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Encuadernación Boss V. Lecciones de Matemática: Análisis funcional
Id: 107655
 
14.9 EUR Bestseller!

Lecciones de Matemática: Análisis funcional. T.5

URSS. 224 pp. (Spanish). Rústica. ISBN 978-5-396-00068-1.

 Resumen del libro

El presente libro se caracteriza por una exposición breve y clara de los temas tratados, valiéndose de analogías y sin entrar en detalles innecesarios. Se presta especial atención a la interrelación de los resultados y al enfoque general del material considerado.

El contenido corresponde al curso habitual de análisis funcional impartido en las universidades. Además de los espacios funcionales y operadores lineales, se tratan la teoría de la medida, la integral de Lebesgue, las funciones generalizadas, algunos elementos de análisis no lineal, los operadores positivos, etcétera.

Para estudiantes, profesores, ingenieros y científicos.


 Índice

Introducción a la serie "Lecciones de Matemática"
Prólogo al presente volumen
1 Conjuntos, espacios, aplicaciones
 1.1.Operaciones y correspondencias
 1.2.Axioma de elección
 1.3.Desigualdades
 1.4.Espacios métricos
 1.5.Espacios lineales
 1.6.Transformaciones continuas
 1.7.Convexidad
 1.8.Dificultades iniciales
2 Espacios métricos y espacios normados
 2.1.De nuevo sobre la métrica
 2.2.Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados
 2.3.Convergencia
 2.4.Completamiento de un espacio
 2.5.Categorías de Baire
 2.6.Espacios de Banach y espacios de Hilbert
 2.7.Espacios cociente
 2.8.Efectos anormales
3 Teoría de la medida
 3.1.Medida de Lebesgue
 3.2.Sobre lo que no se ha hablado aún
 3.3.Funciones medibles
 3.4.Integral de Lebesgue
 3.5.Los espacios L1 y Loo
 3.6.Tipos de convergencia
 3.7.Paso al límite bajo el signo de la integral
 3.8.Continuidad absoluta de la integral de Lebesgue
 3.9.Construcción de Stieltjes
 3.10.Producto de medidas. Teorema de Fubini
 3.11.Problemas y complementos
4 Compacidad
 4.1.Conjuntos compactos
 4.2.Criterios de compacidad en C y Lp
 4.3.Instrumentos y propiedades
5 Punto de vista topológico
 5.1.Espacios topológicos
 5.2.Espacios lineales
 5.3.Topología débil
 5.4.Problemas y complementos
6 Operadores lineales en espacios normados
 6.1.Conceptos fundamentales
 6.2.Teorema de Hahn--Banach
 6.3.Espacios duales
 6.4.Convergencia débil
 6.5.Compacidad débil
 6.6.Convexidad ideal
 6.7.Principio de acotación uniforme
 6.8.Teorema de la aplicación abierta
 6.9.Operadores cerrados
 6.10.Operador inverso
 6.11.Operadores compactos
 6.12.Proyectores
 6.13.Complementos
7 Operadores en espacios de Hilbert
 7.1.Preámbulo
 7.2.Base ortonormal
 7.3.Series ortogonales
 7.4.Operadores adjuntos
 7.5.Problemas y complementos
8 Funciones generalizadas
 8.1.Conceptos fundamentales
 8.2.Derivación
 8.3.Convolución de funciones generalizadas
 8.4.Ecuaciones diferenciales
 8.5.Series divergentes
9 Ecuaciones
 9.1.Ecuaciones lineales
 9.2.Elección del espacio
 9.3.Ecuaciones de Fredholm
 9.4.Iteraciones sucesivas
 9.5.Métodos de proyección
 9.6.Regularización
 9.7.Complementos
10 Teoría espectral
 10.1.Conceptos fundamentales
 10.2.Planteamiento general
 10.3.Radio espectral
 10.4.Operadores compactos
 10.5.Operadores autoadjuntos
 10.6.Funciones de operadores
11 Elementos de análisis no lineal
 11.1.Operadores no lineales
 11.2.Derivadas y diferenciales
 11.3.Gradiente de un funcional
 11.4.Principio de contracción
 11.5.Teorema de la función implícita
 11.6.Principio de Schauder
 11.7.Vectores propios
12 Operadores positivos
 12.1.Conos en los espacios de Banach
 12.2.Operadores positivos
 12.3.Estimación del radio espectral
 12.4.Espectro positivo
 12.5.Puntos fijos
 12.6.Principio de Birkhoff--Tarski
 12.7.Problemas y complementos
13 Resumen de las definiciones y resultados fundamentales
 13.1.Espacios métricos y espacios normados
 13.2.Integral y medida de Lebesgue
 13.3.Compacidad y topología
 13.4.Operadores y funcionales lineales
 13.5.Funciones generalizadas
 13.6.Ecuaciones lineales
 13.7.Teoría espectral
 13.8.Elementos de análisis no lineal
 13.9.Operadores positivos
 13.10.Espacios
Abreviaturas y notaciones
Bibliografía
Índice de materias

