BOOKS IN EUROPEAN LANGUAGES


 
Cover Фиников С.П. Теория поверхностей
Id: 198751
 
14.9 EUR Bestseller!

Теория поверхностей. Изд.4, перераб., испр.

URSS. 304 pp. (Russian). HardcoverISBN 978-5-9710-2292-3.

Вниманию читателей предлагается книга известного отечественного математика С.П.Финикова (1883--1964), посвященная теории поверхности --- наиболее простого и осязаемого объекта дифференциальной геометрии. Первая глава отводится теории кривых; далее с самыми элементарными сведениями разбирается целый ряд наиболее известных поверхностей и ставятся основные задачи изгибания поверхности и конформного отображения; даются базовые уравнения теории поверхности и их приложение к основным задачам; в двух последних главах намечена теория конгруэнций и триортогональных систем. В конце каждой главы приведены задачи и упражнения, а в конце всей книги --- таблица основных формул.

Рекомендуется математикам --- научным работникам, преподавателям, аспирантам и студентам математических вузов.


Oglavlenie
Predislovie
Glava pervaya. Krivie v prostranstve
 I.Elementi pervogo poryadka
  1.Opredelenie krivoj
  2.Kasatel'naya
  3.Dlina dugi
 II.Elementi vtorogo poryadka
  4.Glavnaya normal'
  5.Soprovozhdayuschij trekhgrannik Frene
  6.Soprikasayuschayasya ploskost'
 III.Elementi tret'ego poryadka
  7.Dvizhenie trekhgrannika Frene
  8.Kharakteristika dvizheniya trekhgrannika Frene
  9.Krivizna i kruchenie
  10.Krivie Bertrana
  11.Natural'nie uravneniya krivoj
  12.Vintovie linii
 IV.Razvertivayuschiesya poverkhnosti, svyazannie s krivoj
  13.Ogibayuschaya semejstva poverkhnostej
  14.Razvertivayuschayasya poverkhnost'
  15.Polyarnaya poverkhnost'
  16.Evolyuti krivoj
  17.Spryamlyayuschaya poverkhnost'
 V.Soprikasayuschiesya poverkhnosti
  18.Soprikasayuschayasya ploskost'
  19.Soprikasayuschayasya sfera
  20.Formula dlya vichisleniya krucheniya krivoj
 Uprazhneniya
Glava vtoraya. Linejnij element poverkhnosti
 I.Elementi pervogo poryadka na poverkhnosti
  1.Krivolinejnie koordinati na poverkhnosti
  2.Kasatel'naya ploskost'
  3.Linejnij element poverkhnosti
  4.Ugol dvukh krivikh na poverkhnosti
  5.Ploschad' poverkhnosti
 II.Primeri poverkhnostej
  6.Ploskost' i sfera
  7.Poverkhnost' vrascheniya
  8.Katenoid
  9.Psevdosfera
  10.Linejchataya poverkhnost'
 II.Nalagayuschiesya poverkhnosti
  11.Izgibanie poverkhnostej
  12.Razvertivayuschayasya poverkhnost'
  13.Izgibanie poverkhnostej vrascheniya
  14.Izgibanie shara
 IV.Konformnoe otobrazhenie
  15.Konformnoe otobrazhenie
  16.Konformnoe otobrazhenie poverkhnosti vrascheniya na ploskost'
  17.Izotermicheskaya sistema
  18.Linii nulevoj dlini
 Uprazhneniya
Glava tret'ya. Vtoraya kvadratichnaya forma
 I.Normal'naya krivizna krivoj na poverkhnosti
  1.Krivizna krivoj na poverkhnosti
  2.Normal'naya krivizna krivoj
  3.Indikatrisa Dyupena
  4.Formula Ejlera
  5.Glavnie radiusi krivizni
 II.Trekhgrannik Darbu
  6.Trekhgrannik Darbu
  7.Kinematicheskoe znachenie kvadratichnikh form Gaussa
  8.Sfericheskoe izobrazhenie poverkhnosti
  9.Krivizna poverkhnosti
 III.Linii krivizni
  10.Linii krivizni
