Shikin Ie.V. Introducción a la teoría de juegos

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Introducción a la teoría de juegos

En la actividad práctica se presentan con mucha frecuencia fenómenos y situaciones que involucran a dos o más partes con intereses diferentes y con posibilidades de llevar a cabo diversas acciones encaminadas a lograr sus objetivos. Los fenómenos y situaciones de este tipo se conocen con el nombre de situaciones conflictivas o, simplemente, conflictos.

Un conflicto típico se caracteriza por tener tres componentes básicos:

1) partes interesadas,

3) intereses de las partes,

2) decisiones posibles que las partes pueden tomar.

Las situaciones conflictivas extraídas de la vida real son, en general, demasiado complejas. A esto es necesario agregar que el análisis se dificulta debido a la presencia de múltiples factores, una parte de los cuales no influye sustancialmente ni en el desarrollo del conflicto, ni en sus resultados. Por eso, para que sea posible el análisis de un conflicto, es necesario abstraerse de estos factores secundarios, de modo que si las condiciones son favorables se pueda construir un modelo formal simplificado. Dicho modelo se suele denominar juego. Además, un juego se diferencia de una situación conflictiva real en que se desarrolla de acuerdo con reglas totalmente definidas.

Intentemos comprender por qué se ha elegido justamente esta palabra para denominar a las situaciones conflictivas. En el diccionario de la Real Academia Española encontramos que juego es un "ejercicio recreativo sometido a reglas".

Precisamente el hecho de que exista una gran variedad de ejercicios recreativos –desde los populares y los bursátiles hasta los de cartas y los militares–, los cuales muy frecuentemente se desarrollan según reglas preestablecidas, es, por lo visto, la causa principal de que en el siglo XX la palabra juego, conocida por todos desde la infancia, se haya convertido en un término matemático.

La necesidad de estudiar conflictos susceptibles de ser representados mediante modelos matemáticos simplificados (juegos) ha dado lugar a un aparato matemático especial llamado teoría de juegos.

Enunciemos algunos conceptos básicos utilizados en esta teoría.

Las partes interesadas se llaman jugadores. Cada acción posible (en el marco de las reglas del juego establecidas) se denomina estrategia. Bajo condiciones de conflicto, cada jugador escoge su propia estrategia y como resultado se forma un conjunto de estrategias denominado situación. Para medir el interés de cada jugador en una situación concreta, a éste se le asigna un número que expresa el grado de satisfacción de sus intereses en dicha situación. A ese número se le llama pago del jugador en la situación dada.

Bajo estas condiciones, el desarrollo del conflicto consiste en la elección por parte de cada jugador de su estrategia y en la obtención de un pago de alguna fuente. Esto da lugar a la teoría de juegos con utilidad.

Sin embargo, la evaluación de una situación por parte de un jugador basándose en su utilidad no siempre es posible y, más aún, no siempre tiene sentido. En tales casos, en lugar de una evaluación cuantitativa directa de las situaciones, a veces se logra mostrar las preferencias comparativas que dichas situaciones proporcionan a cada jugador. La teoría de juegos elaborada bajo este enfoque se llama teoría de juegos con preferencias, un caso particular de la cual es la teoría de juegos con utilidades. En el presente texto nos limitaremos a los juegos con utilidad.

El estudio de los juegos se puede abordar desde diferentes puntos de vista. Nuestro objetivo es:

– elaborar principios de optimalidad, es decir, determinar cuál comportamiento de los jugadores se considera óptimo (razonable, conveniente);

– aclarar si es posible poner en práctica estos principios, es decir, establecer la existencia de estrategias óptimas acordes con los principios de optimalidad elaborados;

– buscar las estrategias óptimas.

Una forma de hacer palpable la idea de optimalidad se basa en el concepto de equilibrio. Se denomina situación de equilibrio a una situación que todos los jugadores están interesados en preservar.

Precisamente las situaciones de equilibrio pueden ser objeto de acuerdos estables entre los jugadores (ningún jugador tiene motivos para infringir el acuerdo). Además, las situaciones de equilibrio les convienen a todos los jugadores: en una situación de equilibrio cada jugador obtiene el pago máximo (por supuesto, en la medida que ello dependa de él).

Si en el juego no hay una situación de equilibrio (en los límites de las posibilidades) y mantenemos las estrategias existentes, llegamos a un problema sin solución. En estos casos es natural preguntarse si es posible generalizar la definición inicial de estrategia, de modo que dentro de las estrategias generalizadas obtenidas existan estrategias de equilibrio. Si la respuesta es positiva, dichas estrategias generalizadas son combinaciones de las estrategias iniciales (se supone, naturalmente, que el juego se repite muchas veces). Para distinguir las estrategias iniciales de las nuevas, a las primeras se les llama estrategias puras y a las segundas, estrategias combinadas (mezcladas).

Un enfoque muy fructífero consiste en considerar que una estrategia combinada es una elección aleatoria por parte de los jugadores de sus estrategias puras, siempre y cuando las elecciones aleatorias de diferentes jugadores sean independientes en conjunto. En tal caso el pago de cada jugador se define como el valor esperado de su pago aleatorio. Un juego definido así se denomina extensión combinada del juego inicial.

Ilustraremos lo dicho con un ejemplo de una de las clases más simples, y al mismo tiempo más estudiadas, de juegos, los denominados juegos matriciales. El estudio de los juegos matriciales es muy interesante, también, porque a ellos se pueden reducir muchos otros juegos más generales.

Posteriormente nos detendremos en la clasificación de los juegos y analizaremos otros dos tipos de juegos: los juegos de posición y los juegos bimatriciales.