URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Понтрягин Л.С. Непрерывные группы
Id: 99604
 
659 руб.

Непрерывные группы. Изд.6

URSS. 2009. 520 с. Мягкая обложкаISBN 978-5-354-01184-1.

 Аннотация

Книга является классическим изложением теории непрерывных групп. Ее первое издание было удостоено Государственной премии СССР. Работа не требует значительной специальной подготовки, поскольку необходимые сведения из теории групп и теории топологических пространств изложены в начальных главах.

Адресована научным работникам, аспирантам и студентам старших курсов, специализирующимся в различных областях математики.


 Содержание

Предисловие к третьему изданию
Введение
Обозначения
Глава 1. Группы
 § 1.Понятие группы
 § 2.Подгруппа. Нормальный делитель. Факторгруппа
 § 3.Изоморфизм. Гомоморфизм
 § 4.Центр. Коммутант
 § 5.Прямое произведение групп
 § 6.Коммутативные группы
 § 7.Кольца и тела
Глава 2. Топологические пространства
 § 8.Понятие топологического пространства
 § 9.Окрестности
 § 10.Гомеоморфизм. Непрерывное отображение
 § 11.Подпространство
 § 12.Аксиомы отделимости
 § 13.Бикомпактность
 § 14.Прямое произведение топологических пространств
 § 15.Связность
 § 16.Размерность
Глава 3. Топологические группы
 § 17.Понятие топологической группы
 § 18.Система окрестностей единицы
 § 19.Подгруппа. Нормальный делитель. Факторгруппа
 § 20.Изоморфизм. Гомоморфизм
 § 21.Прямое произведение топологических групп
 § 22.Связные и вполне несвязные группы
 § 23.Локальные свойства. Локальный изоморфизм
 § 24.Непрерывные группы преобразований
Глава 4. Топологические тела
 § 25.Топологические кольца и тела
 § 26.Классические непрерывные тела
 § 27.Структура непрерывных тел
Глава 5.  Линейнвте представления бикомпактных топологических групп
 § 28.Непрерывные функции на топологической группе
 § 29.Инвариантное интегрирование
 § 30.Интегральные уравнения на группе
 § 31.Предварительные сведения о матрицах
 § 32.Соотношения ортогональности
 § 33.Полнота системы неприводимых представлений
Глава 6.  Коммутативные локально бикомпактные топологические группы
 § 34.Группа характеров
 § 35.Группы характеров факторгруппы и открытой подгруппы
 § 36.Группы характеров элементарных групп
 § 37.Теоремы двойственности для бикомпактных и дискретных групп
 § 38.Размерность, связность и локальная связность бикомпактной группы
 § 39.Структура локально бикомпактных групп
 § 40.Теоремы двойственности для локально бикомпактных групп
Глава 7.  Понятие группы Ли
 § 41.Группа Ли
 § 42.Однопараметрические подгруппы
 § 43.Теорема инвариантности
 § 44.Подгруппа и факторгруппа
 § 45.Группы Ли и аналитические многообразия
Глава 8.  Структура бикомпактных топологических групп
 § 46.Сходящиеся ряды бикомпактных групп
 § 47.Конечномерные бикомпактные группы
 § 48.Транзитивные бикомпактные группы преобразований конечномерных пространств
Глава 9. Локально изоморфные группы
 § 49.Фундаментальная группа
 § 50.Накрывающее пространство
 § 51.Накрывающие группы
Глава 10. Группы Ли и алгебры Ли
 § 52.Структурные константы. Алгебра Ли
 § 53.Подалгебра. Факторалгебра. Гомоморфное отображение
 § 54.Линейные группы. Автоморфизмы алгебр Ли
 § 55.Условия интегрируемости
 § 56.Построение группы Ли по структурным константам
 § 57.Построение подгруппы и гомоморфизма
 § 58.Разрешимые и полупростые алгебры Ли
 § 59.Построение группы Ли в целом
 § 60.Локальные группы Ли преобразований
Глава 11. Структура компактных групп Ли
 § 61.Компактные алегбры Ли
 § 62.Корневая система полупростой компактной алгебры Ли
 § 63.Построение полупростой компактной алгебры Ли по ее корневой системе
 § 64.Инвариантность корневой системы
 § 65.Классические алгебры Ли и их корневые системы
 § 66.Классификация простых компактных алгебр Ли
Литература
 Распределение литературы по главам
Указатель

