. | Cálculo de integrales definidas de funciones de variable real |
8 | Conservación de la información y discretización de señales |
| 8.1. | Discretización de una señal |
| 8.2. | Espectro de una señal discretizada. Teorema de Kotiélnikov |
| 8.3. | Serie de Kotiélnikov |
9 | Funciones especiales complejas |
| 9.1. | La función zeta de Riemann y los números primos |
| | 9.1.1. | Distribución de los números primos |
| | 9.1.2. | La hipótesis de Riemann |
| 9.2. | Funciones L de Dirichlet |
| | 9.2.1. | Hipótesis generalizada de Riemann |
| | 9.2.2. | Criptografía, criptoanálisis e hipótesis generalizada de Riemann |
| 9.3. | Función delta de Dirac |
| 9.4. | Oliver Heaviside |
10Informática cuántica |
| 10.1. | Arquitectura básica de una computadora |
| 10.2. | Elementos lógicos |
| | 10.2.1.Elemento no clásico "sqrt(NO)" |
| | 10.2.2. | Elementos lógicos cuánticos: puertas |
| | 10.2.3.Cálculos cuánticos paralelos |
| 10.3.Mecánica cuántica "ingenua" |
| | 10.3.1. | Estados |
| | 10.3.2.Principios de la mecánica cuántica "ingenua" |
| 10.4. | Computadora cuántica |
| 10.5. | Esquema de funcionamiento de una computadora cuántica |
| | 10.5.1. | Entrada de los datos iniciales |
| | 10.5.2. | Cálculo |
| | 10.5.3. | Salida de los resultados |
| 10.6. | Criptografía cuántica |
| 10.7. | Iuri Manin |
| 10.8. | David Deustch |
| 10.9.Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica |
| | 10.9.1. | Espacio de Hilbert |
| | 10.9.2. | Vectores bras y kets |
| | 10.9.3. | Operadores lineales |
| | 10.9.4.Postulados de la mecánica cuántica |
| | 10.9.5.Interpretación de Everett de la mecánica cuántica |
Bibliografía |
Índice de autores |
Índice de materias |
Terminó sus estudios en la
Universidad Estatal de Novosibirsk. Matemático, Doctor en
Ciencias Físico-Matemáticas. Profesor de análisis matemático.
Jefe del Departamento de Cibernética de la
Universidad Estatal de Omsk. Decano de la
Facultadla Facultad de Ciencias Computacionales.