Мерзляков Ю.И. Рациональные группы Изд. 3

URSS. 2022. 448 с. ISBN 978-5-9710-9762-4.

Белая офсетная бумага

Твердый переплет
Другой вариант 1999 р. ››

Аннотация

Настоящая книга посвящена исследованию групп, умножение в которых задается рациональными функциями, — линейных алгебраических, произвольных алгебраических и произвольных линейных групп. Книга состоит из трех частей — в соответствии с тремя указанными разделами теории групп. Наряду с классическими результатами в ней впервые в монографической литературе излагаются структурные теоремы об абстрактных алгебраических группах,... (Подробнее)

Оглавление

Предисловие ко второму изданию				9
Введение				11
ЧАСТЬ I АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ МАТРИЦ				17
§ 1. Тензорные и внешние алгебры				17
1.1. Свободные алгебры				17
1.2. Градуированные алгебры				18
1.3. Тензорные алгебры				21
1.4. Внешние алгебры				22
1.5. Плюккеровы координаты подпространства				27
§ 2. Плейсы и нормирования полей				28
2.1. Определение плейса				28
2.2. Нормирующие подкольца				29
2.3. Упорядоченные абелевы группы				31
2.4. Нормирования				31
2.5. Абсолютные значения				34
§ 3. Продолжение плейсов и гомоморфизмов				37
3.1. Продолжение плейсов				38
3.2. Целые элементы и смежные вопросы				40
3.3. Сопряженность продолжающих плейсов				42
3.4. Продолжение гомоморфизмов				45
§ 4. Разделенность расширений				46
4.1. Линейная разделенность				47
4.2. Критерий Маклейна				49
4.3. Двухшажный критерий линейной разделенности				51
4.4. Алгебраическая разделенность				52
§ 5. Сепарабельность. Регулярность				54
5.1. Сепарабельность				54
5.2. Основные свойства. Примеры				56
5.3. Критерии алгебраической сепарабельности в терминах следов				57
5.4. Критерии алгебраической сепарабельности в терминах дифференцирований				58
5.5. Регулярность				60
§ 6. Идеалы в кольцах многочленов				63
6.1. Условие максимальности				63
6.2. Теорема Гильберта о корнях				66
6.3. Поле определения				70
§ 7. Полиномиальная топология				72
7.1. Алгебраические множества и многообразия				73
7.2. Поле определения и поле квазиопределения				75
7.3. Общие точки. Локусы				78
7.4. Специализации. Размерность				81
§ 8. Рациональные отображения				83
8.1. Определения				84
8.2. Неприводимые и густые множества				88
8.3. Один специальный результат				91
§ 9. Алгебраические группы матриц				94
9.1. Примеры алгебраических групп матриц				95
9.2. О полугруппах				97
9.3. Компоненты алгебраической группы				98
9.4. О k-гpyппax				100
§ 10. Инварианты и полуинварианты				101
10.1. Задание алгебраической группы инвариантами и полуинвариантами				102
10.2. Примеры				105
10.3. Алгебраические группы как полные группы автоморфизмов				106
§ 11. Рациональные гомоморфизмы				111
11.1. «Гомоморфное всюду голоморфно»				111
11.2. Тензорное произведение				112
11.3. Построение рационального гомоморфизма с заданным ядром				114
§ 12. Замкнутые подгруппы				118
12.1. Подгруппа, порожденная густым множеством с единицей				118
12.2. О вербальных подгруппах				120
12.3. Коммутанты и централы				122
12.4. Полупрямое разложение				124
§ 13. Размерность				125
13.1. Размерности ядра и образа				126
13.2. Другие соотношения для размерностей				128
§ 14. Диагонализируемые группы				130
14.1. Полуинварианты. Определяющие уравнения				130
14.2. Торы				131
14.3. Роль периодических элементов				133
14.4. Автоморфизмы торов				134
§ 15. Расщепление матрицы на компоненты				137
15.1. Нильпотентность и полупростота				137
15.2. Полупростота над совершенным полем				140
15.3. Расщепление матрицы на компоненты				141
§16. Полупростые и унипотентные элементы в алгебраических группах				144
16.1. Расщепляемость алгебраических групп				145
16.2. Сохранение полупростоты и унипотентности при рациональных гомоморфизмах				147
16.3. Разложение абелевой нормальной подгруппы относительно элемента группы				148
16.4. Один признак тривиальности сопряжения				150
§ 17. Триангулируемые группы				151
17.1. Треугольные группы				152
17.2. Теорема Колчина				153
17.3. Комментарий к теореме Колчина				155
