| Prólogo |
| Introducción para quienes comienzan a estudiar teoría de probabilidades |
| 1 | Conceptos básicos |
| | 1.1. | Sucesos |
| | 1.2. | Axiomas de la teoría de probabilidades |
| | 1.3. | Primeras consecuencias de los axiomas |
| | 1.4. | Regla clásica para el cálculo de probabilidades |
| | 1.5. | Probabilidad condicionada. Fórmula de la probabilidad total. Fórmula de Bayes. |
| | 1.6. | Sucesos independientes |
| | 1.7. | Ejercicios |
| 2 | Esquema de Bernoulli |
| | 2.1. | Esquema de Bernoulli y fórmula de la distribución binomial |
| | 2.2. | Teorema límite local de De Moivre--Laplace |
| | 2.3. | Teorema límite integral de De Moivre--Laplace |
| | 2.4. | Teorema de Bernoulli |
| | 2.5. | Aproximación de Poisson de la distribución binomial |
| | 2.6. | Ejercicios |
| 3 | Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad |
| | 3.1. | Variables aleatorias y funciones de distribución |
| | 3.2. | Variables aleatorias con distribuciones discretas y absolutamente continuas |
| | 3.3. | Vectores aleatorios. Variables aleatorias independientes |
| | 3.4. | Distribución de la suma de variables aleatorias independientes |
| | 3.5. | Ejercicios |
| 4 | Esperanza matemática, variancia y otros momentos de variables aleatorias |
| | 4.1. | Esperanza matemática |
| | 4.2. | Variancia |
| | 4.3. | Desigualdad de Chébishev |
| | 4.4. | Momentos de órdenes superiores. Mediana y cuantiles |
| | 4.5. | Covariancia y coeficiente de correlación. Matriz de covariancia |
| | 4.6. | Ejercicios |
| 5 | Tipos de convergencia en teoría de probabilidades. Ley de los grandes números |
| | 5.1. | Tipos de convergencia en teoría de probabilidades |
| | 5.2. | Ley de los grandes números |
| | 5.3. | Ejercicios |
| 6 | Funciones características |
| | 6.1. | Definiciones y primeras propiedades |
| | 6.2. | Fórmula de inversión y teorema de unicidad |
| | 6.3. | Teoremas de Helly |
| | 6.4. | Relación entre las convergencias de distribuciones y de funciones características |
| | 6.5. | Ejercicios |
| 7 | Teorema central del límite |
| | 7.1. | Teorema de Lindeberg--Lévy |
| | 7.2. | Teorema de Lindeberg |
| | 7.3. | Teorema de Liapunov |
| | 7.4. | Ejercicios |
| 8 | Cadenas de Márkov |
| | 8.1. | Definiciones |
| | 8.2. | Clasificación de los estados. Estados esenciales y periódicos |
| | 8.3. | Recurrencia |
| | 8.4. | Probabilidades límites y distribuciones estacionarias |
| | 8.5. | Ejercicios |
| 9 | Martingalas |
| | 9.1. | Esperanza condicionada |
| | 9.2. | Propiedades de la esperanza condicional |
| | 9.3. | Martingalas |
| | 9.4. | Teorema del muestreo opcional |
| | 9.5. | Convergencia de martingalas |
| | 9.6. | Ley fuerte de los grandes números |
| | 9.7. | Ejercicios |
| 10 | Procesos de Poisson y procesos de Wiener |
| | 10.1. | Proceso de Poisson. Definición y caracterizaciones |
| | 10.2. | Procesos de Poisson compuestos y aplicaciones |
| | 10.3. | Proceso de Wiener. Definición y primeras propiedades |
| | 10.4. | Problemas de barrera para el proceso de Wiener |
| | 10.5. | Ejercicios |
| Bibliografía |
| Índice de materias |
La literatura dedicada a la enseñanza de la teoría de
probabilidades es muy extensa; existen numerosos libros de
texto, excelentemente escritos, para lectores con diferentes
niveles de formación matemática. Entre estos textos podemos
destacar los escritos por Borovkov,
Feller, Gnedenko, Gut,
Ross y Shiryaev, incluidos en la
bibliografía al final de este libro. Sin embargo, la literatura
en español dedicada a esta temática es escasa, y tenemos la
esperanza de que la presente publicación llenará este vacío en
alguna medida.
