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Índice
Del prólogo a la edición rusa
El tema del presente libro está vinculado con el álgebra y con la geometría. Los vínculos entre estas dos disciplinas son diversos y han demostrado ser fructíferos para cada una de ellas. Numerosas aplicaciones del álgebra en la geometría y de la geometría en el álgebra eran ya conocidas en la Antig\"uedad. Mucho más tarde surgió la geometría analítica, que poco después se convirtió en geometría algebraica, una amplia ciencia de activo desarrollo, que puede ser relacionada tanto con la geometría como con el álgebra. Otro ejemplo lo constituyen los métodos algebraicos de la geometría proyectiva, cuyo desarrollo ha hecho que en la actualidad sea casi imposible determinar si la geometría proyectiva es una rama de la geometría o del álgebra. También la teoría de los números complejos, surgida inicialmente en el marco del álgebra, resultó estrechamente relacionada con la geometría, lo que es evidente si tomamos en consideración que el aporte de los geómetras al desarrollo de esta teoría ha sido mayor que el de los algebristas. En la actualidad se investigan con gran interés diferentes tipos de números complejos. El estudio de estos números está relacionado con diversos problemas aún no resueltos, que constituyen el objeto de estudio de matemáticos de diferentes países. Este libro, claro está, no tiene como objetivo dar a conocer al lector el estado actual de la materia. Aquí sólo se abarca uno de los numerosos vínculos entre la teoría de los números complejos y la geometría, pero, por supuesto, ni siquiera en este campo limitado es posible ser exhaustivos. No obstante, los problemas que tratamos en este trabajo se presentan con considerable amplitud. En particular, el autor no se limitó sólo a la introducción de los conceptos fundamentales, sino que en todos los casos trató de utilizarlos en la demostración de teoremas geométricos importantes. El libro está destinado a un amplio círculo de lectores. Para la comprensión de las primeras secciones de cada capítulo son suficientes los conocimientos obtenidos en el curso escolar de matemática. En cambio, las últimas secciones evidentemente están destinadas a estudiantes universitarios. Este hecho obligó al autor a introducir un sistema de numeración destinado a distinguir las diferentes partes del libro por su nivel de dificultad. Las secciones 1–4, 7, 9, 13 y 15 (secciones sin asterisco) representan la línea fundamental de exposición del material. La aplicación del aparato de los números complejos en la geometría elemental se trata en las secciones 8*, 10*, 14* y 16* (secciones con un asterisco). Cada una de estas cuatro secciones ha sido titulada "Aplicaciones y ejemplos" y contiene diversos teoremas geométricos demostrados con ayuda de los números complejos. Los teoremas aquí presentados tienen, por lo general, un valor puramente ilustrativo. Algo más cerca de la línea principal de exposición se encuentran sólo los teoremas sobre la potencia de un punto y de una recta respecto a una circunferencia (secciones 8* y 10*), utilizados en la sección 16* para dar una nueva definición ("geométrica") de inversión axial (de Laguerre), la cual desempeчa un papel fundamental en la sección 15. Las secciones 8*, 10*, 14* y 16* se pueden omitir sin perjudicar la comprensión del material posterior del libro, por lo que se recomienda al lector no detenerse demasiado en ellas durante una primera lectura. En el futuro, una vez que el material fundamental haya sido dominado, el lector interesado en la geometría elemental podrá volver a estas secciones. Las secciones 5**, 6**, 11**, 12**, 17** y 18** (secciones con dos asteriscos) tienen un carácter completamente diferente. En ellas el marco de la exposición se amplía para abarcar material que se encuentra fuera de lo que habitualmente se llama (a veces, de manera bastante convencional) geometría "escolar" (o elemental). Las principales aplicaciones de los números complejos en la geometría no están relacionadas con la geometría de Euclides, estudiada en la escuela media, sino con las denominadas "geometrías no euclídeas", la más conocida de las cuales es la geometría de Lobachevski. Aunque este libro