 Предисловие к третьему изданию

С точки зрения чисто логической непрерывная или, что то же самое, топологическая группа представляет собой простое соединение двух основных математических понятий: группы и топологического пространства, именно, элементы одного и того же множества составляют группу и в то же время топологическое пространство. Ясно, что такое объединение не имело бы никакого смысла, если бы алгебраические и топологические операции, определенные на одном и том же множестве, не были связаны между собой. Связь эта существует и заключается в том, что групповые операции умножения и взятия обратного элемента непрерывны в смысле заданной топологии. Возникающее таким образом понятие и представляет собой топологическую группу. Аналогично может быть определено топологическое кольцо и топологическое тело. Приведем примеры:

1) конечномерное векторное пространство с групповой операцией сложения является топологической группой;

2) совокупность всех квадратных матриц данного порядка с действительными элементами с обычными для матриц операциями сложения и умножения является топологическим кольцом;

3) совокупность всех квадратных матриц данного порядка с действительными элементами и детерминантами, отличными от нуля, с обычной операцией матричного умножения является топологической группой;

4) тела действительных чисел, комплексных чисел и кватернионов являются топологическими.

Тот факт, что такого рода тополого-алгебраические объекты довольно часто встречаются в математике, сам по себе не мог бы служить убедительным основанием для их изучения. Оказалось, однако, что, налагая на тополого-алгебраический объект ограничения (аксиомы) весьма общего характера, мы приходим к чрезвычайно конкретным математическим понятиям. Например, непрерывное алгебраическое тело, если оно связно и локально бикомпактно, изоморфно либо телу действительных чисел, либо телу комплексных чисел, либо телу кватернионов (результат, полученный мною в начале тридцатых годов [34]). Несколько позже мною было обнаружено [37], что между коммутативными бикомпактными топологическими группами и дискретными коммутативными группами имеется естественное взаимно однозначное соответствие, которое осуществляется образованием группы характеров.

Такого рода факты сделали теорию топологических групп содержательной и привлекли к ней внимание.

На основе нескольких своих лекционных курсов я составил монографию "Непрерывные группы", которая была опубликована в 1938 г. Второе, гораздо более обширное, издание книги вышло в 1954 г.

Настоящее, третье, издание отличается от второго очень мало -- только исправлением одной неточности, допущенной в седьмой главе второго издания, что повлекло некоторые незначительные изменения десятой главы.

В этой книге в двух случаях я пользуюсь несколько устарелой терминологией, на что необходимо обратить внимание читателя.

1. Последнее время вместо термина бикомпактность стали употреблять термин компактность, так как термин компактность в старом смысле слова перестал употребляться. Я же сохраняю термин бикомпактность.

2. При рассмотрении топологических групп иногда приходится рассматривать лишь их алгебраические свойства, отвлекаясь от свойств топологических. Так рассматриваемую топологическую группу я называю группой алгебраической, между тем термин алгебраическая группа применяется теперь в совершенно другом смысле, который, однако, не употребляется в настоящей книге.

Л.С.Понтрягин

 Введение

Первоначально понятие непрерывной, или, что то же самое, топологической группы возникло в математике в связи с рассмотрением групп непрерывных преобразований. Группа непрерывных преобразований, например геометрических, сама естественным образом представляет собой топологическое многообразие. В дальнейшем оказалось, что для трактовки большей части возникающих здесь проблем нет надобности рассматривать группу как группу преобразований, достаточно изучать лишь группу саму по себе, помня, однако, что в ней установлены соотношения предельного перехода. Таким образом возникло новое математическое понятие: топологическая группа.