§ 18. Коммутативные и нильпотентные группы				158
18.1. Коммутативные группы				158
18.2. Векторные группы в характеристике р				160
18.3. Строение связных нильпотентных групп				164
18.4. Полупростые и центральные элементы в произвольных нильпотентных группах				165
§ 19. Связные разрешимые группы				167
19.1. Теорема Бореля				167
19.2. Покрытие полупростых элементов торами и другие свойства торов				170
19.3. Централизаторы торов				171
19.4. Связные разрешимые k-группы				174
§ 20. Алгебры Ли алгебраических групп				175
20.1. Алгебра Ли алгебраической группы				175
20.2. Экспоненциалы в алгебраических k-группах над полем характеристики 0				179
20.3. Дифференциал рационального представления				181
20.4, Соответствие между взаимными коммутантами				183
ЧАСТЬ II АБСТРАКТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ				186
§ 21. Проективные многообразия: точки Плюккера				186
21.1. Проективные многообразия				186
21.2. Точки Плюккера				187
21.3. Многообразия Плюккера				188
§ 22. Проективные многообразия: v-матрёшки, точки Чжоу				190
22.1. v-матрёшки				191
22.2. Точки Чжоу				194
§ 23. Абстрактные многообразия. Полнота				199
23.1. Определения				200
23.2. Примеры				204
23.3. Полнота				206
§ 24. Нормальные точки. Простые точки				209
24.1. Нормальность и k-нормальность				210
24.2. Нормализационные леммы				213
24.3. Нормализация				214
24.4. Простые точки				217
§ 25. Теорема о размерности				220
25.1. Теорема о размерности: частный случай				220
25.2. Применение к моноидным соответствиям				222
25.3. Теорема о размерности: общий случай				224
§ 26. О регулярности локальных колец				227
26.1. О понятии регулярности для локальных колец				227
26.2. Регулярность локальных колец простых точек				230
§ 27. Ряды Тейлора. Простота и нормальность				234
27.1. m-адическая топология				234
27.2. Ряды Тейлора				236
27.3. Нормальность простых точек				238
§ 28. Простота и плоские сечения				240
28.1. Лемма о регулярных расширениях				241
28.2. Плоские сечения				242
28.3. Плоские сечения и простота				245
28.4. Пример применения плоских сечений				247
§ 29. Абстрактные алгебраические группы				250
29.1. Определение группы. Влияние аффинности и полноты				250
29.2. Сложение на кубических кривых				252
29.3. Об алгебрах Ли абстрактных алгебраических групп				258
§ 30. Действие				259
30.1. Определения и примеры				259
30.2. Инвариантные функции и орбиты				263
§ 31. Какие группы линейны?				266
31.1. Теорема Розенлихта				266
31.2. Другие признаки линейности				268
§ 32. Частичная группа. Частичное действие				271
32.1. Частичная группа				272
32.2. Частичное действие				274
§ 33. От частичного к полному: филейный кусок				276
33.1. Филейные точки				277
33.2. Филейные модели				279
§ 34. От частичного к полному: склейка филейных кусков				282
34.1. Свойства филейных моделей				282
34.2. Теорема Вейля: единственность, построение над увеличенным полем				283
§ 35. От частичного к полному: спуск поля				287
35.1. О спуске поля определения				287
35.2. Окончание доказательства теоремы Вейля				289
§ 36. Многообразие орбит				294
36.1. Многообразие орбит				294
36.2. Многообразие правых смежных классов				296
36.3. Сохранение вложения при переходе к смежным классам				299
§ 37. Факторгруппа				302
37.1. Определение факторгруппы				303
37.2. О рациональных сечениях				306
37.3. Еще несколько признаков линейности				310
§ 38. О подгруппах в линейных алгебраических группах				312
38.1. Борелевы подгруппы				313
38.2. Картановы подгруппы				313
38.3. Одномерные подгруппы				319
§ 39. Теоремы о гомоморфизмах				319
39.1. Основные теоремы о гомоморфизмах				320
39.2. Теоремы о матрёшках подгрупп				321
39.3. Антагонизм линейности и полноты при гомоморфизмах				324
§ 40. Структурная теорема				325
40.1. Об абелевых многообразиях				325
40.2. Структурная теорема				328
40.3. Следствия				333
ЧАСТЬ III ЛИНЕЙНЫЕ ГРУППЫ				335
§ 41. Пример: классические группы				335
41.1. Группа полуторалинейной формы				335
41.2. Классификация рефлексивных форм				337
41.3. Независимость симплектической группы от определяющей формы				339