  11.Kachenie trekhgrannika Darbu po poverkhnosti tsentrov
 IV.Sopryazhennie linii
  12.Sopryazhennie napravleniya
  13.Poverkhnost', otnesennaya k sopryazhennoj sisteme
 V.Asimptoticheskie linii
  14.Asimptoticheskie linii
  15.Asimptoticheskie kasatel'nie k poverkhnosti
  16.Poverkhnost', otnesennaya k asimptoticheskim liniyam
  17.Formuli Lel'evra
  18.Teorema Enneper'a
 VI.Dobavlenie
  19.Proektivnoe preobrazovanie prostranstva
  20.Kvadratichnie formi poverkhnosti
 Uprazhneniya
Glava chetvertaya. Osnovnie uravneniya teorii poverkhnosti
 I.Uravneniya Gaussa-Kodatstsi
  1.Osnovnie uravneniya v forme Darbu
  2.Edinstvennost' poverkhnosti s zadannimi invariantami
  3.Opredelenie konechnikh uravnenij poverkhnosti
  4.Opredelenie trekhgrannika Darbu po koeffitsientam dvukh kvadratichnikh form
  5.Uravneniya Kodatstsi
 II.Problema izgibaniya poverkhnosti
  6.Dve zadachi izgibaniya
  7.Teorema Gaussa
  8.Pervaya zadacha izgibaniya
  9.Poverkhnosti postoyannoj krivizni
  10.Izgibanie s odnoj tverdoj liniej
  11.Izgibanie s sokhraneniem asimptoticheskikh linij odnogo semejstv
  12.Izgibanie s sokhraneniem sopryazhennoj sistemi
 III.Sfericheskoe izobrazhenie poverkhnosti
  13.Sfericheskoe izobrazhenie i ego linejnij element
  14.Tret'ya kvadratichnaya forma Gaussa
  15.Poverkhnost' s zadannim sfericheskim izobrazheniem sopryazhennoj sistemi
  16.Sfericheskoe izobrazhenie asimptoticheskikh linij
  17.Primeri
 Uprazhneniya
Glava pyataya. Geodezicheskie linii. Geometriya na poverkhnosti
  1.Geodezicheskie -- kak linii postoyannogo napravleniya na poverkhnosti
  2.Uravnenie geodezicheskoj linii
  3.Geodezicheskaya liniya kak kratchajshee rasstoyanie
  4.Teorema Darbu
  5.Geodezicheskie na poverkhnosti vrascheniya
  6.Razvertivanie linii na ploskost'
  7.Geodezicheskoe kruchenie
  8.Krivizna geodezicheskogo treugol'nika
  9.Geodezicheskie krugi Darbu
  10.Geodezicheskie ellipsi i giperboli
  11.Teorema Yakobi
  12.Poverkhnosti Liuvillya
  13.Geometriya na psevdosfere
 Uprazhneniya
Glava shestaya. Minimal'nie poverkhnosti
  1.Poverkhnosti s naimen'shej ploschad'yu
  2.Osnovnie svojstva minimal'noj poverkhnosti
  3.Formuli Monzha
  4.Formuli Vejershtrassa
  5.Odnostoronnie minimal'nie poverkhnosti
  6.Izgibanie minimal'nikh poverkhnostej
  7.Formuli Shvartsa
  8.Sledstvie iz formul Shvartsa
  9.Chastnie sluchai
 Uprazhneniya
Glava sed'maya. Teoriya kongruentsii
  1.Linejchataya geometriya
  2.Kongruentsiya krivikh
  3.Kongruentsiya pryamikh
  4.Fokusi lucha
  5.Granichnie tochki lucha
  6.Izotropnaya kongruentsiya
  7.Normal'naya kongruentsiya
  8.Kongruentsiya W
  9.Poverkhnosti Vejngartena
  10.Psevdosfericheskaya kongruentsiya
  11.Osnovnie formi Sannia
 Uprazhneniya
Glava vos'maya. Triortogonal'naya sistema poverkhnostej
  1.Krivolinejnie koordinati v prostranstve
  2.Teorema Dyupena
  3.Uravnenie Lyame
  4.Teorema Liuvillya o konformnom otobrazhenii prostranstva
  5.Teorema Darbu
  6.Uravneniya dlya semejstva poverkhnostej Lyame
  7.Sofokusnie poverkhnosti vtorogo poryadka
  8.Izotermicheskaya sistema
 Uprazhneniya
Tablitsa osnovnikh formul