С точки зрения чисто логической топологическая группа представляет собой простое соединение двух основных математических понятий: группы и топологического пространства. Поэтому аксиоматика понятия топологической группы крайне естественна. Рассматривая группы, мы изучаем в наиболее чистом виде алгебраическую операцию умножения. Точно так же, рассматривая топологические пространства, мы в столь же чистом виде изучаем операцию предельного перехода. Так как обе эти операции принадлежат к числу основных математических операций, то они весьма часто объединяются. Топологическая группа и представляет собой то понятие, в котором объединены и тесно связаны между собой обе указанные операции. В конструктивном отношении аксиоматика топологических групп не представляет собой ничего интересного, так как в основном лишь повторяет аксиоматику абстрактных групп. Таковы же и первые шаги теории топологических групп: они не содержат почти ничего специфического. Однако совмещение в одном множестве связанных между собой алгебраических и топологических операций приводит к сравнительно большой конкретности рассматриваемых объектов. Это особенно ярко видно на примере непрерывных тел, детально изученных в четвертой главе. Третья глава в основном посвящена сравнительно тривиальному изложению аксиоматики топологических групп и установлению их простейших свойств. В первой и второй главах собраны те сведения из теории групп и абстрактной топологии, которые используются на протяжении дальнейших глав.

После того как построена аксиоматика и дана общая теория топологических групп, возникает более интересная задача: дать конструктивное исследование нового абстрактного понятия, т.е. привести его в связь со старыми более конкретными понятиями. На этом пути освещаются с новой общей точки зрения старые конкретные понятия и в то же время конкретизируется новое абстрактное понятие. То, что было проделано для непрерывных тел в четвертой главе без применения какого-либо аппарата, не удается сделать для топологических групп столь простыми средствами. Основным аппаратом при изучении топологических групп служит теория линейных представлений, данная в пятой главе. При помощи этого аппарата удается детально изучить структуру бикомпактных и коммутативных топологических групп, что сделано в восьмой и шестой главах.

К числу конкретных понятий теории топологических групп относится понятие группы Ли. Первоначально теория топологических групп и возникла в форме теории групп Ли. Как обычно в теориях сравнительно давнего происхождения, в теории групп Ли остались нерешенными некоторые вопросы принципиального характера. Решению этих принципиальных вопросов посвящается седьмая глава. Там же дается подготовительный материал для главы восьмой, так как бикомпактные топологические группы изучаются при помощи приведения их в связь с группами Ли. Более детально группы Ли исследуются в десятой и одиннадцатой главах. Там даются основы теории групп Ли, а также классификация компактных групп Ли. В девятой главе дается понятие универсальной накрывающей группы. Оно устанавливает связь между локальными свойствами топологической группы и ее свойствами в целом.

Почти каждый параграф книги заканчивается примерами, характер которых весьма разнообразен. С одной стороны, здесь имеются почти тривиальные иллюстрации теоретического материала; с другой же стороны, часто дается краткое изложение доказательств некоторых теорем, имеющих вполне самостоятельное значение.

Книгу не обязательно читать всю подряд. Схема зависимости глав приложена выше.

Книга не предполагает у читателя обширных математических познаний, но требует значительной математической культуры. В основном предполагается знание лишь самого элементарного математического материала типа аналитической геометрии, теории матриц, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и т.п.

К книге прилагается список литературы. Ссылки на литературу будут даваться указанием номера по этому списку, заключенного в квадратные скобки.


 Об авторе

Лев Семенович Понтрягин (1908--1988)

Выдающийся российский математик, академик АН СССР, Герой Социалистического Труда (1969). Родился 3 сентября 1908 г. в Москве. В 14 лет потерял зрение от несчастного случая. Окончил Московский государственный университет им.М.В.Ломоносова (1929). С 1930 г. работал в Московском университете, где в 1935 г. получил ученое звание профессора, и одновременно с 1939 г. занимал должность заведующего отделом Математического института им.В.А.Стеклова АН СССР.

Основные работы Л.С.Понтрягина относятся к теории дифференциальных уравнений, топологии, теории колебаний, теории управления, вариационному исчислению, алгебре. В топологии он открыл общий закон двойственности и в связи с этим построил теорию характеров непрерывных групп; получил ряд результатов в теории гомотопий (классы Понтрягина). В теории колебаний главные результаты работ Л.С.Понтрягина относятся к асимптотике релаксационных колебаний. В теории управления он выступил как создатель математической теории оптимальных процессов, в основе которой лежит так называемый принцип максимума Понтрягина. Ему принадлежат также существенные результаты в области вариационного исчисления, дифференциальных игр, теории размерности, теории регулирования. Работы школы Л.С.Понтрягина оказали большое влияние на развитие теории управления и вариационного исчисления во всем мире.

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце