|
Índice
Prólogo
La presente colección de ejercicios resueltos y propuestos se basa en la experiencia de 15 años de enseñanza de la asignatura métodos matemáticos de la física (MMF) a los estudiantes de la facultad de física de la Universidad Estatal de Novosibirsk (UEN). A modo de experimento se encomendó a físicos teóricos el manejo de esta materia, con el objetivo de que se dictara no sólo los fundamentos matemáticos de la teoría, sino también su aplicación a la resolución de problemas físicos concretos de la mecánica cuántica, la electrodinámica clásica, la óptica, la física del plasma y la mecánica de líquidos y gases. El resultado de este experimento fue un cambio considerable tanto en el programa del curso como en la metodología de enseñanza. Se hizo énfasis en la resolución de problemas que van desde ejercicios simples, que ilustran los conceptos fundamentales, hasta problemas relativamente difíciles, por ejemplo, de la mecánica cuántica. Ahora podemos decir con gran complacencia que este nuevo enfoque de la enseñanza de los MMF está completamente justificado. Comúnmente, con el curso de los MMF concluye la formación matemática general de los estudiantes de física, en tercero o cuarto año de estudio. Se considera que en este nivel los estudiantes ya poseen conocimientos de álgebra lineal, geometría analítica, análisis matemático, ecuaciones diferenciales ordinarias y teoría de las funciones de variable compleja, equivalentes al volumen normal de los cursos universitarios. El curso estándar de MMF por el que han pasado muchas generaciones de estudiantes consta usualmente de elementos de la teoría de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. En los programas de MMF, los temas tratados de análisis funcional, de teoría de funciones especiales y de teoría de grupos casi siempre incluyen sólo algunos aspectos y son opcionales. Los métodos matemáticos de la física, como curso universitario, tienen una estructura sólida. A ellos están dedicados muchos textos de estudio rusos, así como innumerables traducciones. Sin embargo, ninguno contiene la cantidad necesaria de ejercicios. Los pocos libros de problemas de MMF que existen son incompletos, no abarcan todos los temas necesarios de la física matemática y se puede decir que están algo apartados de los problemas físicos iniciales que motivan el estudio de este tipo de ecuaciones, prácticamente no incluyen problemas sobre las ecuaciones de Schr\"odinger, de Dirac e incluso de Maxwell. Las aplicaciones a la física se limitan casi siempre a la mecánica, a la teoría de la conducción de calor, a la electricidad y al magnetismo. Uno de los objetivos de este libro es corregir todas estas deficiencias. El programa del curso y, naturalmente, el contenido de este libro de ejercicios incluye las siguientes secciones: espacios de Hilbert, método de características, ecuaciones de segundo orden en derivadas parciales, autosemejanza y ecuaciones no lineales, funciones especiales, métodos asintóticos, funciones de Green, ecuaciones integrales (incluido el problema inverso para el operador de Schr\"odinger), teoría de grupos y representaciones, y grupos de Lie y sus aplicaciones en la física. Además de una breve lista de la literatura recomendada para el estudio de los temas tratados, cada sección contiene una corta exposición teórica ilustrada con algunos problemas típicos resueltos. Una reseña bibliográfica sobre la teoría estudiada en nuestro libro se expone al final. Casi todos los problemas (excepto los elementales) contienen indicaciones y soluciones detalladas. El orden de los ejercicios a lo largo del texto facilita la asimilación de los conceptos matemáticos y la adquisición de hábitos de resolución de problemas físicos. Por tal razón, nuestro libro también puede resultar muy útil para quienes por una u otra razón quieran estudiar el curso de MMF por sí mismos. Si después de trabajar con este libro el lector está en capacidad de resolver individualmente problemas de la física matemática y utilizar los conocimientos adquiridos en el trabajo ulterior, entonces daremos por cumplida nuestra misión. Los autores consideran un deber agradable expresar su gratitud a todos aquéllos que de una u otra forma contribuyeron a la creación del curso y, en particular, de este libro, y a todos los que en los años transcurridos dictaron los cursos de MMF en la facultad de física de la Universidad Estatal de Novosibirsk, o bien dirigieron las prácticas. Manifestamos nuestro especial agradecimiento a B.G.Konopelchenko, V.M.Malkin, A.M.Rubiénchik, M.D.Spiéktor, M.G.Stepánov, B.I.Sturman y S.K.Turitsin. También agradecemos a A.V.Tielnov por indicarnos una serie de erratas. Novosibirsk, 2003 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||