Predislovie

Differentsial'naya geometriya rodilas' v rabotakh Monzha i ego uchenikov kak prilozhenie analiza k geometrii. Gauss znachitel'no razdvinul eti ramki. Vvedenie krivolinejnikh koordinat, osnovnikh kvadratichnikh form, sfericheskogo izobrazheniya poverkhnosti sozdalo tot fundament, na kotorom mogla svobodno razvivat'sya teoriya, izlozhennaya v chetirekh tomakh kursa Bianki. Izyaschnij metod Darbu mnogo pomog ee pishnomu razvitiyu. Ona znachitel'no pererosla zamisli Gaussa. Ne tol'ko teoriya poverkhnosti v tesnom smisle slova, no i teoriya kongruentsii pryamikh, tsiklicheskikh sistem ili trizhdi ortogonal'nikh semejstv poverkhnostej stala predmetom issledovaniya. Rabotami Vil'chinskogo, Blashke, Fubini bili sozdani novie otrasli nashej nauki -- afinnaya, proektivnaya, konformnaya, differentsial'nie geometrii. Idei Rimana i Kartana esche razdvinuli ee ramki vvodya v krug issledovaniya naibolee obschee prostranstvo, a genial'naya misl' Ejnshtejna po suschestvu sdelala vsyu fiziku odnoj iz glav differentsial'noj geometrii.

V etom blestyaschem razvitii samij metod nashej nauki ne mog ostavat'sya neizmennim. Ot elementarnikh priemov Monzha, kotorie po suschestvu bili prostim prilozheniem analiticheskoj geometrii, k teorii kvadratichnikh form Gaussa, k isklyuchitel'noj po svoej obschnosti i sile simvolike tenzornogo analiza i absolyutnomu differentsirovaniyu Richchi; ot opirayuschegosya na prostejshie kinematicheskie predstavleniya metoda Darbu i Ribokura k metodu vneshnikh form i podvizhnoj sistemi otneseniya Kartana, -- takov put' razvitiya differentsial'noj geometrii za sto s nebol'shim let.

Eto neobichajnoe razvitie metoda, kotorij v svoikh poslednikh obobscheniyakh predstavlyaet izumitel'no strojnuyu i sovershennuyu sistemu i sam po sebe dostoin izucheniya, eti porazhayuschie uspekhi nashej nauki tayat v sebe i nekotoruyu opasnost', po krajnej mere dlya nachinayuschikh: apparat issledovaniya mozhet v ikh glazakh zaslonit' samij predmet izucheniya. Chitaya mnogie raboti po differentsial'noj geometrii i dazhe uchebniki, ne srazu mozhno ulovit', chto delo idet ob issledovanii veschestvennikh svojstv okruzhayuschego mira, khotya bi i v ideal'nom predstavlenii ego.

Mezhdu tem differentsial'naya geometriya est' vse zhe geometriya; ee dolzhno interesovat' i interesuet issledovanie prostikh ili bolee glubokikh svojstv linij, poverkhnostej ili bolee slozhnikh obrazovanij vplot' do prostranstv Kartana s kriviznoj i krucheniem.

Mne kazalos' poetomu poleznim napisat' takuyu knigu po differentsial'noj geometrii, gde geometricheskaya storona dela stoyala bi na pervom meste, a samij metod vvodilsya bi postepenno, po mere nadobnosti.

Iz postavlennoj zadachi vitekali i soderzhanie, i vibrannij metod, i samoe raspolozhenie materiala. Pochti vsya knizhka posvyaschena teorii poverkhnosti, kak naibolee prostomu i osyazaemomu ob'ektu differentsial'noj geometrii. Tol'ko pervaya glava otvoditsya teorii krivikh, i v dvukh poslednikh namechena teoriya kongruentsii i triortogonal'nikh sistem. Osnovnim metodom izbran kinematicheskij metod Darbu. Tut formuli bolee prosti, i geometricheskaya suschnost' vistupaet s bol'shej yasnost'yu, -- tol'ko zdes', naprimer, mozhno vivesti osnovnie usloviya sovmestnosti (uravneniya Gaussa-Kodatstsi), ne perekhodya na drugoj list bumagi.

Ya vse zhe ne reshilsya sovershenno isklyuchit' teoriyu kvadratichnikh form Gaussa i pochti vo vsekh osnovnikh voprosakh provel parallel'noe izlozhenie s pomosch'yu osnovnikh form poverkhnosti. Eto bilo tem bolee neobkhodimo, chto tol'ko v svete gaussovoj teorii komponenti perenosa i vrascheniya Darbu poluchayut svoe polnoe znachenie s tochki zreniya teorii poverkhnosti.

Chtobi sdelat' ego esche bolee naglyadnim, metod Darbu dan v vektornikh oboznacheniyakh. Vektornaya simvolika stala teper' obichnim yazikom geometrii na Zapade. Elementarnie svedeniya osnovnikh operatsij nad vektorami i u nas dostatochno rasprostraneni, no dazhe i otsutstvie znakomstva s vektorami vryad li yavitsya prepyatstviem k ponimaniyu etoj knigi, -- nastol'ko neznachitelen ob'em neobkhodimikh oboznachenij, kotorie, kstati, vse ob'yasneni v snoskakh.

