Ózhigova E.P. ¿Qué es la teoría de números?
№13

Índice

Prólogo

Este libro es una introducción a la teoría de números, a sus métodos y conceptos fundamentales.

La teoría de números frecuentemente atrae por la sencillez del planteamiento de sus problemas, pero después asombra por las dificultades que se deben afrontar para resolver estos problemas. Sin embargo, precisamente estas dificultades atrajeron la atención de matemáticos como Fermat, Euler, Lagrange, Gauss y Galois hacia la teoría de números.

En el primer y segundo capítulos se habla del objeto, los métodos y las aplicaciones de esta ciencia, en el tercer y cuarto capítulos se ofrece una breve reseña histórica. Los restantes capítulos están dedicados al estudio de algunos problemas de la teoría de números que resultan interesantes por sí mismos y pueden ser comprendidos por lectores sin preparación matemática especial.

¿Qué es la teoría de números?

Si se hace esta pregunta a los matemáticos actuales, ellos responderán de diferentes maneras. Uno dirá que la teoría de números se dedica al estudio de las propiedades de los números enteros. Otro responderá que ella simplemente es una parte de la teoría de las probabilidades. Un tercero dirá algo incomprensible como que la teoría de números es la teoría de los números algebraicos, la teoría de las funciones algebraicas con coeficientes de un campo finito y la teoría analítica de los números. Un cuarto con indiferencia dirá que, en general, la teoría de números es una rama inexistente de la matemática. Un quinto no tratará de definirla y simplemente recomendará estudiar los problemas que ella resuelve y los métodos que utiliza.

En cada una de estas respuestas hay algo cierto. En efecto, la teoría de números se dedica al estudio de las propiedades de los números enteros, pero ella también estudia las propiedades de otros números: los números algebraicos, los números trascendentales. Es cierto que sus problemas a menudo se resuelven con ayuda de la teoría de las probabilidades. Si tenemos en cuenta la actualidad, es indiscutible que la teoría de números se ha expandido de tal manera que se ha convertido en un conjunto de nuevas disciplinas: el álgebra moderna, la geometría de los números, la teoría probabilística de los números, etcétera. Se puede ver que incluso en las universidades y en los institutos pedagógicos casi no han quedado departamentos de teoría de números.

Así pues, ¿cómo responder a la pregunta inicial?

Aquí distinguiremos la teoría de números propiamente dicha, comprendiendo ésta como la teoría sobre las propiedades de los números enteros, y la teoría moderna de números, que surgió de la primera gracias a la generalización del concepto de número entero y a la aparición de nuevos métodos.

La propia teoría moderna de números ya no es una ciencia única y se divide en ramas relacionadas con diferentes campos de la matemática. Con la misma razón que alguien pudiera objetar que la teoría de números no existe, podríamos decir que casi toda la matemática actual es teoría de números en una u otra forma.

En este libro estudiaremos la teoría de números y algunos de los principios de la teoría moderna de números.

Muchos de los matemáticos más eminentes de todos los tiempos escribieron sobre la importancia de la teoría de números. Mostraremos las opiniones de dos grandes matemáticos del siglo XVIII: Leonardo Euler y Joseph Lagrange. Nótese que, frecuentemente, se denominaba "aritmética" o "aritmética superior" a la teoría de números.

En 1795 en las "Lecciones de matemática" Lagrange escribió:

Sm "Uno de los antiguos dijo que la Aritmética y la Geometría eran las alas de la matemática. Yo pienso, sin utilizar ninguna metáfora, que estas dos ciencias son la base y la esencia de todas las ciencias que estudian los números.

