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Encuadernación Boss V. Lecciones de Matemática: Lógica, algoritmos, computabilidad. De Diofanto a Turing y Gödel
Id: 107656
 
14.9 EUR Bestseller!

Lecciones de Matemática: Lógica, algoritmos, computabilidad. De Diofanto a Turing y Gödel. T.6

URSS. 216 pp. (Spanish). Rústica. ISBN 978-5-396-00069-8.

 Resumen del libro

El presente libro se caracteriza por una exposición breve y clara de los temas tratados, valiéndose de analogías y sin entrar en detalles innecesarios. Se presta especial atención a la interrelación de los resultados y al enfoque general del material considerado.

Este tomo está dedicado a los fundamentos de la matemática, los problemas de la computabilidad y la deducibilidad. Entre los temas tratados podemos mencionar las máquinas de Turing, las funciones recursivas, la lógica, la teoría de modelos, la indecidibilidad de la aritmética y la imposibilidad de axiomatizarla, el décimo problema de Hilbert. Los problemas clásicos relacionados con estos temas se han abordado desde un nuevo punto de vista, facilitando de este modo su comprensión (por ejemplo, los teoremas de Gödel se demuestran en unas pocas líneas).

Para estudiantes, profesores, ingenieros y científicos.


 Índice

Introducción a la serie "Lecciones de Matemática"
Prólogo al sexto tomo
1 Algoritmos y computabilidad
 1.1.Cálculos universales
 1.2.?`Qué es un algoritmo?
 1.3.Computabilidad
 1.4.Ejemplos y comentarios
 1.5.Problema de la indeterminación
 1.6.Conjuntos enumerables
 1.7.Procedimientos efectivos
 1.8.Máquinas de Turing
 1.9.Sobre el funcionamiento de las máquinas de Turing
 1.10.Funciones recursivas
 1.11.Conjuntos diofánticos
 1.12.Comentarios y complementos
2 Incompletitud de la aritmética
 2.1.Teoremas de G\"odel
 2.2.Imposibilidad de formalización de la verdad
 2.3.Consistencia
 2.4.Ecuaciones no resolubles
 2.5.Sobre las verdades aritméticas
 2.6.?`Es posible ayudar a la aritmética desde afuera?
 2.7.Demostración del segundo teorema de G\"odel
 2.8.Paradojas lingüísticas
3 Funciones universales y enumeraciones
 3.1.Funciones universales
 3.2.Conjuntos universales
 3.3.Isomorfismo de enumeraciones de G\"odel
 3.4.Teorema del punto fijo
 3.5.Teorema de Rice
 3.6.Enumeraciones y g\"odelización
4 Deducibilidad
 4.1.Conflicto con la definición de verdad
 4.2.Problema HSI de Tarski
 4.3.Algoritmos normales de Márkov
 4.4.Sistemas de Post
 4.5.Problema de la equivalencia de palabras
 4.6.Tag-problemas
 4.7.Gramáticas formales
 4.8.Teoría y práctica
5 Lógica matemática
 5.1.?`En qué consiste su misión?
 5.2.Variables, conectivas y funciones
 5.3.Álgebra de Boole
 5.4.Fórmulas, proposiciones, predicados
 5.5.Sintaxis y semántica
 5.6.Cálculo proposicional
 5.7.Lenguajes de primer orden
 5.8.Interpretaciones y modelos
 5.9.El lenguaje de la aritmética
 5.10.Carácter aritmético de las funciones computables
 5.11.Medios prohibidos
 5.12.Comentarios
6 El lenguaje diofántico y el décimo problema de Hilbert
 6.1.Conjuntos diofánticos y funciones diofánticas
 6.2.Problemas indecidibles
 6.3.Polinomio universal
 6.4.Resultados técnicos
 6.5.Complementos
7 Matemática constructiva
 7.1.Números constructivos
 7.2.Sucesión de Specker
 7.3.Conflicto con el axioma de elección
 7.4.Infinito actual
 7.5.Instrumento o realidad
8 Teorías axiomáticas
 8.1.Aritmética de Peano
 8.2.Paradoja de la categoricidad
 8.3.Axiomática de Zermelo--Fraenkel
 8.4.Geometría no euclídea
 8.5.La hipótesis del continuo
9 Teoría de modelos
 9.1.El aspecto lógico
 9.2.Qué se encuentra tras los resultados de Gentzen
 9.3.La paradoja de Skolem
 9.4.Modelos de estructuras booleanas
 9.5.Cómo el modelo destruye el esquema
 9.6.Modelos abstractos y modelos concretos
 9.7.?`En qué consiste la idea general?
 9.8.Bases finitas
10 Grados de indecidibilidad
 10.1.Reducibilidad
 10.2.Conjuntos productivos y conjuntos creativos
 10.3.Conjuntos inmunes
 10.4.Máquinas con oráculo
 10.5.Grados de Turing
 10.6.Jerarquías de los grados
11 Resumen de las definiciones y resultados fundamentales
 11.1.Algoritmos y computabilidad
 11.2.Incompletitud de la aritmética
 11.3.Funciones universales y enumeraciones
 11.4.Deducibilidad
 11.5.Lógica matemática
 11.6.Lenguaje diofántico y el décimo problema de Hilbert
 11.7.Matemática constructiva
 11.8.Teorías axiomáticas
 11.9.Teoría de modelos
 11.10.Grados de indecidibilidad
Abreviaturas y notaciones
Bibliografía
Índice de materias

