Шурыгин В.А. Основы конструктивного математического анализа Изд. 2, стереот.

Оглавление

Предисловие

В этой книге описываются некоторые разделы математического анализа, развиваемого в рамках конструктивного направления в математике, основанного А.А.Марковым в середине XX в.

Хотя основное назначение предлагаемой книги – изложение математического анализа, развиваемого в рамках конструктивного направления, ее содержание можно рассматривать еще с одной точки зрения. Можно считать, что здесь излагается в рамках классического, т.е. "обычного", теоретико-множественного, математического анализа теория, исследующая формы конструктивного представления решений задач математического анализа и выясняющая, какая информация необходима и какая достаточна для возможности получения решений тех или иных задач с помощью алгоритмов. Можно считать, что здесь излагается теория, заполняющая, пусть и не в полной мере, пробелы между так называемыми чистыми теоремами существования в классическом анализе и теорией численных методов. (Конструктивный анализ, рассматриваемый как часть классического анализа, обычно называется вычислимым, или эффективным, или рекурсивным, анализом.)

Для четкого прослеживания вычислимости в конструктивном анализе приходится вносить некоторую специфику в применяемые методы рассуждений, которую целесообразно отразить в применяемой терминологии (об этом речь пойдет во Введении), это дает основание считать, что конструктивный анализ, как и другие разделы конструктивной математики, использует конструктивную логику. Но так как эта книга адресована также математикам, работающим в традиционной (теоретико-множественной) математике, то термины, имеющие в конструктивной математике иные смысловые оттенки, чем в теоретико-множественной математике, здесь используются так, чтобы не возникло неверного понимания каких-либо утверждений; можно считать, что здесь изложение ведется средствами традиционной (классической) логики, но используются только те логические приемы, которые совместимы с конструктивным пониманием математических суждений.

Проблемам вычислимости в математическом анализе посвящено столько работ, что дать сколько-нибудь полное их изложение в одной книге невозможно. Многие исследования, относящиеся к этой тематике, выполнены в рамках конструктивного направления А.А.Маркова, но многое сделано в рамках других конструктивных направлений и в рамках классической математики. В основу этой книги взяты, главным образом, материалы, опубликованные в Трудах математического института им. В.А.Стеклова АН СССР, в сборниках, изданных Вычислительным центром АН СССР, в "Записках научных семинаров ЛОМИ", в Докладах АН СССР. Почти весь излагаемый здесь материал в той или иной мере методически переработан по сравнению с первоисточниками.

Ко времени создания этой книги была опубликована, по-видимому, только одна книга, в которой излагается конструктивный анализ, развиваемый на основе программы А.А.Маркова, адресованная достаточно широкому кругу читателей, это книга Б.А.Кушнера "Лекции по конструктивному математическому анализу" (М., Наука, 1973). Книга Б.А.Кушнера и предлагаемая книга заметно различаются по содержанию, эти книги во многом дополняют друг друга.

О содержании предлагаемой книги можно сказать следующее.

Во Введении излагаются вопросы конструктивной методологии, коротко описываются исторические предпосылки создания конструктивных направлений, даются основные черты марковского конструктивного направления.

В главе I излагаются некоторые вопросы, относящиеся к конструктивной семантике и теории алгоритмов.

В конструктивном анализе в первые годы его существования исследовались, главным образом, свойства его основных понятий – аналогов соответствующих понятий классического анализа и выяснялось, какие теоремы классического анализа верны в конструктивном анализе в той же или подходящим образом измененной формулировке. При этом были получены и результаты, не имеющие аналогов в классическом анализе, например, доказана непрерывность точечно-определенных функций в точках их определенности, создана теория сингулярных покрытий, и т.д. Этот материал нашел отражение (не в полном объеме) в главах II и III. Совершенно новой, по сравнению с классическим анализом, можно считать проблематику, связанную с понятием сложности объектов конструктивного анализа, которой посвящен § 13 главы II. Материал главы IV можно назвать сложностной теорией алгоритмических проблем, он также не имеет аналогов в классическом анализе. В главе V излагаются основы конструктивной теории векторных пространств. Глава VI этой книги посвящена проблемам собственных значений и собственных векторов для некоторых типов линейных операторов; материал этой главы позволяет предположить, как будет выглядеть конструктивный анализ, когда его преобладающая тематика далеко отойдет от его оснований и в нем значительное место будут занимать конструктивные версии многочисленных теорем существования с доказательствами, дающими подходы к разработке численных методов решения соответствующих задач с эффективными методами оценки погрешностей. Тему исследований, результаты которых составляют содержание этой главы, предложил автору Н.А.Шанин, за что автор ему очень признателен.

В этой книге в центр внимания поставлены проблемы вычислимости в математическом анализе; философские и методологические вопросы здесь почти не затрагиваются. Хотя стиль изложения и освещение некоторых принципов конструктивной математики здесь несколько иные, чем в работах многих других представителей школы А.А.Маркова, однако здесь излагается не новое конструктивное направление; методологические установки, на которых здесь основано изложение, это методологические установки школы А.А.Маркова (по крайней мере, так считает автор предлагаемой книги).

Выход в свет этой книги оказался по времени близким к 100-летию со дня рождения Андрея Андреевича Маркова (1903–1979), выдающегося математика, но также и ученого широкого диапазона, плодотворно работавшего в нескольких областях математики и смежных наук и обогатившего их результатами первостепенной важности, разработавшего методологию нового конструктивного направления в математике, по некоторым принципиальным вопросам отличающегося от других конструктивных направлений.

Хочется надеется, что эта книга восполнит заметно ощущаемый дефицит литературы по конструктивному направлению в математике, адресованной широкому кругу математиков, и будет способствовать устранению неверных представлений о конструктивном направлении, не редких в математической среде.