Pero ellas no sólo son la base, sino también, para decirlo de alguna manera, un complemento. Puesto que cuando se halla un resultado, para poderlo utilizar es necesario transformarlo en números o en líneas; para transformar este resultado en números se necesita la ayuda de la Aritmética, para transformarlo en líneas se necesita la ayuda de la Geometría". Sm

Leonhard Euler, quien de todas las ramas de la matemática prefería la teoría de números, la defendía ardientemente de todos los ataques infligidos por sus detractores, quienes la culpaban de ser estéril e inútil:

Sm "De todos los problemas que, generalmente, son estudiados en la matemática, ninguno se considera más estéril e inútil por la mayoría que aquéllos que consisten en el estudio de la naturaleza de los números y en la investigación de sus divisores... Aparte de que la búsqueda de la verdad por sí misma merece elogios y respeto y es digna del intelecto humano, ellos (los antiguos) comprendían bien que gracias al estudio de esta disciplina se desarrollaba el propio arte del cálculo y las propiedades de la mente se hacían más aptas para resolver problemas más difíciles. Parece verosímil que esta ciencia (el análisis matemático) nunca hubiese alcanzado tal grado de perfección si los antiguos no hubiesen dedicado sus esfuerzos al desarrollo del tipo de problemas que actualmente la mayoría considera problemas de muy poca importancia debido a su esterilidad. Por eso, no debemos dudar de que el perfeccionamiento futuro de estos problemas traerá como consecuencia nuevos éxitos en el análisis". Sm

En realidad, todo el desarrollo de la matemática se debe, o bien a los logros de la geometría, o bien a los logros de la teoría de números. Muchas teorías matemáticas han sido construidas por analogía con la teoría de números. Sin referirnos a los logros de la matemática debidos al progreso de la geometría (Euclides, Lobachevski, Riemann), nos detendremos en la estrecha relación entre el desarrollo de la matemática y los logros de la teoría de números.

El desarrollo de la matemática está relacionado ante todo con la generalización del concepto de número. Los números enteros constituyen el objeto de estudio de la teoría de números. La generalización del concepto de número (los números reales) permitió a Fermat y Descartes crear el método de coordenadas y, a la vez, la geometría analítica y el análisis matemático. La idea principal de esta generalización, o extensión, del concepto de número consistía en lo siguiente. A los números enteros ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,... les corresponden los puntos del eje numérico ox de coordenadas enteras, y viceversa, a cada punto de coordenada entera le corresponde un número entero. Después de introducir los números reales, cada punto del eje numérico obtiene su coordenada y a cada número real le corresponde un punto del eje numérico. Se obtuvo, como se dice frecuentemente en matemática, una correspondencia biunívoca entre el conjunto de los números reales y el conjunto de los puntos de la recta.

Los números reales no sólo poseen las propiedades de los números enteros, sino algunas propiedades nuevas. Ellos se pueden sumar, multiplicar dividir, elevar a una potencia, de ellos se pueden extraer raíces. Ellos tienen una nueva propiedad: entre los puntos del eje real no hay intervalos vacíos, ellos están dispuestos en la recta en forma continua, densa, de la misma manera que se traza una línea con un lápiz o corre el agua de un río. Desde un punto de coordenada entera hasta otro se debe saltar un segmento de longitud igual a una o varias unidades. Esta propiedad de los números reales se puede expresar con la palabra continuidad: el conjunto de los números reales tiene la propiedad de continuidad. El conjunto de los números enteros tiene la propiedad de ser discreto. Los números enteros pertenecen al conjunto de los números reales, pero en este conjunto también figura una infinidad de otros números. Existen generalizaciones del concepto de número entero, en las que se conserva la propiedad de los números enteros de ser discretos.

Otra generalización del concepto de número son los números complejos, cuya representación geométrica está dada por los puntos del plano con un sistema de coordenadas introducido en él. En el conjunto de los números complejos existen números con coordenadas complejas enteras (por ejemplo, 2 + 3i, -1-7i, etcétera). Ellos forman el conjunto de los números complejos enteros, que como el conjunto de los números enteros es discreto. Geométricamente estos números se representan mediante una red en el plano.

Estas generalizaciones del concepto de número crean nuevas ramas de la matemática y contribuyen a su desarrollo. Particularmente exitosas resultan las generalizaciones de los conceptos de la teoría de números en los casos cuando ellas están relacionadas con la geometría.

Así fue que apareció el método de coordenadas.

La medición de las longitudes, áreas y volúmenes, que reúne los esfuerzos de la geometría y la teoría de números, condujo a la definición de integral y a la creación del cálculo integral.

Los procesos y métodos de la teoría de números generan métodos análogos en el álgebra, en el análisis matemático, etcétera.

