URSS.ru - Издательская группа URSS. Научная и учебная литература
Об издательстве Интернет-магазин Контакты Оптовикам и библиотекам Вакансии Пишите нам
КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ


 
Вернуться в: Каталог  
Обложка Ожигова Е.П. Что такое теория чисел
Id: 92599
 
139 руб.

Что такое теория чисел. Изд.3

URSS. 2009. 96 с. Мягкая обложка. ISBN 978-5-354-01171-1. Уценка. Состояние: 5-. Блок текста: 5. Обложка: 5-.

 Аннотация

Настоящая книга знакомит читателей с вопросами, которые решает теория чисел, с некоторыми примерами их решения и основными понятиями. В ней говорится о предмете, методах и приложениях теории чисел, даются краткие исторические сведения, излагаются отдельные вопросы теории чисел, представляющие самостоятельный интерес.

Книга будет интересна специалистам-математикам, студентам и аспирантам математических вузов, а также всем любителям математики.


 О чем рассказывается в этой книге

Предисловие
Что такое теория чисел?
Основные применения теории чисел
Из истории теории чисел
Вклад русских математиков в теорию чисел
Элементы теории чисел
Аддитивные задачи теории чисел
Решето Эратосфена
Простых чисел бесконечно много
Закон распределения простых чисел
Сколько целых точек в плоской фигуре
Теория чисел Пуансо
Краткие биографические сведения о математиках
Советуем прочитать

 Предисловие

Эта книга познакомит вас с кругом вопросов, которые решает теория чисел, с некоторыми приемами их решения и основными понятиями.

Заметим, что теория чисел часто вызывает интерес простотой постановки ее задач, но затем отпугивает трудностью их решения. Однако именно трудность решения задач теории чисел привлекла к ней Ферма, Эйлера, Лагранжа, Гаусса, Галуа.

В первом и втором разделах говорится о предмете, методах и приложениях этой науки, в третьем и четвертом даны краткие исторические сведения. Остальные разделы посвящены изложению отдельных вопросов теории чисел, представляющих самостоятельный интерес и доступных для читателя, незнакомого с высшей математикой.

Что такое теория чисел?

Если задать этот вопрос современным математикам, они ответят на него по-разному. Один скажет: теория чисел занимается изучением свойств целых чисел. Другой ответит: это просто часть теории вероятностей. Третий заговорит непонятным языком: теория чисел -- это теория алгебраических чисел, теория алгебраических функций с конечным полем констант и аналитическая теория чисел. Четвертый скажет: теория чисел? Да ее вообще не существует! Пятый не станет пытаться определять теорию чисел, а посоветует ознакомиться с задачами, которые она решает, и с методами, которыми она пользуется.

В каждом из этих ответов есть доля истины. Действительно, теория чисел занимается изучением свойств целых чисел, но она занимается и свойствами других чисел: алгебраических, трансцендентных. Правда, что ее задачи часто решают с помощью теории вероятностей. Если говорить о настоящем времени, то, действительно, сейчас теория чисел расширилась до такой степени, что превратилась во множество новых дисциплин -- в современную алгебру, в геометрию чисел, в вероятностную теорию чисел и т.д. Даже самостоятельных кафедр теории чисел в университетах и педагогических институтах почти не осталось.

Как же ответить на этот вопрос?

Мы будем различать теорию чисел, понимая под этим науку о свойствах целых чисел, и современную теорию чисел, возникшую из первой в связи с расширением понятия целого числа и с новыми методами.

Эта современная теория чисел уже не является единой наукой и распадается на разделы, относящиеся к различным областям математики. С тем же основанием, с каким говорят, что теории чисел теперь не существует, можно было бы сказать, что почти вся современная математика -- это расширенная теория чисел.

В этой брошюре мы коснемся теории чисел и некоторых истоков современной теории чисел.

О значении теории чисел писали многие выдающиеся математики. Приведем высказывания двух великих ученых XVIII в. -- Леонарда Эйлера и Жозефа Лагранжа. Заметим, что теорию чисел часто называли "арифметикой" или "высшей арифметикой".

В "Лекциях по математике" (1795) Лагранж писал:

"Один древний говорил, что Арифметика и Геометрия -- крылья математики. Я считаю, что можно сказать без метафоры, что эти две науки являются основой и сущностью всех наук, изучающих величины.

Но они служат не только основой, они служат, так сказать, еще и дополнением. Так как когда находят результат, то, чтобы суметь его использовать, необходимо перевести его в числа или линии; чтобы перевести его в числа, нужна помощь Арифметики; чтобы перевести его в линии, нужна помощь Геометрии".

Леонард Эйлер, больше всех разделов математики любивший теорию чисел, горячо защищал ее от обвинений в бесплодности и отсутствии приложений:

"Среди всех проблем, которые обычно трактуются в математике, никакие не считаются большинством более бесплодными и лишенными приложений, чем те, которые состоят в изучении природы числа и исследовании делителей... Кроме того, что отыскание истины само по себе казалось бы похвальным и достойным человеческого познания, они (древние) хорошо чувствовали, что благодаря изучению этих предметов расширяется само искусство вычисления, и свойства ума становятся более способными для выполнения более трудных задач. Весьма правдоподобным кажется, что эта наука (математический анализ) никогда не достигла бы такой степени совершенства, если бы древние не посвятили столько сил развитию такого рода вопросов, какие сегодня большинство считает столь маловажными из-за их бесплодности. Потому не следует сомневаться в том, что дальнейшее усовершенствование этих вещей принесет впоследствии новые успехи анализу".

В самом деле, все развитие математики вызвано или успехами геометрии или достижениями теории чисел. Многие математические теории построены по аналогии с теоретико-числовыми. Не касаясь успехов математики, вызванных прогрессом геометрии (Евклид, Лобачевский, Риман!), остановимся на тесной связи развития математики с достижениями теории чисел.

В первую очередь развитие математики связано с расширением понятия числа. Объектом теории чисел являются целые числа. Обобщение понятия числа -- действительные числа -- позволило Ферма и Декарту создать метод координат, а с ним аналитическую геометрию и математический анализ.

Основная идея этого обобщения или расширения понятия числа состояла в следующем. Если целым числам ...--3, --2, --1, 0, 1, 2, 3,... соответствовали точки на числовой оси ох с целыми координатами, и обратно -- каждой точке с целой координатой соответствовало целое число, то после введения действительных чисел каждая точка числовой оси получила свою координату и каждому действительному числу, стала соответствовать какая-то точка на числовой оси. Получилось, как обычно говорят, взаимнооднозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек прямой.

Действительные числа обладают не только свойствами целых чисел, но и некоторыми новыми свойствами. Их можно складывать, умножать, делить, их можно возводить в степень, извлекать из них корни. Они приобрели новое свойство -- между точками на действительной оси нет промежутков, они идут сплошь, непрерывно, подобно тому, как чертит линию карандаш или как течет река. А от точки с целой координатой к другой такой же точке приходилось перескакивать через отрезок длины, равный одной или нескольким единицам. Это свойство действительных чисел можно выразить словом непрерывность -- множество действительных чисел обладает свойством непрерывности. Множество целых чисел обладает свойством дискретности или прерывности. Целые числа входят в множество действительных чисел, но в нем бесконечно много и других чисел. Существуют обобщения понятия числа и обобщения понятия целого числа, в которых сохраняются свойства целости, дискретности.

Другое расширение понятия числа -- комплексные числа, геометрическим изображением которых служат точки плоскости, на которой выбрана система координат. В множестве комплексных чисел есть числа с целыми комплексными координатами (например, 2 + 3i; -- 1 -- 7i и т.д.). Они образуют множество целых комплексных чисел, в котором сохраняются свойства целости. Геометрически такие числа представляются точечной решеткой на координатной плоскости.

Такие расширения понятия числа создают новые разделы математики и способствуют ее развитию. Особенно успешно действуют обобщения понятий теории чисел в тех случаях, когда они оказываются связанными с геометрией.

Так появился могущественный метод координат.

Измерение длин, площадей, объемов, объединяющее усилия геометрии и теории чисел, привело к возникновению интеграла и к созданию интегрального исчисления.

Процессы и методы теории чисел порождают аналогичные методы в алгебре, математическом анализе и т.д.

