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 "La atención del lector debe estar dirigida no a refinamientos teóricos como, por ejemplo, la teoría de conjuntos o la teoría de límites, sino a los resultados matemáticos principales que se forjaron en el transcurso de milenios". Académico AC URSS L. S. Pontriaguin
"Los libros reflejarán mis preferencias y mi punto de vista personal sobre la matemática formados en el transcurso de muchos años de trabajo. Además, tendrán en cuenta mis propios recuerdos sobre las posibilidades de percepción de los jóvenes, a fin de que las nuevas generaciones, a partir ya de los últimos cursos de la escuela, puedan familiarizarse con la matemática superior, y adquirir desde un principio un gusto sano y correcto respecto a la misma". La serie
Método de coordenadas Análisis infinitesimal Álgebra Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones "Para leer este libro no es necesario haber concluido el ciclo de la enseñanza media. Las fórmulas de la matemática elemental que se necesitan (como, por ejemplo, la suma de una progresión geométrica y el binomio de Newton) se demuestran en el texto. Esto significa que el libro es accesible a los estudiantes preuniversitarios. Sin embargo, debe tenerse en cuenta que su lectura no es fácil y requiere cierta cultura matemática. La esperanza del autor es que este libro sirva como "antídoto" contra el "envenenamiento" causado por la teoría de conjuntos. En los últimos años esta teoría ha sido introducida con insistencia en el programa de matemática de las escuelas de enseñanza media. Los autores de este programa afirman que la teoría de conjuntos es un nuevo logro de la matemática que es importante para el progreso científico-técnico. A decir verdad, la teoría de conjuntos no es un nuevo logro de la matemática y no tiene nada en común con el progreso científico-técnico. Al contrario, la ideología de la teoría de conjuntos conduce a tales monstruosidades como la sustitución de la "igualdad de figuras geométricas" por la "congruencia de figuras geométricas" y la definición de vector como "un desplazamiento paralelo del espacio"". Índice
Prólogo
La obra que el lector tiene en sus manos forma parte de la serie Primera Cita con la Matemática Superior, ideada por el eminente matemático soviético Liev Semiónovich Pontriaguin (1908–1988). El objetivo que esta serie persigue está resumido en las siguientes palabras de su autor: "Estos libros están dedicados al estudio de los resultados más importantes de la matemática superior clásica. La elección del material y el orden en que éste se imparte no corresponden a ningún programa de estudios. Los libros reflejarán mis preferencias y mi punto de vista personal sobre la matemática formados en el transcurso de muchos años de trabajo. Además, tendrán en cuenta mis propios recuerdos sobre las posibilidades de percepción de los jóvenes, a fin de que las nuevas generaciones, a partir ya de los últimos cursos de la escuela, puedan familiarizarse con la matemática superior, y adquirir desde un principio un gusto sano y correcto respecto a la misma. La atención del lector debe estar dirigida no a refinamientos teóricos como, por ejemplo, la teoría de conjuntos o la teoría de límites, sino a los resultados matemáticos principales que se formaron en el transcurso de milenios". El presente libro está dedicado a la exposición de los hechos fundamentales del análisis matemático. La exposición se desarrolla de manera que en todas partes donde esto es posible se consideran al mismo tiempo los casos real y complejo. En primer lugar esto está relacionado con la definición de convergencia de sucesiones y series, en particular, de series de potencias. Del mismo modo, la derivada se define simultáneamente para las funciones de variable real y de variable compleja, lo que es posible por ser esta definición formalmente la misma en ambos casos. El concepto de función primitiva también se define para las funciones de variable real y de variable compleja al mismo tiempo. Se demuestra que dos primitivas de una misma función sólo se diferencian en una constante. Este modo de exposición permite de una manera relativamente fácil obtener los resultados fundamentales de la teoría de funciones de variable compleja. Éste es el tema del cuarto capítulo, que es el punto culminante del libro. En este capítulo se han incluido los resultados más importantes relacionados con las funciones de variable compleja, como son la serie de Laurent y el comportamiento de una función analítica en un entorno de un punto singular aislado. Los problemas del análisis matemático que forman la denominada teoría de funciones de variable real han sido relegados a un segundo plano y no se exponen juntos, sino que han sido distribuidos por todo el libro y aparecen sólo en los lugares donde son necesarios. El estudio de la función exp(z) de la variable compleja z, definida por la serie de potencias exp(z)=1+z/1+z2/(1x2)+...+zn/(n!)