URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем
Id: 94047
 
449 руб.

Устойчивость разностных схем. Изд.3, стереот.

URSS. 2009. 384 с. Мягкая обложкаISBN 978-5-397-00567-8.

 Аннотация

В предлагаемой вниманию читателей книге дан обзор результатов теории устойчивости разностных схем, рассматриваемых в конечномерных гильбертовых пространствах. Сформулированы необходимые и достаточные условия устойчивости классов двух- и трехслойных разностных схем с самосопряженными и несамосопряженными операторами. Выделены симметризуемые разностные схемы, среди которых особое место занимают схемы с переменными весовыми множителями. Рассмотрены безусловно устойчивые аддитивные разностные схемы (схемы расщепления). Для общего многокомпонентного расщепления строятся аддитивные разностные схемы полной аппроксимации для эволюционных уравнений первого и второго порядка.

Книга рекомендуется специалистам в области вычислительной математики, аспирантам и студентам физико-математических вузов.


 Оглавление

Предисловие ко второму изданию
Предисловие
Основные обозначения, принятые в книге
Введение
Глава I. Разностные схемы
 § 1. Примеры разностных аппроксимаций
  1. Обозначения.
  2. Аппроксимация простейших дифференциальных выражений.
  3. Аппроксимация краевых задач для уравнения второго порядка.
  4. Случай цилиндрических и сферических координат.
  5. Краевая задача для уравнения четвертого порядка.
 § 2. Свойства некоторых разностных операторов
  1. Линейные операторы в нормированных пространствах.
  2. Операторы в гильбертовом пространстве.
  3. Некоторые разностные тождества и неравенства.
  4. Оператор второй разностной производной.
  5. Третья краевая задача.
  6. Разностные операторы первого порядка.
  7. Разностные операторы четвертого порядка.
  8. Случай комплексных пространств сеточных функций.
  9. Функции разностных операторов.
 § 3. Некоторые приемы исследования устойчивости разностных схем
  1. Устойчивость и сходимость стационарных задач.
  2. Случай неравномерной сетки.
  3. Разностные схемы для уравнения переноса.
  4. Разностные схемы для уравнения теплопроводности.
  5. Метод энергетических неравенств.
  6. Примеры трехслойных разностных схем.
  7. Уравнение колебаний стержня.
  8. Нестационарное уравнение Шредингера.
Глава II. Устойчивость двухслойных разностных схем
 § 1. Устойчивость по начальным данным и по правой части
  1. Общие понятия.
  2. Канонические формы двухслойных и трехслойных разностных схем.
  3. Устойчивость двухслойной схемы.
  4. Устойчивость по начальным данным и по правой части.
  5. Связь между устойчивостью по начальным данным и устойчивостью по правой части.
 § 2. Необходимые и достаточные условия устойчивости по начальным данным
  1. Операторные неравенства.
  2. Оценки норм операторов в гильбертовом пространстве.
  3. Необходимые и достаточные условия устойчивости разностных схем в действительном гильбертовом пространстве.
  4. Случай несамосопряженных операторов.
  5. Метод энергетических неравенств.
  6. Перестановочные операторы.
  7. Схема с весами.
  8. Устойчивость разностных схем в комплексном гильбертовом пространстве.
  9. Устойчивость разностных схем с переменными операторами.
 § 3. Примеры исследования устойчивости разностных схем
  1. Общие замечания.
  2. Разностные схемы для уравнения теплопроводности.
  3. Уравнение теплопроводности с переменными коэффициентами.
  4. Уравнение теплопроводности в цилиндрических и сферических координатах.
  5. Разностные схемы для уравнения переноса. Задача Коши.
  6. Краевая задача для уравнения переноса.
  7. Замечания.
Глава III. Устойчивость двухслойных разностных схем по правой части
 § 1. Априорные оценки для двухслойных разностных схем
  1. Сведение схемы общего вида к явной схеме.
  2. Метод выделения стационарных неоднородностей.
  3. Схемы с весами.
  4. Метод энергетических неравенств.
  5. Примеры исследования сходимости разностных схем.
 § 2. Разностные схемы с несамосопряженными операторами
  1. Несамосопряженный оператор А.
  2. Кососимметричный оператор А.
  3. Случай знаконеопределенного оператора А.
 § 3. Другие методы исследования устойчивости
  1. Метод разделения переменных.
  2. Асимптотическая устойчивость.
  3. Пример асимптотически устойчивой схемы
  4. Другие априорные оценки.
  5. Замечания и примеры
Глава IV. Устойчивость многослойных разностных схем
 § 1. Достаточные условия устойчивости и априорные оценки для трехслойных разностных схем
  1. Пространство Нт.
  2. Определение устойчивости многослойной разностной схемы.
  3. Линейные операторы в пространстве Нг.
  4. Исследование устойчивости трехслойных разностных схем методом энергетических неравенств.
  5. Представление трехслойной схемы в виде двухслойной.
  6. Достаточные условия устойчивости трехслойных разностных схем.
  7. Устойчивость в более простых нормах.
  8. Устойчивость по правой части.
  9. Трехслойные схемы с весами.
  10. Примеры трехслойных разностных схем
 § 2. Необходимые и достаточные условия устойчивости трехслойных разностных схем
  1. Общий вид условий устойчивости.
  2. Приложение к двухслойным схемам.
  3. Необходимые и достаточные условия устойчивости трехслойных разностных схем по начальным данным.
  4. Устойчивость по правой части. Случай р=1.
  5. Случай произвольного р --> 0.
  6. Устойчивость трехслойных разностных схем с несамосопряженными операторами.
  7. Другие теоремы об устойчивости трехслойных схем с несамосопряженными операторами.
 § 3. Устойчивость четырехслойных и пятислойных разностных схем
  1. Канонический вид и достаточные условия устойчивости четырехслойных разностных схем.
  2. Канонический вид и достаточные условия устойчивости пятислойных разностных схем.
  3. Устойчивость обыкновенных разностных уравнений.
  4. Необходимые и достаточные условия устойчивости по начальным данным четырехслойных и пятислойных разностных схем.
  5. Устойчивость по правой части.
 § 4. Примеры исследования устойчивости разностных схем
  1. Разностные схемы для телеграфного уравнения и уравнения Шредингера.
  2. Схемы для уравнения типа С.Л.Соболева и для уравнения колебаний стержня.
  3. Уравнения с особенностями.
  4. Трехслойные разностные схемы с несамосопряженными операторами.
  5. Схема с весами для уравнений акустики.
  6. Двумерная система уравнений акустики.
  7. Система уравнений акустики с учетом теплопроводности.
Глава V. Устойчивость операторно-разностных схем
 § 1. Общие определения и теоремы
  1. Двуслойная операторно-разностная схема. Устойчивость по начальным данным и по правой части
  2. Устойчивость в пространствах с гильбертовой метрикой.
 § 2. Трехслойные разностные схемы
  1. Эквивалентность двуслойной схеме.
  2. Теоремы об устойчивости трехслойных разностных схем.
 § 3. Устойчивость разностных схем и операторные неравенства
  1. Основное операторное неравенство.
  2. Необходимые условия устойчивости.
  3. Неравенства для операторов, определенных на прямой сумме двух пространств.
 § 4. Несамосопряженные разностные схемы
  1. Теоремы об устойчивости.
  2. Двухпараметрическое семейство схем с весами.
 § 5. Симметризуемые разностные схемы
  1. Устойчивость симметризуемых разностных схем.
 § 6. Разностные схемы с переменными весовыми множителями для уравнения теплопроводности
  1. Одномерное уравнение.
  2. Двумерное уравнение.
 § 7. р-устойчивость и асимптотическая устойчивость разностных схем
  1. Понятие р-устойчивости.
  2. Критерий асимптотической устойчивости симметризуемых разностных схем.
  3. Асимптотическая устойчивость схемы с весами.
  4. Асимптотическая точность.
  5. Схема второго порядка асимптотической точности.
 § 8. Аддитивные разностные схемы
  1. Введение.
  2. Постановка задачи.
 § 9. Аддитивные схемы суммарной аппроксимации
  1. Схемы покомпонентного расщепления.
  2. Аддитивно-усредненные схемы.
 § 10. Регуляризованные аддитивные схемы
  1. Регуляризация разностных схем.
  2. Аддитивные схемы.
 § 11. Аддитивные схемы для уравнений второго порядка
  1. Разностная схема с весами.
  2. Аддитивные схемы.
Литература
Литература к дополнению
Предметный указатель