 Introducción a la serie "Lecciones de Matemática"

Los aviones nos permiten volar, pero el llegar al aeropuerto depende de uno mismo.

Para estudiar normalmente cualquier disciplina matemática son necesarios, al menos, cuatro ingredientes:

[1)] un maestro con el que se pueda conversar;

[2)] un libro de texto habitual, lo suficientemente detallado;

[3)] un libro de problemas normal y corriente;

[4)] un libro de texto no sujeto a rutina, que ofrezca una imagen general, muestre los motivos, los enlaces, nos diga para qué es necesaria cada cosa.

El sistema educativo nunca ha llegado a ocuparse de una forma contundente del cuarto punto. Evidentemente, este objetivo se ha perseguido más de una vez e incluso se ha intentado lograr, solo que en la mayoría de los casos se ha pretendido conservar simultáneamente las funciones inherentes al libro de texto.

Esta "sobrecarga" hace que el centro de atención se desplace, y que, ya desde el segundo o tercer capítulo, las intenciones iniciales comiencen a "navegar a la deriva" sin llegar a alcanzar nunca el resultado deseado. Tales objetivos sólo son factibles en el "mundo de las ideas"; el resultado de la integración de una raqueta de tenis con una mancuerna es un artefacto que, aunque no salte a la vista, no prestará adecuadamente las funciones de ninguna de las dos.

La serie "Lecciones de Matemática" ha sido creada con el objetivo de satisfacer precisamente las condiciones del cuarto punto. La idea central de esta serie es la economía de palabras y de medios. Tras las declaraciones de brevedad y claridad, es verdad que los 20 tomos planificados pueden causar una impresión diametralmente opuesta, pero esa considerable cantidad se debe no al exceso de detalles, sino a la formidable extensión de la matemática.

Es necesario indicar a quién está dirigida esta serie. Decir que está orientada a todos podría parecer ingenuo, pero en cierta medida así es.

Un libro de apariencia asequible y con demostraciones de evidente estructura: un libro así siempre gusta tenerlo a mano. No es un secreto que incluso los especialistas del más alto nivel han de esforzarse considerablemente para dominar los campos de la matemática que se encuentran fuera de su propia especialidad. Nuestra serie ofrece un camino corto que facilita tanto asimilar rápidamente nuevos temas como refrescar los que ya se estudiaron en su día.

?`A quién está destinada esta serie: a los fuertes o a los débiles? ?`A los centros de enseñanza habituales o a los especializados en matemática o física? De nuevo podemos responder que a todos. Puede parecer extraño, pero nuestro objetivo no es reglamentar qué es lo que se debe saber. El material se describe con ayuda de un lenguaje sencillo, de manera simple y clara, con el único fin de que cualquier persona pueda extraer algo útil para sí misma y seguir adelante.