+..., ocupa el lugar central en el primer capítulo. Se demuestra que para los números reales z = x se cumple la igualdad exp(x)=ex, y que para los números imaginarios puros z = iy es válida la fórmula exp(iy)=cos y + i sen y. De este modo, sin utilizar el cálculo diferencial, se obtiene el desarrollo en series de potencias de las funciones trascendentes fundamentales: exp(x), cos y, sen y. Es necesario prestar atención a la siguiente circunstancia. Cuando se demuestra que cierta función se desarrolla en serie de potencias, es suficiente demostrar que esta serie converge a cierto número, es decir, al valor de la función. Si se quiere definir la propia función mediante esta serie (véase, por ejemplo, la fórmula (pro:01)), entonces es necesario demostrar que la serie es convergente, para lo cual se debe aplicar el criterio de convergencia de Cauchy y dar una definición exacta de número. Todo esto se explica en el primer capítulo. En el capítulo 2 se dan a conocer los resultados principales del cálculo diferencial. En primer lugar el concepto de derivada se define simultáneamente para las funciones de variable real y de variable compleja. A continuación se introduce la integración como la operación inversa a la derivación. Este capítulo concluye con la demostración de la fórmula de Taylor con resto en forma integral. El capítulo 3 está dedicado al cálculo integral. Al inicio la integral se define intuitivamente como el área limitada por un gráfico y se demuestra que la integral definida de esta manera es la función primitiva de la función que define el gráfico. Más adelante la integral se define rigurosamente como el límite de una sucesión de sumas finitas. Éste es en lo fundamental el contenido del libro. La introducción se divide en dos secciones. En la primera se recuerdan algunos conceptos elementales que se pueden encontrar en el libro Método de coordenadas, el cual también forma parte de la serie Primera Cita con la Matemática Superior. En la segunda sección ("Reseña histórica") se describe brevemente el desarrollo histórico del análisis matemático. Para leer este libro no es necesario haber terminado la escuela de enseñanza media. Las fórmulas de la matemática elemental que son necesarias, como la suma de una progresión geométrica y el binomio de Newton, se demuestran aquí. Esto significa que el libro es accesible a los estudiantes preuniversitarios. Sin embargo, debe tenerse en cuenta que su lectura no es fácil y requiere cierta cultura matemática. La esperanza del autor es que este libro sirva de "antídoto" contra el "envenenamiento" causado por la teoría de conjuntos. En los últimos años esta teoría ha sido introducida con insistencia en el programa de matemática de las escuelas de enseñanza media. Los autores de este programa afirman que la teoría de conjuntos es un nuevo logro de la matemática que es importante para el progreso científico-técnico. A decir verdad, la teoría de conjuntos no es un nuevo logro de la matemática y no tiene nada en común con el progreso científico-técnico. Al contrario, la ideología de la teoría de conjuntos conduce a tales monstruosidades como la sustitución de la "igualdad de figuras geométricas" por la "congruencia de figuras geométricas" y la definición de vector como "un desplazamiento paralelo del espacio". Sobre el autor
Eminente matemático soviético, miembro de la Academia de Ciencias de la URSS (AC URSS) y miembro honorífico de la Academia de Ciencias de Hungría. Doctor en Ciencias Físico-Matemáticas. Héroe del Trabajo Socialista (1969), tres veces Laureado con el Premio Lenin y dos veces con el Premio Estatal de la URSS. Fue galardonado con el Premio Internacional ``Lobachevski'' y con la orden de la ``Revolución de Octubre''. Liev Semiónovich Pontriaguin nació el 3 de septiembre de 1908 en Moscú. A la edad de 13 años perdió la vista en un accidente. En 1929 finalizó sus estudios en la Universidad Estatal de Moscú ``M. V. Lomonósov'', donde se desempeñу como profesor desde 1930. A partir de 1939 ocupó paralelamente el cargo de jefe de la sección de ecuaciones diferenciales ordinarias del Instituto de Matemática ``V. A. Steklov'' de la AC URSS. L. S. Pontriaguin es una de las cimas de la matemática del siglo XX. Sus trabajos fueron especialmente relevantes en los campos de la teoría de las ecuaciones diferenciales, la topología, la teoría de oscilaciones, la teoría de control, el cálculo variacional y el álgebra. En topología el autor descubrió la ley general de dualidad, en relación con la cual construyó la teoría de caracteres de los grupos continuos. Asimismo, obtuvo una serie de resultados importantes en la teoría de homotopías (clases de Pontriaguin). Los trabajos más importantes de Pontriaguin en teoría de oscilaciones están relacionados con la asintótica de las oscilaciones de relajación. En la teoría de control es considerado el creador de la teoría matemática de los procesos óptimos, en cuya base se encuentra el famoso "principio de máximo de Pontriaguin". También obtuvo resultados importantes en el cálculo variacional, en la teoría de juegos diferenciales, en la teoría de la dimensión y en la teoría de regulación. Los trabajos de la escuela de Pontriaguin ejercieron una gran influencia a nivel mundial en el desarrollo de la teoría de control y del cálculo variacional. |
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