Este libro contiene un primer curso de teoría de
probabilidades, basado en cursos dictados por ambos autores en
la Universidad de San Petersburgo (Rusia) y en la Universidad de
la República (Montevideo, Uruguay) a lo largo de muchos años.
En el proceso de su preparación se han tenido en
cuenta, especialmente, los intereses de lectores con diferentes
niveles de preparación matemática: el material contenido en el
libro es perfectamente accesible para quienes hayan estudiado
los temas de un curso habitual de cálculo diferencial e
integral. Los lectores en esta situación podrán restringirse a
la consideración de variables aleatorias con distribuciones
discretas, o distribuciones que posean densidad, que son las
encontradas en las aplicaciones. A estas dos clases de
distribuciones se les presta especial atención. En particular,
para estas dos clases se presenta una exposición detallada de
las nociones de esperanza matemática de una variable aleatoria,
varianza de una variable aleatoria, esperanza condicionada de
una variable aleatoria respecto a otra, y cuestiones
relacionadas.
Al mismo tiempo, y en forma independiente, se definen estas
nociones en los términos habituales de teoría de la medida e
integración respecto a medidas abstractas. Esta segunda exposición está
dirigida a estudiantes de matemática o estadística, quienes
encontrarán una presentación rigurosa, de interés y actualizada
de la disciplina.
Cada capítulo se acompaña de un conjunto de ejercicios, ordenados según su
grado de dificultad, y el lector no debe desanimarse si no resuelve todos
los ejercicios. Se prestó especial cuidado en las demostraciones de los
teoremas, proposiciones y lemas incluidos, por lo que este libro puede
utilizarse en forma autodidacta.
La iniciativa de realizar el presente libro correspondió a V. Petrov, quien
escribió los 7 primeros capítulos. E. Mordecki escribió los últimos tres
y preparó el texto en español. Todo el material fue discutido y
revisado en forma conjunta.
Varias personas estuvieron involucradas, de diferentes formas, en la
preparación de este libro. Walter Moreira preparó los gráficos y las
tablas, y prestó invalorable ayuda en la preparación de la versión
electrónica; Ricardo Fraiman e Isabel Cañete leyeron partes del manuscrito,
sugiriendo mejoras y correcciones. A ellos nuestro agradecimiento. Un
especial reconocimiento merecen Rosana y Valentina, por su aliento,
paciencia y comprensión.
Este libro fue posible gracias al apoyo del Centro de Matemática, la
Comisión Sectorial de Investigación Científica, y el Laboratorio de
Probabilidad y Estadística, en la Universidad de la República, junto con el
PEDECIBA--Matemática; y es el resultado de la colaboración científica entre
nuestros países; tenemos la esperanza, de que ayude a su fortalecimiento.
Los autores esperan que su trabajo resulte de utilidad a aquellas personas
que estudian o enseñan teoría de probabilidades.
Montevideo, abril de 2002, V. Petrov, E. Mordecki
Valentín Vladímirovich Petrov
Nació en Rusia el año 1931.
V. V. Petrov es un reconocido especialista en el campo de la
teoría de probabilidades.
Profesor de la Universidad de Leningrado, Doctor en Ciencias (Instituto Steklov, 1962), ha trabajado además en Estados Unidos, Europa, Australia y América Latina. Dedicado al estudio de los teoremas límites en probabilidades, es autor de numerosos artículos científicos
y libros, entre los que se destacan "Sums of independent random variables" (Naúka, 1972; Springer, 1975), "Limit Theorems for Sums of independent random variables" (Rusia, 1987; China, 1991) y "Limit Theorems of Probability Theory" (Oxford, 1995).
Ernesto Mordecki
Nació en Uruguay en el año 1962.
Es profesor de la Universidad de la República (Montevideo).
Obtuvo su doctorado en ciencias físico-matemáticas en el Instituto Steklov (1994). Trabaja en problemas de parada óptima y probabilidades de ruina en procesos estocásticos.