 Introducción a la serie "Lecciones de Matemática"

Los aviones nos permiten volar, pero el llegar al aeropuerto depende de uno mismo.

Para estudiar normalmente cualquier disciplina matemática son necesarios, al menos, cuatro ingredientes:

1) un maestro con el que se pueda conversar;

2) un libro de texto habitual, lo suficientemente detallado;

3) un libro de problemas normal y corriente;

4) un libro de texto no sujeto a rutina, que ofrezca una imagen general, muestre los motivos, los enlaces, nos diga para qué es necesaria cada cosa.

El sistema educativo nunca ha llegado a ocuparse de una forma contundente del cuarto punto. Evidentemente, este objetivo se ha perseguido más de una vez e incluso se ha intentado lograr, solo que en la mayoría de los casos se ha pretendido conservar simultáneamente las funciones inherentes al libro de texto.

Esta "sobrecarga" hace que el centro de atención se desplace, y que, ya desde el segundo o tercer capítulo, las intenciones iniciales comiencen a "navegar a la deriva" sin llegar a alcanzar nunca el resultado deseado. Tales objetivos sólo son factibles en el "mundo de las ideas"; el resultado de la integración de una raqueta de tenis con una mancuerna es un artefacto que, aunque no salte a la vista, no prestará adecuadamente las funciones de ninguna de las dos.

La serie "Lecciones de Matemática" ha sido creada con el objetivo de satisfacer precisamente las condiciones del cuarto punto. La idea central de esta serie es la economía de palabras y de medios. Tras las declaraciones de brevedad y claridad, es verdad que los 20 tomos planificados pueden causar una impresión diametralmente opuesta, pero esa considerable cantidad se debe no al exceso de detalles, sino a la formidable extensión de la matemática.

Es necesario indicar a quién está dirigida esta serie. Decir que está orientada a todos podría parecer ingenuo, pero en cierta medida así es.

Un libro de apariencia asequible y con demostraciones de evidente estructura: un libro así siempre gusta tenerlo a mano. No es un secreto que incluso los especialistas del más alto nivel han de esforzarse considerablemente para dominar los campos de la matemática que se encuentran fuera de su propia especialidad. Nuestra serie ofrece un camino corto que facilita tanto asimilar rápidamente nuevos temas como refrescar los que ya se estudiaron en su día.

?`A quién está destinada esta serie: a los fuertes o a los débiles? ?`A los centros de enseñanza habituales o a los especializados en matemática o física? De nuevo podemos responder que a todos. Puede parecer extraño, pero nuestro objetivo no es reglamentar qué es lo que se debe saber. El material se describe con ayuda de un lenguaje sencillo, de manera simple y clara, con el único fin de que cualquier persona pueda extraer algo útil para sí misma y seguir adelante.