41.4. О конечных классических группах				340
§ 42. Неприводимость				342
42.1. Определения				342
42.2. Полная приводимость группы и подгруппы				344
42.3. Леммы о неприводимых представлениях				345
§ 43. Абсолютная неприводимость				346
43.1. Лемма о следах				346
43.2. Неприводимые представления и характеры				348
43.3. Критерий Бернсайда				349
43.4. Примеры применений				350
§ 44. Примитивность				352
44.1. Взаимоотношения с неприводимостью				352
44.2/. Блоки и подстановки				353
44.3. Теорема Клиффорда				355
44.4. Секция Fit G/Z(G) неприводимой примитивной группы G				356
§ 45. Разрешимые группы				358
45.1. Почти триангулируемость				358
45.2. Ступень разрешимости и другие числовые характеристики				360
45.3. О почти разрешимости				361
45.4. Исторические замечания				362
§ 46. О полной приводимости поэлементно и в целом				366
46.1. Положительные результаты				366
46.2. Отрицательные результаты				368
§ 47. Разрешимые группы над Z				371
47.1. Аддитивная группа кольца целых алгебраических чисел				371
47.2. Мультипликативная группа кольца целых алгебраических чисел				373
47.3. Разрешимые группы матриц над Z				376
§ 48. Полициклические группы				377
48.1. Группы Т_n^d( , к) и гомоморфизмы □_rs				377
48.2. Треугольные полициклические группы				378
§ 49. Нильпотентные группы				381
49.1. Унипотентные группы				381
49.2. Нильпотентность и мономиальность				383
49.3. Индекс центра				385
§ 50. Конечные группы над с				386
50.1. Сопряженность конечных подгрупп с унитарными				386
50.2. Свойства нормы комплексных матриц				388
50.3. Лемма о понижении ступени энгелевости				389
50.4. Теорема Жордана				390
§ 51. Конечно порожденные группы				392
51.1. Леммы Крулля и Шевалле как орудия финитной аппроксимации				392
51.2. Теорема А. И. Мальцева о финитной аппроксимируемости линейных групп				394
§ 52. Периодические группы				396
52.1. Проблема Бернсайда				396
52.2. Вполне приводимые периодические группы				398
52.3. Почти абелевость периодических групп в характеристике 0				400
§ 53. Метрика в проективном пространстве				401
53.1. О локально компактных полях				401
53.2. Допустимые метрики в проективном пространстве				403
53.3. Норма отображения				405
§ 54. Точки притяжения и отталкивания				407
54.1. Действие степеней проективного преобразования па компактах				407
54.2. Плотность множества тянитолкаев				411
§ 55. Альтернатива Титса				413
55.1. Предварительные замечания				413
55.2. Альтернатива Титса для конечно порожденных групп				416
§ 56. Вербальные и маргинальные подгруппы				420
56.1. Гипотезы Ф. Холла				420
56.2 Доказательство в классе линейных групп				421
§ 57. Метод расщепляемых координат				424
57.1. Расщепляемые координаты				424
57.2. Примеры расщепляемых отображений				426
57.3. О координатах над кольцом				428
§ 58. Бирациональные голоморфы алгебраических групп				429
58.1. Вспомогательные результаты				429
58.2. О линейности бирациональных голоморфов				431
§ 59. Голоморфы полициклических групп				433
59.1. Вспомогательные результаты				434
59.2. Линеаризация конечно порожденных нильпотентных групп				435
59.3. Линеаризация голоморфов полициклических групп				438
§ 60. Группы внешних автоморфизмов черниковских групп				440
60.1. Матричное представление групп внешних автоморфизмов черниковских групп				441
60.2. Применения к абстрактной теории групп				444
Список литературы				445
Предметный указатель				446

Об авторе

Мерзляков Юрий Иванович

Советский и российский математик, специалист в области теории групп. Доктор физико-математических наук. В 1961 г. окончил механико-математический факультет Пермского государственного университета. С 1964 г. и до конца жизни работал в Институте математики имени С. Л. Соболева СО РАН (в последние годы жизни — в должности ведущего научного сотрудника лаборатории теории функций комплексного переменного). Параллельно, с 1965 г., работал в Новосибирском государственном университете, где ежегодно читал курс высшей алгебры. Автор свыше 100 научных трудов, в том числе статей по теории групп, широко известных как в России, так и за рубежом.