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Encuadernación Krasnov M.L., Kiseliov A.I., Makárenko G.I., Shikin E.V., Zaliapin V.I., Evnin A.I. Curso de matemáticas superiores. Teoría de números. Álgebra general. Combinatoria. Teoría de Pólya. Teoría de grafos. Emparejamientos. Matroides
Id: 106020
 
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Curso de matemáticas superiores. Teoría de números. Álgebra general. Combinatoria. Teoría de Pólya. Teoría de grafos. Emparejamientos. Matroides. T.11

URSS. 288 pp. (Spanish). Cartoné. ISBN 978-5-396-00042-1.

 Resumen del libro

El "Curso de matemáticas superiores" fue publicado por primera vez en dos tomos, en inglés y español en el año 1990, y posteriormente en francés.

En el año 1999 este libro fue premiado en el concurso Nuevos libros de texto organizado por el Ministerio de Educación de Rusia, con la consiguiente recomendación para ser utilizado como tal en todos los centros de educación superior.

La presente edición, ampliada y mejorada notablemente, abarca casi todas las ramas de la matemática. El UNDÉCIMO TOMO incluye elementos de teoría de números, conceptos básicos de álgebra general, combinatoria, teoría de Pólya, una introducción a la teoría de grafos, emparejamientos y matroides.

Todos los tomos de la serie contienen muchos ejemplos ilustrativos de los tópicos teóricos. Al final de cada capítulo se presenta un número suficientemente grande de ejercicios propuestos, acompañados de sus respectivas respuestas.


 Índice

Prólogo
LXVII Elementos de teoría de números
 § 1.Teorema de la división con resto
 § 2.Máximo común divisor. Algoritmo de Euclides
 § 3.(ka -- 1, kb -- 1)=k(a,b) -- 1
 § 4.Números primos. Teorema fundamental de la aritmética
 § 5.Congruencias y sus propiedades
 § 6.Sistemas de residuos
 § 7.Teorema de Euler
 § 8.Ecuaciones diofánticas lineales
 § 9.Funciones multiplicativas
 § 10.Sistema RSA
 Ejercicios
 Respuestas
LXVIII Conceptos básicos del álgebra general
 § 1.Relaciones
 § 2.Relación de equivalencia
 § 3.Relaciones de orden
 § 4.Estructuras algebraicas. Grupos
 § 5.Anillos y campos
 § 6.Grupos de autosuperposiciones de polígonos y poliedros
 Ejercicios
 Respuestas
LXIX Combinatoria
 § 1.Regla del producto
 § 2.Muestras. Variaciones
 § 3.Combinaciones
 § 4.Permutaciones con repeticiones
 § 5.Fórmula polinomial
 § 6.Identidades combinatorias
 § 7.Fórmula de inclusión--exclusión
 § 8.Función de Euler
 § 9.Problema del número de desórdenes y problema de los índices fijos
 § 10.Número de sobreyecciones
 § 11.Generalización de la fórmula de inclusión--exclusión
 § 12.Números de Stirling de segunda especie
 § 13.Números de Stirling de primera especie
 § 14.Funciones generatrices
 § 15.Cantidad de boletos premiados
 § 16.Cantidad de árboles binarios con $n$ vértices
 § 17.Resolución de ecuaciones recurrentes lineales
 Ejercicios
 Respuestas
LXX Teoría de Pólya
 § 1.Índice de ciclo de un grupo de permutaciones
 § 2.Lema de Burnside
 § 3.Funciones y clases de equivalencia
 § 4.Teorema de Pólya
 § 5.Ejemplos
 Ejercicios
 Respuestas
LXXI Introducción a la teoría de grafos
 § 1.Definiciones y ejemplos
 § 2.Grafos conexos
 § 3.Propiedades métricas de los grafos
 § 4.Grafos hamiltonianos
 § 5.Grafos eulerianos
 § 6.Árboles y bosques
 § 7.Teorema de Cayley del número de árboles etiquetados
 § 8.Árboles de expansión
 § 9.Sistema fundamental de ciclos
 § 10.Inmersión de grafos
 § 11.Fórmula de Euler
 § 12.Criterios de planaridad de un grafo
 § 13.Grafos dirigidos
 § 14.Búsqueda del camino crítico en un digrafo
 § 15.Técnica de evaluación y revisión de proyectos
 § 16.Flujos en redes
 Ejercicios
 Respuestas
LXXII Emparejamientos
 § 1.Teorema de Hall
 § 2.Teorema húngaro
 § 3.Teorema de Dilworth
 § 4.Emparejamientos perfectos en grafos bipartitos regulares
 § 5.Matrices doblemente estocásticas
 § 6.Rectángulos latinos
 § 7.Coloración de la arista de un grafo
 § 8.Teorema de Berge
 § 9.Búsqueda de un emparejamiento máximo
 § 10.Búsqueda del recubrimiento de vértice mínimo
 § 11.Algoritmo húngaro
 § 12.Problema del embotellamiento
 Ejercicios
 Respuestas
LXXIII Matroides
 § 1.Definiciones y ejemplos
 § 2.Dualidad
 § 3.Matroides representables
 § 4.Función rango
 § 5.Algoritmo voraz
 § 6.Problema de planificación de un experimento
 § 7.Transversales
 § 8.Matroide transversal
 § 9.Transversales independientes
 § 10.Transversales comunes
 § 11.Algunos matroides notables
 Ejercicios
 Respuestas
Índice de materias