La gran avalancha de información que nos abruma hoy hace que los instrumentos del ayer dejen de desempeñar su función. Por esta razón, es necesario aprender a estudiar de una nueva forma; no porque el material a asimilar haya aumentado demasiado, sino porque en la vida han aparecido muchos otros temas de interés; por este motivo, casi nadie está dispuesto a dedicarle mucho tiempo a algo en particular. La serie "Lecciones de Matemática" pretende ser un experimento en esta dirección. El tiempo dirá si es acertado o no. De todos modos, esta serie es un producto de nueva generación: las mismas "ruedas", el mismo "volante", el mismo contenido matemático, pero con un aspecto diferente.


 Prólogo al sexto tomo

El fundamento es necesario, pero no porque vivir en el sótano sea cómodo.

Cuando nos referimos al intervalo que abarca "desde Diofanto hasta Turing", tenemos en cuenta la matemática discreta en la parte relacionada con sus "fundamentos". La computabilidad, la deducibilidad, los teoremas de G\"odel y los problemas indecidibles: he aquí los temas que conforman este tomo.

?`Cuál es la motivación? Como tal, ella no existe: los fundamentos de la matemática a menudo encuentran obstáculos insuperables y permanecen sin cambios en el punto de partida. Pero ?`qué se puede esperar cuando se anda por el borde de un abismo? Allí, en el límite donde lo posible se transforma en imposible; la vida, en muerte; los teoremas, en paradojas... En realidad, no debemos esperar nada. Sin embargo, de la misma manera que ocurre cuando se busca el sentido de la vida, en este caso los efectos secundarios desempeñan el papel principal.


 Opiniones de los lectores de la serie

Para comprender una materia es necesario despo-jarla de los detalles, desnudar su estructura central, comprender cómo se llegó a la idea de uno u otro teorema. Éste es un trabajo arduo, y no siempre se dispone de las fuerzas y el tiempo necesarios para llevarlo a cabo. En los libros de la serie "Lecciones de Matemática", precisamente éste es el trabajo realizado por el autor.

La popularidad de los libros de V. Boss entre los estudiantes y el profesorado de Rusia es fácil de explicar. En sus libros se transmite lo que aún no se ha llegado a asimilar, lo que no se encuentra en otros libros: visión general, motivación e interreílación. Y lo más importante: la facilidad con la que se accede a cualquier tema.

El contenido de todos los libros ha sido planificado cuidadosamente. Los temas se entrelazan con una técnica impecable. Las demostraciones extensas han sido comprimidas hasta obtener unas pocas líneas de razonamientos matemáticos. Es difícil creer que una sola persona haya sido capaz de cumplir una tarea de tal envergadura: exponer toda la matemática en tan sólo 20 tomos de esta clase.

Las "Lecciones de Matemática" de V. Boss constituyen una excelente y muy completa colección. Como libros de texto, no siempre se adaptan a las normas pedagógicas tradicionales. Posiblemente sea esto lo que tanto atrae a los lectores.

* * *

La gran avalancha de información que nos abruma hoy hace que los instrumentos del ayer dejen de desempeñar su función. Por esta razón, es necesario aprender a estudiar de una nueva forma. La serie "Lecciones de Matemática" pretende ser un experimento en esta dirección. El tiempo será juez de si fue o no acertado. De todos modos, esta serie es un producto de nueva generación: las mismas "ruedas", el mismo "volante", el mismo contenido matemático... pero con un aspecto diferente.

V. Boss

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Libros de la serie "Lecciones de Matemática" de V. Boss publicados ya en ruso:

1. Análisis. 2. Ecuaciones diferenciales. 3. Álgebra lineal. 4. Probabilidad. Información. Estadística. 5. Análisis funcional. 6. De Diofanto a Turing. 7. Optimización. 8. Teoría de grupos. 9. Funciones de variable compleja. 10. Búsqueda exhaustiva y algoritmos efectivos. 11. Ecuaciones de la física matemática. 12. Contraejemplos y paradojas. 13. Topología. 14. Teoría de números. 15. Operadores no lineales y puntos fijos. 16. Conjuntos, teorías, modelos


 
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