Рашевский П.К. Теория спиноров Изд. 5

Soderzhanie

Predislovie

Teoriya spinorov, osobenno mnogomernikh, slabo predstavlena v nashej matematicheskoj literature. Predlagaemaya stat'ya imeet tsel'yu v nekotoroj mere zapolnit' etot probel.

S nashej tochki zreniya teoriya spinorov est' v pervuyu ochered' teoriya linejnogo predstavleniya kliffordovoj algebri i lish' v chastnosti – linejnogo predstavleniya gruppi vraschenij. Izlozhenie postroeno soobrazno etomu printsipu. Snachala podrobno rassmatrivaetsya geometrizirovannaya kliffordova algebra v mnogomernom kompleksnom evklidovom prostranstve R_n⁺ (§§ 1–8), v chastnosti, vrascheniya v R_n⁺ s tochki zreniya kliffordovoj algebri (§ 6). Dalee dokazivaetsya osnovnaya teorema o linejnom predstavlenii kliffordovoj algebri, v svyazi s chem voznikaet ponyatie o spinornom prostranstve (§§ 9–12). Rassmatrivayutsya fundamental'nie spintenzori, voznikayuschie v spinornom prostranstve v svyazi s fundamental'nimi avtomorfizmami v kliffordovoj algebre (§§ 13–16), a takzhe spinornoe predstavlenie vraschenij v R_n⁺ (§§ 17–19). Zatem v R_n⁺ videlyaetsya veschestvennoe evklidovo ili psevdoevklidovo prostranstvo R_n^(s) toj ili inoj signaturi i prediduschie postroeniya spetsializiruyutsya i dopolnyayutsya dlya nego (§§ 20–26). Ustanavlivaetsya svyaz' so spinornim apparatom fiziki (§ 25). Nakonets, v § 27 vivodyatsya v n-mernom sluchae nekotorie bolee tonkie svojstva fundamental'nikh spintenzorov, ranee dokazannie lish' dlya sluchaev n = 2,4, a v § 28 pokazano, kak teoriya spinorov v nechetnomernom sluchae svoditsya v izvestnom smisle k chetnomernomu sluchayu (kotorim mi zanimaemsya do etogo momenta).

Izlozhenie nosit geometrizirovannij kharakter s uporom na invariantnie svojstva spinornogo prostranstva. S etoj tochki zreniya predlagaemaya stat'ya, vozmozhno, budet polezna i dlya fizikov-teoretikov, zhelayuschikh uglublenno izuchit' spinornij apparat fiziki. Dejstvitel'no, v rukovodstvakh po kvantovoj mekhanike, v tom chisle i ves'ma kvalifitsirovannikh, mi postoyanno stalkivaemsya s tem, chto usilenno podcherkivayutsya neinvariantnie, a znachit, i ne imeyuschie fizicheskogo smisla svojstva rassmatrivaemikh "matrits", v to vremya kak ikh invariantnie svojstva viyavlyayutsya nedostatochno. Prichina lezhit v tom, chto v izlozhenii fizikov pod bezlichnim psevdonimom "matrits" skrivayutsya ves'ma razlichnie po svoej prirode spintenzori, svojstva kotorikh pochti polnost'yu ostayutsya v teni. Esche bolee nezhelatel'no to, chto sootnosheniya mezhdu spinornimi velichinami neredko zapisivayutsya v neinvariantnom vide, chto, konechno, ne sposobstvuet viyavleniyu ikh fizicheskogo smisla.

Mi pitalis' v nashem izlozhenii ustanovit' pryamuyu svyaz' so spinornim apparatom fiziki i raskrit' invariantnij smisl obichno ispol'zuemikh v nem velichin. V svyazi s etim prostranstvu spetsial'noj teorii otnositel'nosti udeleno bol'shoe vnimanie, i vse poluchennie obschie rezul'tati osobo rassmatrivayutsya dlya etogo sluchaya. Vprochem, i pomimo etogo mi vsegda staralis' illyustrirovat' obschie rezul'tati na prostikh chastnikh sluchayakh.

Predpolagaetsya, chto chitatel' znakom s linejnoj algebroj, umeet proizvodit' vikladki s matritsami, a takzhe vladeet osnovami tenzornoj algebri. V tekste dani sootvetstvuyuschie literaturnie ukazaniya. Drugikh spetsial'nikh znanij ne trebuetsya.

About the author

Rashevskij Petr Konstantinovich

Vidayuschijsya sovetskij matematik-geometr. Doktor fiziko-matematicheskikh nauk, professor Moskovskogo gosudarstvennogo universiteta imeni M. V. Lomonosova. Okonchil MGU. Vospitannik shkoli V. F. Kagana. Prepodaval v Moskovskom energeticheskom institute i v Moskovskom pedagogicheskom institute. Do kontsa zhizni zavedoval kafedroj differentsial'noj geometrii mekhaniko-matematicheskogo fakul'teta MGU.

P. K. Rashevskij — avtor mnogikh fundamental'nikh rabot po razlichnim razdelam geometrii: rimanovoj, affinnoj, differentsial'noj, po sozdannoj im polimetricheskoj geometrii, aksiomatike proektivnoj geometrii odnorodnikh prostranstv, svyazannoj s gruppami Li, i drugim. Im bili napisani uchebniki i monografii v oblasti geometrii i matematicheskoj fiziki: "Rimanova geometriya i tenzornij analiz" (M.: URSS), "Kurs differentsial'noj geometrii" (M.: URSS), "Geometricheskaya teoriya uravnenij s chastnimi proizvodnimi" (M.: URSS), "Teoriya spinorov" (M.: URSS). Pervie dve knigi perevedeni na ispanskij yazik. Ucheniki P. K. Rashevskogo, vkhodivshie v sozdannuyu im shkolu, razvivali takzhe teoriyu odnorodnikh prostranstv, metodi variatsionnogo ischisleniya.