La gran avalancha de información que nos abruma hoy hace que los instrumentos del ayer dejen de desempeñar su función. Por esta razón, es necesario aprender a estudiar de una nueva forma; no porque el material a asimilar haya aumentado demasiado, sino porque en la vida han aparecido muchos otros temas de interés; por este motivo, casi nadie está dispuesto a dedicarle mucho tiempo a algo en particular. La serie "Lecciones de Matemática" pretende ser un experimento en esta dirección. El tiempo dirá si es acertado o no. De todos modos, esta serie es un producto de nueva generación: las mismas "ruedas", el mismo "volante", el mismo contenido matemático, pero con un aspecto diferente.


 Prólogo al presente volumen

El conjunto de aclaraciones que se deben hacer es siempre inagotable.

El análisis funcional es una disciplina peculiar. Aquí para comprender es necesario vendarse los ojos, ya que el tema se desarrolla en un campo donde la intuición es incapaz de ayudarnos. Es verdad que en el álgebra lineal la intuición tampoco nos ayuda, pero puede ser reemplazada por la imaginación. Podemos razonar en el plano y, por lo general, obtener resultados válidos en el espacio n-dimensional. Esto crea con el tiempo una confusión que, no obstante, resulta útil, ya que la fuerza de la costumbre es enorme. Sin embargo, cuando la dimensión es infinita, este método nos conduce frecuentemente a conclusiones erróneas. Como resultado, en lugar de una agradable ilusión, surge una desagradable fobia que nos obliga a estudiar a ciegas.

Por esta razón, en el análisis funcional, como en ninguna otra rama de la matemática, debemos concentrar nuestra atención en los detalles que podrían guiarnos: los motivos y dificultades, el significado de los resultados obtenidos y, finalmente, la comprensión, que no puede ser encerrada en los marcos del esquema "teorema -- demostración".


 Opiniones de los lectores de la serie

Para comprender una materia es necesario despo-jarla de los detalles, desnudar su estructura central, comprender cómo se llegó a la idea de uno u otro teorema. Éste es un trabajo arduo, y no siempre se dispone de las fuerzas y el tiempo necesarios para llevarlo a cabo. En los libros de la serie "Lecciones de Matemática", precisamente éste es el trabajo realizado por el autor.

La popularidad de los libros de V. Boss entre los estudiantes y el profesorado de Rusia es fácil de explicar. En sus libros se transmite lo que aún no se ha llegado a asimilar, lo que no se encuentra en otros libros: visión general, motivación e interreílación. Y lo más importante: la facilidad con la que se accede a cualquier tema.

El contenido de todos los libros ha sido planificado cuidadosamente. Los temas se entrelazan con una técnica impecable. Las demostraciones extensas han sido comprimidas hasta obtener unas pocas líneas de razonamientos matemáticos. Es difícil creer que una sola persona haya sido capaz de cumplir una tarea de tal envergadura: exponer toda la matemática en tan sólo 20 tomos de esta clase.

Las "Lecciones de Matemática" de V. Boss constituyen una excelente y muy completa colección. Como libros de texto, no siempre se adaptan a las normas pedagógicas tradicionales. Posiblemente sea esto lo que tanto atrae a los lectores.

* * *

La gran avalancha de información que nos abruma hoy hace que los instrumentos del ayer dejen de desempeñar su función. Por esta razón, es necesario aprender a estudiar de una nueva forma. La serie "Lecciones de Matemática" pretende ser un experimento en esta dirección. El tiempo será juez de si fue o no acertado. De todos modos, esta serie es un producto de nueva generación: las mismas "ruedas", el mismo "volante", el mismo contenido matemático... pero con un aspecto diferente.

V. Boss

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Libros de la serie "Lecciones de Matemática" de V. Boss publicados ya en ruso:

1. Análisis. 2. Ecuaciones diferenciales. 3. Álgebra lineal. 4. Probabilidad. Información. Estadística. 5. Análisis funcional. 6. De Diofanto a Turing. 7. Optimización. 8. Teoría de grupos. 9. Funciones de variable compleja. 10. Búsqueda exhaustiva y algoritmos efectivos. 11. Ecuaciones de la física matemática. 12. Contraejemplos y paradojas. 13. Topología. 14. Teoría de números. 15. Operadores no lineales y puntos fijos


 
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