Pervaya glava zakonchena sama v sebe i mozhet chitat'sya otdel'no. So vtoroj glavi nachinaetsya teoriya poverkhnosti. Zdes' s samimi elementarnimi svedeniyami razbiraetsya tselij ryad naibolee izvestnikh poverkhnostej i stavyatsya osnovnie zadachi izgibaniya poverkhnosti i konformnogo otobrazheniya. Ne sleduet zabivat', chto bol'shinstvo etikh rezul'tatov bilo polucheno do togo, kak bila postroena obschaya teoriya, i chto znanie konkretnikh poverkhnostej i otdel'nikh sluchaev izgibaniya sostavlyaet v takoj zhe mere soderzhanie differentsial'noj geometrii, kak i obschie metodi issledovaniya.

V tret'ej glave vvodyatsya vtoraya kvadratichnaya forma Gaussa, komponenti dvizheniya trekhgrannika Darbu i vse te linii na poverkhnosti, kotorie neposredstvenno s nej svyazani, i tol'ko gl.IV -- osnovnie uravneniya teorii poverkhnosti i ikh prilozhenie k dvum osnovnim zadacham: zadache izgibaniya poverkhnosti i zadache opredeleniya poverkhnosti po ee sfericheskomu izobrazheniyu -- soderzhit izlozhenie osnovnoj teorii.

Dlya chitatelya, kotorij khotel bi v nemnogikh slovakh oznakomit'sya s teoriej poverkhnosti bez vsyakikh prilozhenij, mozhno ukazat' gl.II, otd.I; gl.III, otd.I i II, i gl.IV, otd.I.

Chtobi sdelat' esche bolee blizkimi te poverkhnosti, kotorie mi izuchaem, v kontse knigi prilozhena tablitsa fotografij.

Risunki 2 i 10--14 zaimstvovani iz knigi Hilbert & Cohn Vossen "Anschauliche Geometrie", vse ostal'nie snyati s modelej kabineta matematiki Moskovskogo universiteta. Pol'zuyus' sluchaem virazit' svoyu glubokuyu blagodarnost' vsem litsam, kotorie okazivali mne v etom sodejstvie.

Nesmotrya na elementarnost' etoj knizhki, ya dumayu, chto ona mozhet sluzhit' vvedeniem dlya chteniya original'nikh memuarov i dazhe dlya sobstvennikh issledovanij. Chtobi oblegchit' ee ispol'zovanie v etom napravlenii, v kontse privedena tablitsa formul, a v kontse kazhdoj glavi dani zadachi i uprazhneniya. Bol'shinstvo iz nikh otlichaetsya ot original'nogo issledovaniya tol'ko tem, chto otvet zaranee izvesten. K nim mozhno bilo bi prisoedinit' vse te teoremi, privedennie v tekste, dokazatel'stvo kotorikh namecheno bolee ili menee szhato i trebuet ot chitatelya samostoyatel'nogo provedeniya vikladok.

K sozhaleniyu, ya zdes' sovershenno ne mog kosnut'sya voprosov beskonechno malogo izgibaniya, preobrazovaniya poverkhnostej i vsekh tekh voprosov svyazi mezhdu elementami poverkhnostej, kongruentsii i t.d., kotorie Ribokur nazval geometriej okolo poverkhnosti i kotorie osobenno khorosho razrabativalis' za poslednie polveka. Eti voprosi mogli bi sostavit' otdel'nuyu temu, k kotoroj ya vernus', esli pozvolyat obstoyatel'stva. <


About the author
Finikov Sergej Pavlovich
Vidayuschijsya sovetskij matematik. Okonchil Moskovskij universitet (nine Moskovskij gosudarstvennij universitet imeni M. V. Lomonosova — MGU). S 1918 g. professor Moskovskogo universiteta, s 1952 g. zaveduyuschij kafedroj differentsial'noj geometrii mekhaniko-matematicheskogo fakul'teta MGU. Poluchil ryad fundamental'nikh rezul'tatov v klassicheskikh zadachakh izgibaniya poverkhnostej, v metricheskoj i proektivnoj teorii kongruentsij. Postroil proektivnuyu teoriyu rassloyaemikh par kongruentsij. Razrabotal metod kanonizatsii repera i nezavisimikh parametrov, yavlyayuschijsya razvitiem metoda Darbu—Kartana. Odin iz sozdatelej sovremennoj proektivno-differentsial'noj geometrii. Osnovatel' shkoli sovetskikh matematikov-geometrov.