Pontriaguin L.S. Método de coordenadas

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"La atención del lector debe estar dirigida no a refinamientos teóricos como, por ejemplo, la teoría de conjuntos o la teoría de límites, sino a los resultados matemáticos principales que se forjaron en el transcurso de milenios".

"Los libros reflejarán mis preferencias y mi punto de vista personal sobre la matemática formados en el transcurso de muchos años de trabajo. Además, tendrán en cuenta mis propios recuerdos sobre las posibilidades de percepción de los jóvenes, a fin de que las nuevas generaciones, a partir ya de los últimos cursos de la escuela, puedan familiarizarse con la matemática superior, y adquirir desde un principio un gusto sano y correcto respecto a la misma".

La serie

Método de coordenadas

Análisis infinitesimal

Álgebra

Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones

"Dada la extraordinaria importancia que tienen los números complejos en la matemática moderna, en el mismo comienzo del libro presto una gran atención a su estudio: se da la representación geométrica de los mismos con ayuda de las coordenadas cartesianas rectangulares; a continuación, se estudian los polinomios complejos de variable compleja desde el punto de vista geométrico, y se ofrece una idea geométrica de la demostración del teorema fundamental del álgebra, que afirma que cada polinomio de grado n tiene exactamente n raíces. La demostración rigurosa de este importante teorema es imposible sin la definición exacta del concepto de continuidad de una función. No obstante, considero que la demostración geométrica intuitiva dada en este libro es suficientemente convincente y de un gran interés. La necesidad de una comprensión rigurosa de los conceptos de límite y continuidad debe surgir en el lector sólo como resultado de la asimilación de una gran cantidad de conocimientos matemáticos concretos. En mi opinión, conceptos tales constituyen la superestructura que determina los hechos matemáticos concretos y, por ello, la descripción de esta superestructura no debe llevarse a cabo desde el mismo comienzo, pues aburre al lector que aún no comprende para qué se hace todo esto".

Índice

Prólogo

La obra que el lector tiene en sus manos forma parte de la serie Primera Cita con la Matemática Superior, ideada por el eminente matemático soviético Liev Semiónovich Pontriaguin (1908–1988). El objetivo que esta serie persigue está resumido en las siguientes palabras de su autor: "Estos libros están dedicados al estudio de los resultados más importantes de la matemática superior clásica. La elección del material y el orden en que éste se imparte no corresponden a ningún programa de estudios. Los libros reflejarán mis preferencias y mi punto de vista personal sobre la matemática formados en el transcurso de muchos años de trabajo. Además, tendrán en cuenta mis propios recuerdos sobre las posibilidades de percepción de los jóvenes, a fin de que las nuevas generaciones, a partir ya de los últimos cursos de la escuela, puedan familiarizarse con la matemática superior, y adquirir desde un principio un gusto sano y correcto respecto a la misma. La atención del lector debe estar dirigida no a refinamientos teóricos como, por ejemplo, la teoría de conjuntos o la teoría de límites, sino a los resultados matemáticos principales que se formaron en el transcurso de milenios".

En los tres capítulos que forman el presente libro se exponen las principales aplicaciones de los sistemas de coordenadas cartesianas en el plano. El lugar central es ocupado por una introducción a la geometría analítica en el plano: se dan las definiciones geométricas de la elipse, la hipérbola y la parábola referidas a sus focos y a sus directrices; a continuación se obtiene la clasificación de las curvas de segundo grado, es decir, se demuestra que toda curva de segundo grado es una elipse, una hipérbola o una parábola (a excepción de los casos degenerados). Debido a la extraordinaria importancia que tienen los números complejos en la matemática moderna, al inicio del libro se presta gran atención a su estudio: se muestra cómo pueden ser representados geométricamente con ayuda de las coordenadas cartesianas rectangulares; seguidamente se estudian los polinomios de una variable compleja con coeficientes complejos desde el punto de vista geométrico y se explica la idea geométrica de la demostración del teorema fundamental del álgebra, que afirma que cada polinomio de grado n tiene exactamente n raíces. La demostración rigurosa de este importante teorema es imposible sin la definición del concepto de función continua. No obstante, consideramos que la demostración geométrica intuitiva dada en este libro es suficientemente convincente y de gran interés. La necesidad de definir rigurosamente los conceptos de límite y continuidad debe surgir en el lector sólo como resultado de la acumulación de conocimientos matemáticos concretos. Los conceptos como límite y continuidad constituyen, a nuestro parecer, la superestructura que puntualiza determinados resultados matemáticos. La descripción de esta superestructura no debe llevarse a cabo desde el inicio mismo, causando apatía en el lector, quien aún no comprende para qué es necesario todo esto.

Cada uno de los tres capítulos de este libro va acompañado de un complemento, en el cual se generalizan al caso del espacio tridimensional los resultados obtenidos en el plano: se describen las coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio y sus aplicaciones más simples en la teoría de las superficies de segundo grado. Como uno de los principales resultados se puede señalar la clasificación completa de las superficies de segundo grado. El material incluido en los complementos se expone en menor detalle con el objetivo de suministrar al lector temas para el estudio individual.

Para concluir debemos aclarar que la serie Primera Cita con la Matemática Superior no ha sido concebida para una lectura fácil, sino como una guía para un trabajo intenso y serio por parte del lector. El pequeño volumen de los libros no indica de ninguna manera que su contenido también lo sea; en realidad, la exposición es muy concisa y abarca una gran cantidad de material.

Sobre el autor

Eminente matemático soviético, miembro de la Academia de Ciencias de la URSS (AC URSS) y miembro honorífico de la Academia de Ciencias de Hungría. Doctor en Ciencias Físico-Matemáticas. Héroe del Trabajo Socialista (1969), tres veces Laureado con el Premio Lenin y dos veces con el Premio Estatal de la URSS. Fue galardonado con el Premio Internacional ``Lobachevski'' y con la orden de la ``Revolución de Octubre''. Liev Semiónovich Pontriaguin nació el 3 de septiembre de 1908 en Moscú. A la edad de 13 años perdió la vista en un accidente. En 1929 finalizó sus estudios en la Universidad Estatal de Moscú ``M. V. Lomonósov'', donde se desempeñу como profesor desde 1930. A partir de 1939 ocupó paralelamente el cargo de jefe de la sección de ecuaciones diferenciales ordinarias del Instituto de Matemática ``V. A. Steklov'' de la AC URSS.

L. S. Pontriaguin es una de las cimas de la matemática del siglo XX. Sus trabajos fueron especialmente relevantes en los campos de la teoría de las ecuaciones diferenciales, la topología, la teoría de oscilaciones, la teoría de control, el cálculo variacional y el álgebra.

En topología el autor descubrió la ley general de dualidad, en relación con la cual construyó la teoría de caracteres de los grupos continuos. Asimismo, obtuvo una serie de resultados importantes en la teoría de homotopías (clases de Pontriaguin).

Los trabajos más importantes de Pontriaguin en teoría de oscilaciones están relacionados con la asintótica de las oscilaciones de relajación. En la teoría de control es considerado el creador de la teoría matemática de los procesos óptimos, en cuya base se encuentra el famoso "principio de máximo de Pontriaguin".

También obtuvo resultados importantes en el cálculo variacional, en la teoría de juegos diferenciales, en la teoría de la dimensión y en la teoría de regulación.

Los trabajos de la escuela de Pontriaguin ejercieron una gran influencia a nivel mundial en el desarrollo de la teoría de control y del cálculo variacional.