|
Índice
Cómo surgió la geometría de Lobachevski
El quinto postulado de Euclides El surgimiento de la geometría data de la Antig\"uedad y está ligado ante todo con la actividad práctica del hombre. Los trabajos de geometría más antiguos que han llegado hasta nuestros días fueron escritos en el antiguo Egipto en el segundo milenio antes de Nuestra Era. En ellos podemos encontrar las reglas de cálculo de las áreas y volфmenes de algunos cuerpos y figuras simples. Estas reglas fueron obtenidas prácticamente, sin demostración de su validez. El centro de desarrollo de la geometría entre los siglos VII y I a.C. se traslada a Grecia. Durante este período se acumulan conocimientos relacionados con las relaciones existentes entre los lados y ángulos de un triángulo, se estudian las áreas y los volфmenes, las proporciones y la semejanza, la resolución de problemas de construcción, etcétera. Aparecen demostraciones lógicas de diferentes afirmaciones, con un nivel de rigurosidad relativamente alto. En este período, las investigaciones geométricas estuvieron relacionadas con los nombres de Tales de Mileto (siglo VI a.C.), Pitágoras de Samos (siglo V a.C.), Demócrito (siglo V a.C.), Eudoxo de Cnido (siglo IV a.C.) y otros. Los principios fundamentales del método deductivo en la ciencia fueron formulados por primera vez claramente por Aristóteles (siglo IV a.C.). ыl seчaló que la demostración de una u otra afirmación se basa en resultados anteriormente demostrados. Por tanto, las afirmaciones a partir de las cuales se comienza a desarrollar una ciencia no pueden ser demostradas lógicamente, ellas deben ser aceptadas sin demostración, y se denominan axiomas. Estas ideas de Aristóteles encontraron su materialización en la famosa obra de Euclides "Elementos" (cerca del aчo 300 a.C.). En este trabajo se formula una cantidad relativamente pequeчa de postulados y axiomas geométricos de los cuales se deducen casi todos los teoremas conocidos en aquella época. Se debe seчalar que, como resultado de investigaciones posteriores sobre esta temática, se aclaró que la lista de axiomas de Euclides era incompleta, es decir, algunos de los axiomas necesarios para construir la geometría no fueron formulados por Euclides (la lista completa de axiomas de la planimetría se puede encontrar en el apéndice al final del libro). He aquí los postulados y axiomas de Euclides. Se debe exigir: [)] que se pueda trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera; [ 2)] y que se pueda prolongar continuamente una recta finita en línea recta; [ 3)] y que se pueda trazar una circunferencia de cualquier radio con centro en cualquier punto; [ 4)] que todos los ángulos rectos sean iguales entre sí; [ 5)] y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas, al ser prolongadas indefinidamente, se encontrarán en el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos. Los Quinto postulado axiomas: [ 1)] Cosas iguales a una tercera son iguales entre sí. [ 2)] Si a cosas iguales se aчaden cosas iguales, los totales son iguales también. [ 3)] Si a cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales también. [ 4)] Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí. Si se analizan los axiomas de Euclides, es fácil notar que el quinto postulado se diferencia de los demás: su formulación es más compleja y menos intuitiva. Claro está, se puede sustituir el quinto postulado por otro axioma de formulación más simple. Por ejemplo, se puede sustituir, como se hace en la mayoría de los libros de texto escolares, por el siguiente: Por un punto que no se encuentra en una recta dada pasa una sola recta paralela a la recta dada. Sin embargo, incluso en esta formulación, es evidente que el quinto postulado sigue siendo menos intuitivo que los restantes axiomas de Euclides e, incluso, algunos de los teoremas más simples (el teorema sobre la suma de los ángulos adyacentes, por ejemplo). Por esta razón, surge una pregunta: ?`no será el quinto postulado un teorema que Euclides no supo demostrar y lo introdujo en la lista de axiomas? Durante casi veinte siglos los esfuerzos de cientos de geómetras estuvieron dirigidos a la solución de este problema. Sin embargo, todos los intentos de demostrar el quinto postulado fueron infructuosos: o bien en las demostraciones propuestas había errores, o bien el quinto postulado se sustituía por un axioma equivalente a este postulado. Veamos algunos ejemplos. En su demostración del quinto postulado, el científico griego Posidonio (siglo I a.C.) se basaba en un nuevo axioma: Proclo, científico de la antigua Grecia (siglo V d.C.), partía de que El poeta y científico persa Omar Jayyam (1048–1131) en sus análisis se basaba en que Pero esto, evidentemente, es un nuevo axioma. La cantidad de ejemplos similares es inmensa. Hacia inicios del siglo XIX, las investigaciones sobre la demostración del quinto postulado de Euclides formaban ya una vasta biblioteca; sin embargo, el problema no fue resuelto. El фnico resultado de estas investigaciones fue una larga lista de afirmaciones equivalentes al quinto postulado. He aquí algunas de ellas: Hacia el comienzo del siglo XIX, la opinión reinante entre la mayoría de los geómetras en relación con el problema del quinto postulado de Euclides era sumamente pesimista. En el aчo 1823, en una carta a su hijo János Bolyai, el matemático hфngaro Farkas Bolyai escribió: "Esta profunda tiniebla puede tragarse a miles de gigantes de la estatura de Newton, y nunca será aclarada en nuestro mundo". Por lo visto este punto de vista estaba muy difundido entre sus contemporáneos. Por otra parte, ya en el siglo XVIII algunos geómetras comienzan a dudar que sea posible demostrar el quinto postulado. El científico alemán J.Lambert, quien durante muchos aчos había intentado demostrar que no podía existir un cuadrilátero en el que la suma de los ángulos fuera menor que 360o, finalmente decidió suponer que este cuadrilátero podía existir "en cierta esfera imaginaria". Pero fue nuestro compatriota N.I.Lobachevski quien halló la respuesta definitiva: Es imposible demostrar el quinto postulado de Euclides. Serguey Borísovich Kádomtsev
Nació el 1 de octubre de 1952. Profesor del Departamento de Matemática de la Facultad de Física de la Universidad Estatal "M. V. Lomonósov" de Moscú. Especialista en teoría de subvariedades de espacios euclídeos multidimensionales, autor de más de 100 publicaciones científicas. Junto con otros autores escribió los libros de texto para la enseñanza media "Geometría 7–9" y "Geometría 10–11", los cuales ganaron el Concurso de libros de texto de la Unión Soviética del año 1988. Asimismo formó parte del colectivo de autores de los libros "Planimetría: Libro de texto para el perfeccionamiento matemático" y "Geometría analítica y álgebra lineal". |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||