está dirigido a un amplio círculo de lectores, el autor consideró absolutamente inadmisible ignorar esta importante línea de aplicaciones geométricas de los números complejos, pero al no tener la posibilidad de considerar este tema ni siquiera con la mínima profundidad requerida (véanse, por ejemplo, los libros que se indican en las notas, en los que se trata este tema con mayor detalle, pero tampoco exhaustivamente), creyó conveniente incluir, al menos, una breve explicación del papel de los números complejos en la geometría de Lobachevski. Las secciones correspondientes están destinadas, naturalmente, a lectores familiarizados con esta importante geometría. De todos modos debemos seчalar que la preparación requerida es mínima, es decir, resulta suficiente el material contenido en los libros de divulgación científica sobre geometría no euclídea (algunos de estos libros se indican en las notas). Dado el carácter especial de las secciones marcadas con dos asteriscos, el método de exposición adoptado en ellas se diferencia del utilizado en el resto del libro. Por ejemplo, algunas demostraciones no se efectúan con todo detalle, dejando los pormenores al lector. Es obvio que la omisión de las secciones con dos asteriscos no se reflejará de ninguna manera en la comprensión del resto del material, cuya parte elemental (es decir, la parte no relacionada con la geometría no euclídea) se puede considerar como un texto completamente independiente. El autor expresa su agradecimiento a A.M.Yaglom, cuyos consejos fueron considerados durante la preparación del libro, así como a sus alumnos M.M.Arápova y F.M.Naviazhski, a quienes pertenecen algunas de las demostraciones ofrecidas; además, a los redactores, M.M.Goriáchaia e I.E.Morózova, a quienes se debe una serie de importantes observaciones. Finalmente, el autor desea agradecer sinceramente a Roland Deaux, profesor del Instituto Politécnico de Mons (Bélgica), por haber puesto amablemente a nuestra disposición la última edición de su libro sobre los números complejos. I.M.Yaglom
Isaak Moisiéevich Yaglom (1921–1988)
Matemático y pedagogo soviético. Autor de populares libros de divulgación científica y libros de texto dedicados a diversos temas de la matemática. Doctor en Ciencias Físico-Matemáticas. Especialista en geometría. Fue reconocido como un brillante pedagogo. Trabajó en diversos centros de enseñanza superior de la Unión Soviética (Instituto de Energía de Moscú, Universidad Lomonósov de Moscú, Instituto Pedagógico de Moscú, Universidad de Yaroslavl y otros). Autor de más de 40 libros, algunos de los cuales se consideran clásicos de la literatura matemática mundial. Es coautor de la célebre obra en tres tomos Problemas y teoremas de matemática elemental, la cual fue durante muchos años la referencia principal de los aficionados a la matemática. Aparte de las obras de contenido puramente matemático, I. M. Yaglom publicó una serie de trabajos sobre la historia de la matemática, en los que investigó la interrelación de esta ciencia con las ciencias humanas, así como su papel en la vida y el desarrollo de la sociedad. About the author
 Isaak Moisiéeсch Yaglom Matemático y pedagogo soviético. Autor de populares libros de divulgación científica y libros de texto dedicados a diversos temas de la matemática. Doctor en Ciencias Físico-Matemáticas. Especialista en geometría.
Fue reconocido como un brillante pedagogo. Trabajó en diversos centros de enseñanza superior de la Unión Soviética (Instituto de Energía de Moscú, Universidad Lomonósov de Moscú, Instituto Pedagógico de Moscú, Universidad de Yaroslavl y otros). Autor de más de 40 libros, algunos de los cuales se consideran clásicos de la literatura matemática mundial. Es coautor de la célebre obra en tres tomos Problemas y teoremas de matemática elemental, la cual fue durante muchos años la referencia principal de los aficionados a la matemática. Aparte de las obras de contenido puramente matemático, I. M. Yaglom publicó una serie de trabajos sobre la historia de la matemática, en los que investigó la interrelación de esta ciencia con las ciencias humanas, así como su papel en la vida y el desarrollo de la sociedad. |
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