 Предисловие ко второму изданию

В настоящем издании, которое выходит в свет более чем через тридцать лет после первого, оставлены без существенных изменений первые четыре главы книги. Вместо главы 5, в значительной мере устаревшей и содержащей не получившие дальнейшего развития идеи, включена в виде приложения обзорная статья, написанная совместно с П.Н.Вабищевичем и опубликованная в 1999 году в журнале "Дифференциальные уравнения". Выражаем искреннюю благодарность всем коллегам и соавторам, вносившим на протяжении многих лет свои замечания по содержанию книги.

А.А.Самарский, А.В.Гулин

 Предисловие

Область применения численных методов в настоящее время стремительно расширяется, охватывая основные разделы физики и техники. Для описания большинства физических процессов используются те или иные математические модели, обычно представляющие собой дифференциальные уравнения в частных производных (уравнения математической физики).

Для решения на быстродействующих цифровых вычислительных машинах уравнений математической физики широко применяется метод конечных разностей.

Опыт численного решения сложных задач физики и техники стимулировал постановку ряда теоретических проблем, вызвал потребность глубокого изучения машинно-ориентированных численных методов.

От теории разностных схем естественно требовать, чтобы она была достаточно общей (т.е. не зависела от конкретного вида разностных операторов, а использовала лишь их функциональные свойства и эффективной, т.е. удобной в применении к конкретным разностным схемам.