Así pues, el algoritmo de Euclides (proceso de búsqueda del máximo común divisor de dos números enteros) fue el prototipo del algoritmo similar utilizado en el álgebra para dividir polinomios y del algoritmo del desarrollo de una fracción ordinaria en fracción continua. El teorema de unicidad de la descomposición de un número entero positivo en factores primos constituyó una fuente de nuevas ideas en el análisis y en el álgebra, que son fundamentales en las teorías algebraica y analítica de números. En este teorema está basada la célebre identidad de Euler que, a su vez, sirvió de fundamento para las investigaciones de P.L.Chébyshev, P.Lejeune Dirichlet, B.Riemann y otros. La teoría de números ha sido una fuente de ideas para la teoría de grupos. Las investigaciones en el campo de la teoría de números sirvieron de base para los descubrimientos de Evariste Galois.

Las propiedades de los números enteros son el objeto fundamental de la teoría de números. La generalización de la noción de número y la aparición de nuevos métodos modifican el objeto de la teoría de números. Cada nueva generalización del concepto de número entero genera una nueva (para el tiempo dado) teoría de números. En su tiempo, surgieron la teoría de los números complejos enteros, la teoría de los números algebraicos enteros, la aritmética de los cuaterniones, etcétera.

Los problemas fundamentales de la teoría de números siempre están relacionados con dos tipos de propiedades de los números enteros: 1) las propiedades multiplicativas (representación de los números en forma de un producto) y 2) las propiedades aditivas (descomposición de los números en sumandos). El enfoque algebraico y el enfoque geométrico de la teoría de números ayudan a unir estas propiedades.

En el enfoque algebraico, en el que se consideran los números enteros como raíces de ecuaciones indeterminadas, estas propiedades son unidas. En el enfoque geométrico son totalmente equitativos el problema multiplicativo sobre el número de divisores de un número entero positivo dado y el problema aditivo del número de representaciones de este número como suma de dos cuadrados. Geométricamente ambos problemas se reducen a la determinación del número de puntos enteros en una región plana.

Los métodos de la teoría de números clásica y de cualquier teoría de números moderna son generados directamente por la teoría de números, o por la geometría, o bien, teniendo como fuentes a estas ciencias, recorrieron el camino que conduce a otras ramas de la matemática. Se distinguen los métodos elementales, analíticos, geométricos y probabilísticos. A veces se utilizan diferentes combinaciones de éstos. En dependencia de los métodos utilizados se distinguen, por ejemplo, la teoría geométrica y la teoría analítica de los números. La teoría geométrica de los números utiliza la interpretación geométrica de los números enteros (o de los números enteros generalizados) y métodos geométricos en la demostración de los teoremas de la teoría de números. La teoría analítica de números, en cambio, utiliza métodos del análisis matemático (cálculo diferencial e integral, series) y de la teoría de funciones de variable compleja. Los métodos de la teoría de números gradualmente cambian y se hacen más complicados. Por ejemplo, en los tiempos de Euler los métodos analíticos utilizados consistían en la aplicación de los métodos del cálculo diferencial e integral y la teoría de series en la teoría de números; después de los trabajos de Dirichlet y Riemann se comenzaron a aplicar métodos de la teoría de funciones de variable compleja. En la actualidad, los métodos geométricos están relacionados con la teoría de las variedades algebraicas. Además, en la teoría de números encuentran aplicación los métodos de la teoría de grupos, la teoría de semigrupos, la teoría de campos, la teoría de anillos, que son métodos del álgebra moderna.

Autor

Especialista soviético en el campo de la teoría de números, de la historia de la matemática y la metodología de la ciencia. Doctor en Ciencias Físico-matemáticas, miembro de la Sociedad Matemática de Leningrado. Desarrolló su actividad científica en el Instituto de Historia de Ciencias Naturales y Tecnología de la Academia de Ciencias de la URSS (filial de Leningrado).

Es autor de los libros "La matemática en la Academia de Ciencias de San Petersburgo a finales del siglo XVIII y primera mitad del siglo XIX" (1980), "Desarrollo de la teoría de números en Rusia" (segunda edición; URSS, 2003), "Charles Hermite" (1982), y de varias biografías de matemáticos rusos del siglo XIX.