 Prólogo

En los libros anteriores de la presente serie, el desarrollo de los sucesos fundamentales en mayor o menor grado estaba relacionado con la noción clave de proximidad, cuya comprensión matemática condujo a una desconcertante cascada de los más diversos resultados.

Sin embargo, existe una amplia clase de problemas matemáticos en los que esta noción no es aplicable. La mayoría de estos problemas tratan sobre las propiedades de los conjuntos finitos. La cantidad de elementos en estos conjuntos puede variar desde unos pocos hasta potencias grandes de diez (1010, 101010,...).

Los orígenes de algunos de estos problemas y los métodos de su resolución distan de nosotros cientos e incluso miles de años. El surgimiento de otros fue estimulado por el desarrollo de los medios computacionales, cuyas posibilidades se encuentran en impetuoso crecimiento y sirven como fuente de nuevos problemas.

El creciente interés en problemas de este tipo dio vida a un nuevo concepto: la matemática discreta. Comprendida en un sentido amplio, la matemática discreta incluye en sí la teoría de números, el álgebra general, la lógica matemática, la combinatoria, la teoría de grafos, la teoría de codificación, la programación entera, la teoría de sistemas funcionales, etcétera.

Lo discreto (del latín discretus, separado, discontinuo) frecuentemente se contrapone a lo continuo. Sin embargo, cuando se resuelven problemas prácticos de alta dificultad los métodos discretos y continuos se aplican conjuntamente y con considerable eficacia, enriqueciéndose mutuamente.

En 1989 fue publicado el libro de R.Graham, D.Knuth y O.Patashnik "Concrete mathematics". El término

CONCRETE

se forma de la unión de las palabras

CONtinious y disCRETE.

El objetivo fundamental de este libro era proporcionar al lector conocimientos sobre el funcionamiento de la técnica de operación con objetos discretos, análoga a la técnica empleada en el caso de objetos continuos.

Nuestro objetivo es más modesto: dar a conocer al lector algunos elementos de la matemática discreta.

En los dos primeros capítulos se consideran los fundamentos de la teoría de números y del álgebra general; los conceptos matemáticos introducidos allí son utilizados ampliamente en los capítulos siguientes, en particular, en el estudio de la teoría de Pólya, la cual permite resolver problemas de conteo de objetos a excepción de una u otra relación de equivalencia. En el capítulo "Combinatoria", además de los conceptos iniciales sobre las técnicas de selección y análisis de muestras, se expone el principio de inclusión--exclusión, que es aplicado eficazmente en la resolución de algunos problemas combinatorios clásicos. Se introduce asimismo el aparato de las funciones generatrices, potente instrumento del análisis combinatorio. En los capítulos finales se consideran los conceptos fundamentales de la teoría de grafos y matroides, así como algunos algoritmos efectivos.


 
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