Так, алгоритм Евклида (процесс нахождения общего наибольшего делителя двух целых чисел) явился прообразом такого же алгоритма в алгебре многочленов, алгоритма разложения обыкновенной дроби в непрерывную. Теорема единственности разложения целого положительного числа на простые множители была источником новых идей в анализе и алгебре, основных в алгебраической и аналитической теории чисел. На ней основано знаменитое тождество Эйлера, послужившее, в свою очередь, основой для исследований П.Л.Чебышева, П.Лежен-Дирихле, Б.Римана и многих других. Теория чисел явилась источником идеи теории групп. Исследования в области теории чисел послужили основой для открытий Эвариста Галуа.

Предметом теории чисел служат свойства целых чисел. Расширение понятия числа и появление новых методов изменяют предмет теории чисел. Каждое новое расширение понятия целого числа порождает новую современную (для этого времени) теорию чисел. Возникли теория целых комплексных чисел, теория целых алгебраических чисел, арифметика кватернионов и т.д.

Исходные задачи теории чисел всегда связаны со свойствами целых чисел двух родов: 1) с мультипликативными свойствами (представление числа в виде произведения) и 2) с аддитивными свойствами (разложение числа на слагаемые). Объединить эти свойства помогают алгебраический я геометрический подходы к теории чисел.

Рассматривая целые числа как корни неопределенных уравнений (при алгебраическом подходе), мы объединяем эти свойства целых чисел. При геометрическом подходе совершенно равноправны мультипликативная задача о числе делителей некоторого данного целого положительного числа и аддитивная задача о числе представлений этого числа в виде суммы двух квадратов. Геометрически обе задачи сводятся к задаче определения числа целых точек в некоторой плоской области.

Методы теории чисел и всякой современной теории чисел порождены или непосредственно теорией чисел, или геометрией, или, имея своим источником эти науки, прошли путь, пролегающий в других частях математики. Различают элементарные, аналитические, геометрические, вероятностные методы. Иногда они применяются комбинированно. В зависимости от методов различают, например, геометрическую или аналитическую теорию чисел. Геометрическая теория чисел пользуется геометрическим истолкованием целых (или обобщенных целых) чисел и геометрическими средствами доказательства теорем теории чисел. Аналитическая теория чисел использует для решения задач средства математического анализа (дифференциальное и интегральное исчисления, ряды) и теорию функций комплексного переменного. Содержание методов теории чисел постепенно изменяется и усложняется. Например, если при Эйлере аналитические методы теории чисел пользовались средствами дифференциального и интегрального исчисления и теории рядов, то после работ Дирихле и Римана аналитические методы постоянно пользуются теорией функций комплексного переменного. Геометрические методы теперь связаны с теорией алгебраических многообразий. Используются в теории чисел теория групп и полугрупп, теория полей и колец -- средства современной алгебры.

Основные применения теории чисел

Первое и главное применение: объекты, задачи, идеи, понятия, методы теории чисел служат для создания и развития понятий, методов, алгоритмов в других областях математики.

Во-вторых, результаты и методы теории чисел могут применяться непосредственно, в той же форме, к другим вопросам математики, например к приближенному вычислению площадей и объемов, к решению алгебраических уравнений,.

В геометрии теоретико-числовые доказательства применялись, например, для установления признаков разрешимости или неразрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки.

Решение неопределенных уравнений в целых числах (диофантов анализ) служило у Эйлера средством освобождения от иррациональностей.

В-третьих, теория чисел применяется и в других областях науки и техники, например в кристаллографии, в радиотехнике.


 Об авторе

Ожигова Елена Петровна
Известный советский математик, специалист в области теории чисел, истории математики и методологии науки. Кандидат физико-математических наук, член Санкт-Петербургского математического общества. Работала в Ленинградском (позже Санкт-Петербургском) отделении Института истории естествознания и техники АН СССР (РАН). Автор книг «Что такое теория чисел» (1970; переизд. в URSS) «Развитие теории чисел в России» (1972; переизд. в URSS), «Математика в Петербургской академии наук в конце XVIII — первой половине XIX века» (1980; переизд. в URSS), «Шарль Эрмит» (1982; переизд. в URSS), а также биографий российских математиков XIX века.
 
© URSS 2016.

Информация о Продавце