Проведение численных экспериментов предъявляет к разностным методам ряд жестких требований, таких, например, как достаточная точность, устойчивость схемы, экономичность по числу действий. Поэтому от теории разностных схем требуется формулировка простых правил построения схем заданного качества. Чтобы получить схему требуемого качества, надо задать исходное семейство схем, в котором осуществляется выбор. Прежде всего надо дать определение объекта исследований, т.е. разностной схемы. От этого понятия зависит выбор средств исследования. Мы определяем разностную схему либо как семейство операторных уравнений (что является аналогом стационарных задач математической физики), зависящих от параметра ("шага" сетки), либо как семейство операторно-разностных схем, которые являются разностными по t уравнениями с операторными коэффициентами. Операторно-разностные схемы являются аналогами нестационарных уравнений математической физики. Исходное семейство схем задано, если заданы коэффициенты схемы как операторы, действующие в некотором абстрактном пространстве.

Одним из основных вопросов теории разностных схем является устойчивость. Известно, что разностные схемы, соответствующие корректно поставленным задачам математической физики, могут быть неустойчивыми. Поэтому отыскание классов устойчивых схем является важной теоретической проблемой. Эти классы определены, если выполнены достаточные условия устойчивости.

Данная книга посвящена систематическому изложению теории устойчивости разностных схем. Отправным пунктом излагаемой теории является признание того факта, что устойчивость есть внутренрии является признание того факта, что устойчивость есть внутреннее свойство схемы, не зависящее от таких свойств, как аппроксимация и сходимость. Поэтому устойчивость можно изучать независимо от сходимости.

В основу настоящей книги положена концепция устойчивости, предложенная в работах А.А.Самарского и развитая в последующих работах А.А.Самарского и А.В.Гулина. Аналогичное изложение некоторых принципиальных вопросов теории устойчивости разностных схем имеется также в книге А.А.Самарского.

Основное внимание в книге уделяется изучению устойчивости линейных двухслойных и трехслойных операторно-разностных схем. Полученные необходимые и достаточные условия устойчивости представляют собой линейные операторные неравенства, удобные для проверки в случае разностных схем, порожденных уравнениями в частных производных. Эти условия устойчивости выделяют из исходного семейства классы устойчивых схем. Поиск схем нужного качества можно вести в классе устойчивых схем. Следствием теории устойчивости является метод регуляризации в классе устойчивых схем для отыскания схем заданного качества.

Существенную роль в теории играет каноническая форма записи схем. Отметим, что в этой же форме записываются итерационные схемы для решения операторных уравнений. Это позволяет строить теорию итерационных методов как раздел теории устойчивости операторно-разностных схем.

В книге используются лишь элементарные понятия функционального анализа и линейной алгебры, такие как норма оператора, сопряженный оператор, операторное неравенство и т.п. Так, не используется спектральная теория операторов. Основным инструментом исследования устойчивости является аппарат операторных неравенств и априорных оценок в гильбертовом пространстве.

В книге уделяется большое внимание примерам применения общей теории устойчивости к многочисленным конкретным схемам; эти примеры демонстрируют эффективность теории.

Следует отметить, что изучению устойчивости разностных схем посвящено значительное количество работ, в которых предлагаются различные определения устойчивости, используются различные математические средства и получены многочисленные трудно сопоставимые результаты. Укажем, например, книги В.С.Рябенького и А.Ф.Филиппова, Р.Рихтмайера и К.Мортона, С.К.Годунова и В.С.Рябенького, в которых рассматриваются вопросы устойчивости и приведена соответствующая литература.

Для чтения данной книги желательно знакомство с элементами теории разностных схем (например, в объеме первых двух глав книги А.А.Самарского). Предполагается также, что читатель знаком с постановками типичных задач математической физики, например, в объеме книги А.Н.Тихонова и А.А.Самарского. Необходимые сведения из функционального анализа можно найти в первых главах книг Л.В.Канторовича и Г.П.Акилова и Л.А.Люстерника и В.И.Соболева.

Авторы выражают благодарность И.В.Фрязинову за обсуждение ряда вопросов, связанных с проблематикой этой книги.

А.А.Самарский, А.В.Гулин

 Об авторах

Александр Андреевич Самарский

Род. в 1919 г. Академик РАН, лауреат Ленинской и Государственной премий СССР, лауреат Государственной премии Российской Федерации. Заслуженный профессор МГУ им. М. В. Ломоносова. Научный руководитель Института математического моделирования РАН, заведующий кафедрой вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ. Выдающийся ученый, крупнейший специалист в области вычислительной математики и математической физики, один из основоположников современной методологии математического моделирования и вычислительного эксперимента. Опубликовал около 500 научных работ, из них более 20 монографий и учебных пособий, в том числе: "Уравнения математической физики" (М.,1999, 6-е изд., соавт. А. Н. Тихонов), "Теория разностных схем" (М., 1989, 3-е изд.).

Алексей Владимирович Гулин

Род. в 1942 г. Профессор кафедры вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М. В. Ломоносова, заслуженный профессор Московского университета. Область научных интересов связана с исследованием численных методов решения задач математической физики, в особенности с теорией устойчивости разностных схем. Автор более 100 научных работ, в том числе учебных пособий (в соавторстве с А. А. Самарским) "Численные методы" (М., 1989) и "Численные методы математической физики" (М., 2003, 2-е изд.).

 
© URSS 2016.

Информация о Продавце